電氣工程及其自動化畢業(yè)設(shè)計倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設(shè)計</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 電氣工程及其自動化 </p><p>　　學生姓名 學號

2、 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合的系統(tǒng)，經(jīng)常被

3、現(xiàn)代控制理論的研究人員視為典型的研究對象，這是因為倒立擺的控制過程不僅能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題，并且還可以不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法。通過對倒立擺的控制，我們能檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。對倒立擺機理的研究具有重要的理論和實際意義，對系統(tǒng)的研究也比較有實用價值。</p><p>　　本文論述了倒立擺系統(tǒng)的國內(nèi)外研究動態(tài)及意義。接著

4、用牛頓力學分析法建立了一級倒立擺數(shù)學模型，用Lagrange方程建立了二級倒立擺數(shù)學模型。其次介紹了狀態(tài)能控性與能觀性及線性二次型最優(yōu)控制的概念，分析了一級倒立擺和二級倒立擺的穩(wěn)定性，分別基于現(xiàn)代控制理論中的極點配置理論和線性二次型最優(yōu)控制理論，對一級倒立擺和二級倒立擺分別設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器。然后利用Matlab對倒立擺進行計算機輔助設(shè)計和仿真，并對固高小車一級倒立擺進行了實時控制。在倒立擺系統(tǒng)的仿真實驗中，擺角曲線最后收斂于零位置，

5、小車位移曲線最后恒定不變。在實時控制實驗中，一級倒立擺系統(tǒng)運行穩(wěn)定，達到了理想的控制效果。</p><p>　　關(guān)鍵詞：倒立擺；極點配置；最優(yōu)控制；仿真</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　The inverted pendulum is a typical order instable system, w

6、ith multivariable, nonlinear, strong-coupling. It is often regarded as a typical research object by the people who research Modern control theory. This is not only because many key problems, such as calmness, robustness,

7、 follow-up sex and tracking in control can be reflected effectively in the controlling process, but also because some new control strategies and control methods can be explored continuously. The inverted pendulum can be

8、u</p><p>　　The developing trend and significance of studying the inverted pendulum system are expounded in the paper. Then the first level mathematic model of the inverted pendulum is established by the anal

9、ytical method of Newton mechanics, and a double level mathematic model of the inverted pendulum is established with the Lagrange equation. Not only the conception of state controllability and state observability, but als

10、o the conception of linear quadric optimal control is introduced. And then the stabi</p><p>　　Key words: inverted pendulum; pole placement; optimal control; simulation</p><p><b>　　目錄</b

11、></p><p><b>　　第1章 緒論1</b></p><p>　　1.1 本課題國內(nèi)外研究動態(tài)及意義1</p><p>　　1.2 倒立擺的控制方法1</p><p>　　1.3 本文的主要工作2</p><p>　　第2章 倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學建模3</p>

12、<p>　　2.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學建模3</p><p>　　2.1.1 擺桿的受力分析3</p><p>　　2.1.2 小車的受力分析4</p><p>　　2.1.3 線性化后的微分方程5</p><p>　　2.1.4 直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式5</p><p>　　2.

13、2 二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學建模7</p><p>　　第3章 倒立擺系統(tǒng)的極點配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計13</p><p>　　3.1 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能觀性13</p><p>　　3.1.1 系統(tǒng)的能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)13</p><p>　　3.1.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋14</p><p>　

14、　3.2 極點配置問題14</p><p>　　3.2.1 單輸入系統(tǒng)的極點配置14</p><p>　　3.2.2 極點配置算法15</p><p>　　3.2.3 多輸入系統(tǒng)的極點配置15</p><p>　　3.3 狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計15</p><p>　　3.3.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)的極點配置的

15、狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計16</p><p>　　3.3.2 直線二級倒立擺系統(tǒng)的極點配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計17</p><p>　　第4章 基于線性二次型LQR算法的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計20</p><p>　　4.1 二次型最優(yōu)控制問題20</p><p>　　4.2 Q、R陣的選擇21</p><p>

