若干非線性波方程的構(gòu)造性求解研究.pdf

1、眾所周知非線性科學(xué)成為當(dāng)代科學(xué)研究重要的前沿領(lǐng)域。近幾十年來，隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，各種非線性問題日益引起科學(xué)家和工程技術(shù)人員的興趣和重視。特別是在近代物理和科學(xué)工程計(jì)算中的一些關(guān)鍵問題，歸根結(jié)底都依賴于某些特定的非線性方程的求解。所以無論在理論研究方面，還是在實(shí)際應(yīng)用中，非線性方程的求解都占有非常重要的地位。非線性方程的求解已成為廣大科學(xué)工作者經(jīng)常面臨的問題。但構(gòu)造非線性微分方程的解是既重要又困難的課題，需要靈活高效的數(shù)學(xué)工具。近年

2、來，國(guó)內(nèi)外的研究者在求解非線性微分方程方面做了大量的工作，獲得了很多成果。本文在前人研究的基礎(chǔ)上，構(gòu)造性求解一些在科學(xué)和工程上具有重要意義的非線性波問題。本文研究?jī)?nèi)容主要包括 第一章介紹了非線性波動(dòng)方程構(gòu)造性理論求解的研究背景、研究進(jìn)展、發(fā)展現(xiàn)狀和意義，總結(jié)并分析了現(xiàn)有的求解非線性波動(dòng)方程的方法。 第二章我們首先對(duì)DBM方程和Log—DBM方程作了簡(jiǎn)介，對(duì)WazWaz所提出的擴(kuò)展的Tanh方法作了改進(jìn)，擴(kuò)大了其使用范圍，

3、并用改進(jìn)后的Tanh方法研究了Log—DBM方程，得到了Log—DBM的豐富的行波解，包括周期波解，奇異孤立波解、雙尖峰孤立波解，奇異周期孤立波解。用輔助函數(shù)得到了Log—DBM方程的Jacobi橢圓函數(shù)解；用擬設(shè)法研究了Log—DBM方程的類緊(Like—compact)孤立波解。 第三章利用擴(kuò)展的Jacobi橢圓函數(shù)展開法研究了(ZK—MEW)方程，并給出ZK—MEW方程的Jacobi橢圓函數(shù)解，特別的，當(dāng)模數(shù)m→0和m→1

4、時(shí)，其中一部分解退化為三角函數(shù)解和孤立波解；其次使用sn—cn擬設(shè)法，研究了K(k，s，1)方程，得到了k=s=3時(shí)的新的精確解，并在模數(shù)m→0和m→1時(shí)得到了豐富的三角函數(shù)和孤立波解。 第四章將Painleve奇性分析方法應(yīng)用到帶阻尼(damping)項(xiàng)的變系數(shù)Burgers方程中，并得到了該類Burgers方程具有Painleve性質(zhì)的條件，給出了該類Burgers方程的Backlund變換，用所得Backlund變換得到了

5、若干精確孤立波解，包括奇異孤立波解，這些解不等同于行波型孤立波解；用齊次平衡法得到了對(duì)數(shù)型DBM方程的Backlund變換，并獲得了DBM方程的各種孤立波解，包括尖峰孤立波解和奇異尖峰孤立波解。 第五章利用Lie群分析法研究了帶線性阻尼項(xiàng)的變系數(shù)廣義Burgers方程。眾所周知對(duì)稱性約化是尋找和分析非線性數(shù)學(xué)物理方程精確解的有效手段之一?；贚ie群思想的群論法是對(duì)稱性約化的主要方法。在這一章里，我們用Lie群分析法研究了帶線性

6、阻尼項(xiàng)的變系數(shù)廣義Burgers方程。首先介紹了Lie群分析法的基本思想，其次用Lie群分析法得到了帶線性阻尼項(xiàng)的變系數(shù)廣義Burgers方程的無窮小變換、無窮小算子的李代數(shù)結(jié)構(gòu)，并具體求出了帶線性阻尼項(xiàng)的變系數(shù)廣義Burger方程的群不變解和約化方程。 在第入章，我們將指數(shù)函數(shù)法(Exp—function method)應(yīng)用到一類變系數(shù)非線性波方程中，借助計(jì)算軟件Maple得到了組合變系數(shù)KdV—mKdV方程的廣義孤立波解。通