復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的SCALE-FREE性、SCALE-FREE現(xiàn)象及其控制.pdf

1、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是復(fù)雜系統(tǒng)的高度抽象，在現(xiàn)實(shí)世界中存在大量的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。自從1998年、1999年在“Nature”和“Science”兩個(gè)刊物上發(fā)表了關(guān)于小世界網(wǎng)絡(luò)和Scale-free網(wǎng)絡(luò)的兩篇文章以來(lái)<'[8,32]>，在世界范圍內(nèi)掀起了一股復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究熱潮。究其原因是因?yàn)檫^(guò)去關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的一些重要結(jié)論是不妥的，而今開(kāi)始了嶄新的研究。 此后幾年來(lái)，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究取得了一批重要成果，包括大多數(shù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中的Scale-free性質(zhì)

2、的發(fā)現(xiàn)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的Scale-free性質(zhì)對(duì)于傳播動(dòng)力學(xué)和同步動(dòng)力學(xué)的深刻影響、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的社區(qū)發(fā)現(xiàn)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的演化等等。更令人感興趣的是，研究發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的許多研究成果可以直接應(yīng)用于實(shí)際復(fù)雜系統(tǒng)，如Scale-free網(wǎng)絡(luò)中病毒傳播的特殊機(jī)制，以及據(jù)此而對(duì)傳統(tǒng)病毒防治模式的改進(jìn)?？傊瑥?fù)雜網(wǎng)絡(luò)的重要性已得到了世界范圍內(nèi)有關(guān)領(lǐng)域科學(xué)家的深切關(guān)注。 然而，畢竟是剛剛起步，關(guān)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究還很不充分，遠(yuǎn)沒(méi)有形成屬于本方向系統(tǒng)的、

3、獨(dú)特的研究方法。如復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的刻畫(huà)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性的刻畫(huà)、異質(zhì)性如何影響復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的動(dòng)力學(xué)、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型的全局穩(wěn)定性、SIS模型中最終感染節(jié)點(diǎn)的比例、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的SIR模型中病毒爆發(fā)的規(guī)模如何受到拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的影響、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中度分布指數(shù)的變化范圍為什么一般位于2～3之間以及復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的控制問(wèn)題等等方面的研究，是非常不夠和初步的。我們正是針對(duì)上述諸問(wèn)題進(jìn)行了全面而深刻的研究，綜合運(yùn)用了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)仿真手段，歷經(jīng)3

4、年時(shí)間，取得了如下主要成果： (1)提出了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的連接率和吸引率的新概念，并應(yīng)用于Internet網(wǎng)絡(luò)。利用我們所提出的靜態(tài)概率模型，從理論和實(shí)證兩個(gè)方面證實(shí)了：a)Interaet網(wǎng)的子網(wǎng)的連接率服從冪律分布；b)Internet網(wǎng)存在網(wǎng)絡(luò)核心(Core)；c)作為一個(gè)推論，發(fā)現(xiàn)度分布指數(shù)存在一個(gè)臨界點(diǎn)為2。 (2)將經(jīng)濟(jì)學(xué)中的洛侖茲曲線與基尼系數(shù)引進(jìn)到復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以刻畫(huà)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性，通過(guò)與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的其它參數(shù)(度分

5、布指數(shù)、網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)熵、度分布熵等)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)基尼系數(shù)是刻畫(huà)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)異質(zhì)性的一個(gè)合理指標(biāo)。 (3)從理論上對(duì)Scale-free網(wǎng)絡(luò)的度分布指數(shù)進(jìn)行了研究，揭示了現(xiàn)實(shí)世界中大多數(shù)網(wǎng)絡(luò)的度分布指數(shù)位于2～3之間的理論根由，從而回答了Barab6si在文獻(xiàn)[9]中提出的疑問(wèn)。研究了Scale-free網(wǎng)絡(luò)中Hub點(diǎn)的若干獨(dú)特性質(zhì)，如Hub點(diǎn)的數(shù)量、Hub點(diǎn)的最高度值等問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)了度分布指數(shù)與Hub點(diǎn)之間的關(guān)系，并首次給出了Hub點(diǎn)的

6、量化定義。 (4)針對(duì)BBS這樣一個(gè)具體的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的Scale-free性質(zhì)進(jìn)行了實(shí)證研究，發(fā)現(xiàn)BBS用戶(hù)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)與針對(duì)某一個(gè)特定話(huà)題的BBS用戶(hù)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)存在本質(zhì)的區(qū)別：前者的度分布指數(shù)小于2，后者的度分布指數(shù)大于2。這說(shuō)明特定話(huà)題的BBS用戶(hù)網(wǎng)絡(luò)僅存在極少量的Hub節(jié)點(diǎn)，這一結(jié)論有利于對(duì)重點(diǎn)用戶(hù)進(jìn)行跟蹤。此外，還將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的社區(qū)結(jié)構(gòu)及其發(fā)現(xiàn)算法成功地應(yīng)用于BBS的熱點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，仿真結(jié)果表明，熱點(diǎn)發(fā)現(xiàn)的效率大大提高。

7、(5)深入分析了Scale-free網(wǎng)絡(luò)上的SIS模型的全局穩(wěn)定性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)只要傳播強(qiáng)度大于閾值，不管初始感染比例多么地小，網(wǎng)絡(luò)最終感染節(jié)點(diǎn)的比例是一定的。 探討了網(wǎng)絡(luò)最終感染節(jié)點(diǎn)的比例以及閾值與網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)度分布指數(shù)越小，則閾值越小，并且網(wǎng)絡(luò)最終感染節(jié)點(diǎn)的比例越大。這一結(jié)論給Scale-free網(wǎng)絡(luò)上的病毒防治提供了一個(gè)新的思路。 (6)深入分析了Scale-free網(wǎng)絡(luò)上的SIR模型的病毒爆發(fā)問(wèn)題。

8、由于SIR模型下，最終感染節(jié)點(diǎn)均消失，故研究的問(wèn)題是少數(shù)感染節(jié)點(diǎn)是否會(huì)引起大量節(jié)點(diǎn)被感染，即病毒爆發(fā)問(wèn)題。我們從理論上發(fā)現(xiàn)，存在病毒爆發(fā)的閾值。 探討了網(wǎng)絡(luò)中病毒爆發(fā)的規(guī)模(即曾經(jīng)感染過(guò)病毒的節(jié)點(diǎn)的比例)與度分布指數(shù)之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)度分布指數(shù)越小，病毒爆發(fā)規(guī)模越大。 (7)研究了Scale-free網(wǎng)絡(luò)中的控制問(wèn)題，提出了Scale-free網(wǎng)絡(luò)中反饋控制的一般性框架。在此基礎(chǔ)上提出了互聯(lián)網(wǎng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的一個(gè)新的演化控制模型