16、　　4.3.1 直線一級倒立擺LQR控制器的設(shè)計22</p><p>　　4.3.2 直線二級倒立擺LQR控制器的設(shè)計22</p><p>　　第5章 倒立擺系統(tǒng)的仿真24</p><p>　　5.1 直線一級倒立擺極點配置控制的仿真24</p><p>　　5.2 直線一級倒立擺LQR控制的仿真25</p><

17、p>　　5.3 直線二級倒立擺極點配置控制的仿真26</p><p>　　5.4 直線二級倒立擺LQR控制的仿真27</p><p>　　第6章 小車倒立擺系統(tǒng)的實時控制28</p><p>　　6.1 系統(tǒng)概述28</p><p>　　6.1.1 倒立擺本體28</p><p>　　6.1.2 電控箱

18、28</p><p>　　6.1.3 控制平臺29</p><p>　　6.1.4 系統(tǒng)框圖29</p><p>　　6.2 一級倒立擺的實時控制29</p><p>　　6.2.1 一級倒立擺實時控制結(jié)構(gòu)30</p><p>　　6.2.2 系統(tǒng)子模塊介紹30</p><p>　　

19、6.2.3 實時控制結(jié)果31</p><p><b>　　結(jié)論33</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻34</b></p><p><b>　　第1章 緒論</b></p><p>　　1.

20、1 本課題國內(nèi)外研究動態(tài)及意義</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)是一種高階次、不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合的系統(tǒng)，經(jīng)常被現(xiàn)代控制理論的研究人員視為典型的研究對象，而被作為研究控制理論的實驗裝置。這是因為倒立擺的控制過程不僅能有效地反映控制中的許多關(guān)鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題，并且還可以不斷從中發(fā)掘出新的控制策略和控制方法。許多新的控制理論，都通過倒立擺實驗加以驗證，如模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、擬人控制

21、都受到倒立擺的檢驗。通過對倒立擺的控制，我們能用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力，因此倒立擺具有重要的理論價值。該課題的研究一直受到國內(nèi)外廣大學者的廣泛關(guān)注，成為控制熱門研究課題之一。</p><p>　　對倒立擺機理的研究具有重要的理論和實際意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。倒立擺系統(tǒng)不僅具有結(jié)構(gòu)簡單、原理清晰、易于實現(xiàn)等特點，而且可以用與它有關(guān)的實驗來研究控制理論中許多典型問

22、題，這主要是因為它是一個典型的多變量系統(tǒng)。許多理論都可以用在這樣的非線性系統(tǒng)，這些理論有觀測器理論、狀態(tài)反饋理論和濾波理論等。航天、機器人領(lǐng)域、軍工還有一般工業(yè)過程基本上都用到了控制倒立擺系統(tǒng)所用到的方法，如控制火箭發(fā)射垂直度、控制機器人平衡行走和控制衛(wèi)星飛行姿態(tài)等。</p><p>　　另一方面對系統(tǒng)的研究也比較有實用價值。日常生活中的一些控制問題和倒立擺控制都很相像，如我們所見到的任何重心在上、支點在下的控制

23、問題，控制空間飛行器和各類伺服云臺使之穩(wěn)定的問題。因此對倒立擺的穩(wěn)定控制在航天、機器人領(lǐng)域、軍工還有一般工業(yè)過程領(lǐng)域中都有著廣泛的應(yīng)用，如穩(wěn)定控制衛(wèi)星發(fā)射架、穩(wěn)定控制海上鉆井平臺、控制火箭衛(wèi)星姿態(tài)、控制機器人雙足行走、控制飛機安全著陸和控制化工過程等都是很好的例子。</p><p>　　除此之外，我們可以利用倒立擺系統(tǒng)的非線性、多變量、不穩(wěn)定等特性來描述線性控制領(lǐng)域中不穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定性和非線性控制領(lǐng)域中的非線性觀

24、測器、無源性控制、變結(jié)構(gòu)控制、摩擦補償、自由行走等控制思想，而且新的控制理論和控制方法也可以被我們發(fā)掘出來。相關(guān)的成果在機器人和航空航天等方面獲得了廣闊的應(yīng)用[1]。</p><p>　　1.2 倒立擺的控制方法</p><p>　　對倒立擺的控制，當前有幾種控制方法來實現(xiàn)控制。它們有線性理論控制、預(yù)測控制、變結(jié)構(gòu)控制和智能控制等。</p><p><b>

