混合變分不等式解的存在性.pdf

1、變分不等式理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)中一個(gè)十分重要的研究領(lǐng)域,它在非線性最優(yōu)化理論、微分方程、控制論、對(duì)策論、社會(huì)經(jīng)濟(jì)平衡理論等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用,而變分不等式的基本問(wèn)題之一是解的存在性問(wèn)題.
　　本文主要利用例外簇的概念來(lái)研究混合變分不等式(記為MVI(K,F,φ))的解的存在性問(wèn)題,內(nèi)容具體安排如下:
　　第一章,概述變分不等式理論和例外簇的歷史背景和研究現(xiàn)狀,并介紹了本文要用到的一些基本概念和常用記號(hào).
　　第二章,在自反嚴(yán)

2、格凸的光滑Banach空間中定義混合變分不等式的例外簇,接著證明了一個(gè)關(guān)于緊容許映射的不動(dòng)點(diǎn)定理,通過(guò)例外簇和不動(dòng)點(diǎn)定理,我們給出了MVI(K,F,φ)解存在的一個(gè)基本定理和其它解的存在性定理.本章的主要結(jié)論如下:定理2.2.1設(shè)X為自反嚴(yán)格凸的光滑Banach空間,X*為其對(duì)偶空間,K為X中的非空閉凸集,設(shè)F1:X*→(K,τω)連續(xù),F2:(K,τω)→2X*為緊容許映射.設(shè)U為K的有界的相對(duì)開集,且對(duì)任給的f∈X*,F1(f)∈U

3、.如果下列條件成立:則F1οF2在U中存在不動(dòng)點(diǎn).定理2.3.1設(shè)X為自反嚴(yán)格凸的光滑Banach空間,X*嚴(yán)格凸,K為X中的非空閉凸集,若F2=J-F:K→2X*是緊容許映射,則對(duì)以下兩個(gè)陳述,必定有其中的一個(gè)成立:(i)MVI(K,F,φ)有解;(ii)對(duì)任意給定的f∈X*,MVI(K,F,φ)存在關(guān)于f的例外簇.定理2.3.2設(shè)X為自反嚴(yán)格凸的光滑Banach空間,X*嚴(yán)格凸,K為X中的非空閉凸集,若F2=J-F:K→2X*是容許

4、映射,且F是緊連續(xù)場(chǎng).對(duì)任給的f∈X*以及任意滿足||xr||→+∞的序列{xr}r＞0(?) K,若存在xr0∈{xr}和y∈K使得:||y||＜||xr0||和則混合變分不等式MVI(K,F,φ)有解.定理2.3.6設(shè)X為自反嚴(yán)格凸的光滑Banach空間,X*嚴(yán)格凸,K為X中的非空閉凸集,若F2=J-F:K→2X*是容許映射,且F是緊連續(xù)場(chǎng).若對(duì)任意實(shí)數(shù)p,存在x∈K使得:則MVI(K,F,φ)有解.
　　第三章,我們?cè)谧苑碆

5、anach空間中討論例外簇的存在性與混合變分不等式的可解性之間的關(guān)系.我們先給出區(qū)別于第二章的另一種形式的例外簇概念,接著證明了當(dāng)MVI(K,F,φ)無(wú)例外簇時(shí)必有解,本章的主要結(jié)論如下:定理3.2.2設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,x∈X為任意給定的點(diǎn)且F:K→2X*為緊容許映射,φ:K→R∪{+∞}為凸下半連續(xù)泛函,若MVI(K,F,φ)無(wú)解,則F存在關(guān)于x的例外簇.推論3.2.1設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子

6、集,x∈X為任意給定的點(diǎn)且FK→2X*為緊容許映射,φ:K→R∪{+∞}為凸下半連續(xù)泛函,若F沒(méi)有關(guān)于x的例外簇,則MVI(K,F,φ)有解.
　　第四章,利用第三章當(dāng)F沒(méi)有關(guān)于x的例外簇時(shí)MVI(K,F,φ)有解這一結(jié)論,我們討論當(dāng)映射為上符號(hào)連續(xù)時(shí)MVI(K,F,φ)無(wú)例外簇的一些條件;進(jìn)一步,當(dāng)映射關(guān)于某泛函擬(偽)單調(diào)時(shí),我們還獲得了MVI(K,F,φ)解存在的一些充分必要條件.本章的主要結(jié)論如下:定理4.2.2設(shè)K為自反

7、Banach空間X的非空閉凸子集,x∈X為任意給定的點(diǎn),F:K→2X*為緊容許的擬單調(diào)上符號(hào)連續(xù)映射,對(duì)于下述的三個(gè)命題:(ⅰ)存在K的有界子集D,使得:(ⅱ)對(duì)于滿足||xr-x||→+∞的任意序列{xr}(?) K,存在xr0∈{xr}及y∈K,滿足以下條件:(ⅲ)F不存在關(guān)于x的例外簇,從而MVI(K,F,φ)有解.則有(ⅰ)(?)(ⅱ),(ⅱ)(?)(ⅲ).定理4.2.3設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,F:K→2X*

8、為緊容許的擬單調(diào)上符號(hào)連續(xù)映射,考慮以下的的三個(gè)命題:(ⅰ)存在x*∈K,使得K＜(x*)={x∈K:＜f,x-x*＞+φ(x)-φ(x*)＜0,(?)f∈F(x)}是有界集(可能為空集);(ⅱ)存在X中的開球Ω和x*∈K∩Ω,使得:(ⅲ)對(duì)任給的x∈X,F不存在關(guān)于x的例外簇,從而MVI(K,F,φ)有解.則有(ⅰ)(?)(ⅱ)(?)(ⅲ)成立.定理4.2.6設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,int(barr(K))≠0,

9、F:K→2X*為緊容許的上符號(hào)連續(xù)映射,且F關(guān)于φ擬單調(diào),若K∞∩((F+(?)φ)(K))0={0},則MVI(K,F,φ)有解.定理4.3.1設(shè)K為自反Banach空間X的非空閉凸子集,int(barr(K))≠(?),F:K→2X*為容許的上符號(hào)連續(xù)映射,且F關(guān)于φ偽單調(diào),則以下三個(gè)問(wèn)題相互等價(jià):(i)K∞∩((F+(?)φ)(K))0={0};(ii)存在常數(shù)ρ＞0,使得對(duì)任意滿足||x||＞ρ的x∈K,存在y∈K,使得:(ii