Levy過程驅(qū)動的隨機偏微分方程.pdf

1、偏微分方程和常微分方程用來描述現(xiàn)實世界現(xiàn)象的發(fā)展規(guī)律.特殊的方程是對某一類特定現(xiàn)象的具體描述.在描述過程中總有一些被認為是次要的因素不得不被忽略。那麼這種忽略是否合理.也就是說，被忽略的因素是否會影響方程解的性質(zhì)？一個可行的方法是加入小的隨機項，考慮當隨機項趨于零時，方程漸進不變性質(zhì)，如果這些性質(zhì)是穩(wěn)定的，那么可以認為當初的忽略是合理的，確定性分析是可靠的（參見Fields獎獲得者Mumford的評述）。此外，另一個更重要因素，是希望通

2、過研究確定性方程在隨機因素影響下所產(chǎn)生的新的現(xiàn)象，以解釋自然行為，如混沌，湍流等.例如，Mumford就此高度評價Sinai，鄂維南等人發(fā)表在Physical Review Letter及Ann.of Math上關于無粘性隨機Bergers方程的結果.本文主要研究了幾類由Levy過程驅(qū)動的隨機偏微分方程解的性質(zhì)，如正則性，遍歷性等.全文由五部分組成.
　　 第一章是引言，簡單回顧了本文用到的知識.如Soblov空間，線性泛函分析

3、，非線性分析等.
　　 第二章討論了帶Levy噪聲的隨機滲透介質(zhì)方程，介質(zhì)方程是一類特殊的偏微分方程，在物理上有著非常廣泛的應用，他既被用來描述擴散和熱傳導過程，也被應用于生物數(shù)學，水流滲透，邊界層理論等。隨機滲透介質(zhì)方程是在滲透介質(zhì)方程中考慮了隨機擾動.利用隨機性，可以深入的考慮方程所描述的物理現(xiàn)象的遍歷行為.這是現(xiàn)實物理現(xiàn)象所呈現(xiàn)的宏觀行為，也是Kolmogrov流體力學理論的基礎.在這一章里我們得到了隨機滲透介質(zhì)方程解的存

4、在唯一性，馬氏性.
　　 第三章得到了Levy過程驅(qū)動的隨機偏微分方程解的依分布唯一性，借此得到了這一類方程的遍歷性.
　　 第四章研究了帶Levy噪聲的隨機滲透介質(zhì)方程的遍歷性.由于實際系統(tǒng)中，物理現(xiàn)象同時會受到連續(xù)和間斷躁聲的干擾，在數(shù)學上，這要涉及到微分-積分型算子，既非局部型算子.這就給分析上帶來極大的困難.在這一章里我們利用隨機分析這一工具同時考慮了連續(xù)躁聲和間斷躁聲的干擾下隨機偏微分方程解的性質(zhì)，得到了方程解