25、;　　1.線性理論控制</b></p><p>　　線性理論控制就是近線性化處理倒立擺系統(tǒng)的非線性模型，處理完后，能在系統(tǒng)的平衡點附近獲得線性化模型，接著利用各種線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計方法，獲得期望的控制器。像這樣的控制方法有常規(guī)PID控制、狀態(tài)反饋控制、線性二次型LQR控制算法。對于模型簡單、非線性較小的直線一、二級倒立擺控制時，這個方法能解決這類倒立擺的穩(wěn)定性問題。而對于模型復(fù)雜、非線性較強的三、四

26、級以及多級倒立擺控制時，線性系統(tǒng)的設(shè)計方法就有很大的局限性，因此這需要用更合理、更有效的方法來設(shè)計[2]。</p><p>　　2.變結(jié)構(gòu)控制和預(yù)測控制</p><p>　　因為倒立擺系統(tǒng)是個非線性、多變量系統(tǒng)，這就使得它與線性控制理論之間有很大的矛盾。針對這樣的非線性、多變量被控對象，人們意識到了要用有非線性特性的多變量控制去解決非線性、多變量系統(tǒng)，于是人們逐漸研究了變結(jié)構(gòu)控制、預(yù)測控制

27、和自適應(yīng)控制。變結(jié)構(gòu)控制是一種非連續(xù)控制，當控制對象由任意位置到滑動曲面上時，系統(tǒng)仍可保持穩(wěn)定性和魯棒性，不過系統(tǒng)還存在著顫抖。預(yù)測控制是一種優(yōu)化控制方法，它不強調(diào)結(jié)構(gòu)，強調(diào)的是實模型的功能。變結(jié)構(gòu)控制、預(yù)測控制和自適應(yīng)控制這三種控制在理論上可以取得比較好的控制效果，不過因為成本較高，控制方法復(fù)雜，在快速變化的系統(tǒng)上不容易實時實現(xiàn)[2]。</p><p><b>　　3.智能控制</b>&l

28、t;/p><p>　　倒立擺系統(tǒng)中的智能控制方法主要有模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、云模型控制、遺傳算法、擬人智能控制和仿人智能控制等。</p><p>　　1.3 本文的主要工作</p><p>　　本次設(shè)計主要是要完成對直線一級和二級倒立擺的穩(wěn)定控制。</p><p>　　第1章是對倒立擺系統(tǒng)作個簡單的描述，主要是論述了倒立擺系統(tǒng)的國內(nèi)外研究動態(tài)及

29、意義。另外也介紹了倒立擺系統(tǒng)的幾種控制方法。</p><p>　　第2章是以倒立擺為控制對象，用牛頓力學分析法建立直線一級倒立擺的數(shù)學模型和用Lagrange方程建立直線二級倒立擺的數(shù)學模型，同時也簡單闡述了Lagrange方程建模的一些特點。</p><p>　　第3章是介紹了線性系統(tǒng)的能控性和能觀性的概念及其判據(jù)。接著分析和研究了直線一、二級倒立擺的穩(wěn)定性，同時也判別了倒立擺系統(tǒng)的能控

30、性和能觀性。然后是基于現(xiàn)代控制理論中的極點配置理論分別設(shè)計了直線一級和二級倒立擺的控制器。</p><p>　　第4章首先介紹了線性二次型最優(yōu)控制的概念，接著闡述了Q、R矩陣選擇的原則，然后基于線性二次型最優(yōu)控制理論，分別對一級倒立擺和二級倒立擺設(shè)計了狀態(tài)反饋控制器。</p><p>　　第5章是對倒立擺系統(tǒng)的仿真。根據(jù)第三章和第四章所設(shè)計的狀態(tài)反饋控制器，再代入系統(tǒng)進行仿真，并對仿真結(jié)果

31、進行了分析與總結(jié)。</p><p>　　第6章是首先對倒立擺系統(tǒng)作簡單的介紹，再根據(jù)第五章的仿真結(jié)果進行一級倒立擺的實物控制實驗。</p><p>　　第2章 倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學建模</p><p>　　在分析和設(shè)計控制系統(tǒng)時，首先需要做的是建立其數(shù)學模型，即描述這一系統(tǒng)運動規(guī)律的數(shù)學表達式，因為建模是研究系統(tǒng)的重要手段和前提。凡是用模型描述系統(tǒng)的因果關(guān)系或相互關(guān)系的

