實(shí)變函數(shù)期末考試卷a

1、本文格式為 本文格式為 Word 版，下載可任意編輯 版，下載可任意編輯— 1 —實(shí)變函數(shù)期末考試卷 實(shí)變函數(shù)期末考試卷 A 自 覺 遵 名 守姓 考 場(chǎng) 紀(jì) 律 如 考 試 作 弊 號(hào) 此學(xué) 答 卷無 效 附件一 東 南 大 學(xué) 考 試 卷（A 卷） 課程名稱 實(shí)變函數(shù) 考試學(xué)期 11-12-2 得分 適用專業(yè) 數(shù)學(xué)系

2、 考試形式 閉卷 考試時(shí)間長(zhǎng)度 120 分鐘 （開卷、半開卷請(qǐng)?jiān)诖藢懨骺荚嚳蓭男┵Y料） 題目 一 二 三 四 五 六 七 八 總分 得分 批閱人 線一. (10 分) 試表達(dá)可數(shù)集的定義， 并分別給出一個(gè)可數(shù)集合和一個(gè)不成數(shù)集的例子。 封 密 二. (10 分) 表達(dá)勒貝特別測(cè)度的定義， 并證明可數(shù)集的外測(cè)度為本文格式為 本文格式為 Word 版，下載

3、可任意編輯 版，下載可任意編輯— 3 —(1)試表達(dá) Fatou 引理; (2)求以下極限： n???|fEn(x)|dx?0, 證明存在子列{fnk}在 E 上 n??0lim???arctan(nx)1?x2dx 第 4 頁(yè) 共 6 頁(yè) 九．設(shè) f(x)在[a,b]上 Lebesgue 可積。 (1) 若?(x)是[a,b]上的有界可測(cè)函數(shù)，證明 f(x)?(x)在[a,b]上是 Lebesgue

4、可積的。 (2) 假設(shè)對(duì)[a,b]上的任意有界可測(cè)函數(shù)?(x)，總有在[a,b] 上幾乎四處為零。 (3) 假設(shè)對(duì)任意連續(xù)函數(shù)?(x)總有 立。 ?baf(x)?(x)dx?0 成立. 證明 f(x)?baf(x)?(x)dx?0 成立，證明上述(2)中結(jié)論依舊成 第 5 頁(yè) 共 6 頁(yè) 十.(10 分）設(shè) f(x)在 (??,??)上 Lebesgue 可積。令 g(x)?(1) 證明: