幾類非線性發(fā)展方程的顯式解.pdf

1、本文運用函數變換法及李群方法，研究了幾類具有重要物理背景的非線性發(fā)展方程.在已有基礎上得到了方程新的顯式解，包括非行波解、孤立波解和相似解等，并討論了部分方程的群分類和守恒律問題. 在第一章中，主要研究了長水波近似方程組和協(xié)變Boussinesq方程組.利用擴展(推廣)的齊次平衡法，得到兩類方程組的自Backlund變換、非行波解和n-共振平面孤立波解，這些結果是全新的.與齊次平衡法不同的是，在擴展的齊次平衡法中引入了方程的已知

2、解，這極大豐富了齊次平衡法的應用，可尋求方程的自Backlund變換，獲得方程豐富的顯式解. 在第二章中，通過選取適當的函數變換，在系數滿足一定約束條件時，將變系數Schrodinger方程約化為常微分方程.通過求解常微分方程較系統(tǒng)地得到變系數Schrodinger方程的亮孤子解、暗孤子解和橢圓周期解.由本章結果可以看出方程孤子解的位相、速度和寬度隨時間變化而變化. 在第三章中，討論了描述等離子體中的弱非線性離子聲波現象

3、的(2+1)-維Zakharov-Kuznetsov型方程.首先應用直接對稱方法求得一類廣義Zakharov-Kuznetsov方程的兩種對稱，進而得到方程的約化和顯式解，推廣了已有文獻中的結論；其次提出一種尋找對稱的新方法—相容性方法.利用相容性方法得到變系數Zakharov-Kuznetsov方程的四類對稱和相應不變變換群(對稱群)，并得到方程的約化和新相似解(這些解由Airy函數及其導數構成).與非經典李群方法相比較，相容性方法最

4、大的優(yōu)點是直接簡便，省去大量繁雜的計算.應用相容性方法可求解其它非線性發(fā)展方程. 在第四章中，運用經典李群方法和相容性方法分別討論了變系數Burgers方程的群分類和(3+1)-維dimbo-Miwa方程的守恒律問題.根據變系數Burgers方程中色散項系數a(t)和非線性項系數b(t)的各種不同情況，得到了方程的群分類，同時求得方程的一些約化和相似解.應用相容性方法得到Jimbo-Miwa方程的兩類對稱及生成元v0-v6對應的