32、過程都屬于建模。</p><p>　　建立數(shù)學模型有兩種基本方法：機理分析法和實驗辨識法。機理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律，建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義。實驗辨識法是根據(jù)系統(tǒng)運行和實驗數(shù)據(jù)建立其數(shù)學模型。</p><p>　　而控制系統(tǒng)模型的建立也是有兩種方法。一種是分析系統(tǒng)各個部分的機理運動規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律再列寫出運動方程，這種方法就是分

33、析法。一種是人為地給定某種測試信號，記錄其輸出響應(yīng)，再用恰當?shù)臄?shù)學模型去逼近，這種方法就是實驗法。</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)適合用分析法。目前，人們對倒立擺系統(tǒng)的建模有牛頓力學法和Lagrange方程法。牛頓力學分析法是把注意力集中在與系統(tǒng)的各個部分相互聯(lián)系的力和運動以及各部分之間的相互作用，這種方法適用于一級倒立擺的建模。Lagrange方程法是把系統(tǒng)看成一個整體，并用像動能、勢能之類的量來描述函數(shù)，這種

34、方法適用于二級倒立擺的建模。本章就討論用這兩種方法分別對一、二級倒立擺進行建模。</p><p>　　2.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學建模</p><p>　　對于小車倒立擺系統(tǒng)，在實際中，系統(tǒng)總存在著一些摩擦，如擺桿與支點之間的摩擦以及小車與導軌之間的摩擦，而這些摩擦都非常小。為了簡化系統(tǒng)的模型，我們可以忽略這些摩擦。并假設(shè)擺桿為剛體。對小車倒立擺系統(tǒng)進行受力分析，其系統(tǒng)如圖2.1所示。

35、</p><p>　　圖2.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)</p><p>　　小車和擺桿是小車倒立擺系統(tǒng)的兩個部分。這里，我們可以采用隔離的方法，對小車倒立擺系統(tǒng)進行受力分析。</p><p>　　2.1.1 擺桿的受力分析</p><p>　　首先把擺桿從系統(tǒng)中隔離出來，然后對其進行受力分析。其受力分析圖如圖2.2所示。在擺桿的水平方向上，由受力

36、分析可以得到下面等式：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　圖2.2 擺桿隔離受力分析圖</p><p><b>　　再轉(zhuǎn)化一下，即：</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　在擺桿的垂

37、直方向上，由受力分析可以得到下面等式：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p><b>　　再轉(zhuǎn)化一下，即： </b></p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　在擺桿的轉(zhuǎn)動方向上，設(shè)是擺桿與垂直向上方向之間的夾角。則有，，，故

38、可得力矩平衡方程如下：</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　2.1.2 小車的受力分析</p><p>　　再把小車從系統(tǒng)中隔離出來，對其進行受力分析。其受力分析圖如圖2.3所示。在小車</p><p>　　圖2.3 小車隔離受力分析圖</p><p><b&

39、gt;　　的水平方向上，有：</b></p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　這里我們不考慮小車的垂直方向的受力情況，故不作受力分析。由上述幾個方程聯(lián)立，可得一組非線性方程組，如下：</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　式中，m

40、：擺桿的質(zhì)量；</p><p><b>　　M：小車的質(zhì)量；</b></p><p>　　b：小車的滑動摩擦系數(shù)；</p><p>　　l：擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度；</p><p><b>　　J：擺桿的慣量；</b></p><p>　?。簲[桿與垂直向下方向的夾角；&l

41、t;/p><p>　　N：小車與擺桿相互作用力的水平方向的分量；</p><p>　　P：小車與擺桿相互作用力的垂直方向的分量；</p><p>　　F：加在小車上的力；</p><p>　?。盒≤嚨南鄬鶞饰灰?。</p><p>　　2.1.3 線性化后的微分方程</p><p>　　消去式（2-

42、7）中的與，可得下列兩個方程：</p><p><b>　?。?-8）</b></p><p>　　式（2-8）是關(guān)于的非線性方程組，為了分析方便并得到解析解，我們有必要對方程組進行線性化處理。由于控制的目的是保持擺穩(wěn)定于豎直位置附近，小車穩(wěn)定于軌道中心位置附近，故當擺桿與垂直向上方向之間的夾角與(弧度)相比很小，即 ，則此時我們可以對系統(tǒng)進行線性化處理。由于，可令：

43、</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　我們在表達控制理論時，通常有這個習慣，就是用表示控制量。因此在這里，被控對象的輸入力就用表示。則線性化后，得到兩個線性微分方程如下：</p><p><b>　　（2-9）</b></p><p>　　2.1.4 直線一級倒立擺系統(tǒng)的狀

44、態(tài)空間表達式</p><p>　　選取擺桿與垂直向上方向之間的夾角，角速度，小車位移，小車速度為狀態(tài)變量，并令： </p><p>　　由得，，，則可將上述線性微分方程改寫成如下代數(shù)方程組：</p><p><b>　?。?-10） </b></p><p>　　令系統(tǒng)狀態(tài)空間方程：</p><p&

45、gt;<b>　?。?-11）</b></p><p><b>　　（2-12）</b></p><p>　　則由式（2-10）代入式（2-11）和式（2-12）可得：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　故在這里直接從上式（2-13）得出矩陣與，其中&

46、lt;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　在這里，我們以固高小車倒立擺為研究對象，假設(shè)其實際模型參數(shù)如下：</p><p><b>　　小車質(zhì)量</b></p><p><b>　　擺桿質(zhì)量</b></p><p><b>　

47、　小車的滑動摩擦系數(shù)</b></p><p>　　擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度</p><p><b>　　擺桿的慣量</b></p><p><b>　　采樣頻率</b></p><p><b>　　重力加速度</b></p><p>　　將

48、上述數(shù)據(jù)代入系統(tǒng)狀態(tài)空間方程，可得系統(tǒng)矩陣，如下：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　2.2 二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學建模</p><p>　　由于二級倒立擺與直線一級倒立擺的結(jié)構(gòu)是不同的，對二級倒立擺系統(tǒng)可用力學分析方法中的Lagrange方程進行建模。這是因為Lagrange方程有它的特點。首先它是用廣義坐標表達的任意

49、完整系統(tǒng)的運動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度是一樣的。其次，在建立運動方程式時，僅僅分析已知的主動力就行，而不用去分析未知的約束反力，這是因為理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中。最后它是以能量觀點建立起來的運動方程式，所以我們只需從兩個方面分析就可列出系統(tǒng)的運動方程式。其中一個方面是系統(tǒng)的動能，它是表征系統(tǒng)的動力學量；另一個方面是廣義力，它是表征主動力作用的動力學量。故用Lagrange方程對系統(tǒng)進行建模不僅使概念清晰，具有一般性，還可以

50、簡化建模過程。</p><p>　　在這里，我們假設(shè)此二級倒立擺體為剛體，并假設(shè)無空氣流動和各種摩擦，則我們可把倒立擺系統(tǒng)看成小車、勻質(zhì)桿和質(zhì)量塊組成的系統(tǒng)。二級倒立擺的運動分析示意圖如圖2.4所示。</p><p>　　圖2.4 二級倒立擺的運動分析示意圖</p><p>　　我們令為小車的位移，分別為各級擺桿偏移垂直方向的角度，、、為小車、下擺和上擺的質(zhì)量，分別

51、為下、上擺鏈接點到質(zhì)心的距離，、為上、下擺的轉(zhuǎn)動慣量，g為重力加速度。</p><p>　　設(shè)Lagrange方程：</p><p><b>　　（2-13）</b></p><p>　　則得到受到保守力作用的二級倒立擺系統(tǒng)的Lagrange方程為：</p><p><b>　?。?-14）</b>

52、</p><p>　　式中為廣義坐標，在這里為小車的位移和各級擺桿偏移垂直方向的角度，為作用在系統(tǒng)上的廣義力，當、時，；T為系統(tǒng)的動能，V為系統(tǒng)的勢能。則對小車和倒立擺可得下列方程：</p><p><b>　　小車動能：</b></p><p><b>　?。?-15）</b></p><p>&

53、lt;b>　　下擺桿的動能：</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p><b>　　上擺桿的動能：</b></p><p><b>　?。?-17）</b></p><p><b>　　質(zhì)量塊的動能：</b>

54、;</p><p><b>　　（2-18）</b></p><p><b>　　系統(tǒng)的總動能：</b></p><p><b>　?。?-19）</b></p><p><b>　　小車的勢能： </b></p><p><

55、b>　?。?-20）</b></p><p><b>　　下擺桿的勢能：</b></p><p><b>　?。?-21）</b></p><p><b>　　上擺桿的勢能：</b></p><p><b>　　（2-22）</b><

56、;/p><p><b>　　質(zhì)量塊的勢能：</b></p><p><b>　?。?-23）</b></p><p><b>　　系統(tǒng)的總勢能：</b></p><p><b>　　（2-24）</b></p><p><b>

57、;　　故</b></p><p><b>　?。?-25）</b></p><p><b>　　對廣義坐標，有：</b></p><p><b>　?。?-26）</b></p><p>　　將上式（2-26）展開得到以下式子：</p><p&g

58、t;<b>　　（2-27）</b></p><p><b>　?。?-28）</b></p><p>　　再對其整理化簡，得到：</p><p><b>　　（2-29）</b></p><p><b>　?。?-30）</b></p>&

59、lt;p>　　若將，表示成以下形式：</p><p>　　且平衡位置時，各變量的初值為零，即：</p><p>　　則將在平衡位置展開成泰勒級數(shù)，并線性化，可以得到：</p><p>　　那么由式（2-29）和式（2-30）得到關(guān)于，的式子，即</p><p><b>　?。?-31）</b></p>

60、<p><b>　?。?-32）</b></p><p>　　此時，我們便得到了兩個線性化后的微分方程，若用加速度作為輸入，則可以得到一個方程</p><p><b>　　若令：</b></p><p>　　則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：</p><p><b>　?。?-33）&l

61、t;/b></p><p><b>　?。?-34）</b></p><p>　　其中二級倒立擺系統(tǒng)的一些參數(shù)如下：</p><p><b>　　小車質(zhì)量</b></p><p><b>　　下擺桿質(zhì)量</b></p><p><b>　

62、　上擺桿質(zhì)量</b></p><p><b>　　質(zhì)量塊</b></p><p>　　下擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度</p><p>　　上擺桿轉(zhuǎn)動軸心到桿質(zhì)心的長度</p><p><b>　　重力加速度</b></p><p><b>　　代入數(shù)據(jù)得：

63、</b></p><p>　　至此我們已建立二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學模型，得到它的狀態(tài)空間表達式。</p><p>　　第3章 倒立擺系統(tǒng)的極點配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計</p><p>　　現(xiàn)代控制理論是在20世紀50年代中期迅速興起的空間技術(shù)的推動下發(fā)展起來的?，F(xiàn)代控制理論形成的主要標志是以狀態(tài)空間法、極大值原理等為基礎(chǔ)的分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的新的原理和方

64、法得到確立。在此期間，控制理論逐漸由經(jīng)典控制理論過渡到現(xiàn)代控制理論。20世紀60年代初，狀態(tài)空間描法被卡爾曼、貝爾曼等人引入到控制理論中。此方法引入了兩個控制理論中最基本的、能夠反映控制系統(tǒng)的重要特性的概念，它們就是可控性和可觀測性?；跔顟B(tài)空間描述的分析和綜合線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間法在隨后的十年間也比較系統(tǒng)的形成了。</p><p>　　狀態(tài)空間法是現(xiàn)代控制理論中建立在狀態(tài)變量描述基礎(chǔ)上的對控制系統(tǒng)分析和綜合的方法

65、。這種方法是用描述系統(tǒng)內(nèi)部關(guān)系的態(tài)空間描述，并在時域內(nèi)分析和設(shè)計系統(tǒng)，而不是用經(jīng)典控制理論中描述外部輸入輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)而在頻域內(nèi)分析和設(shè)計系統(tǒng)。狀態(tài)空間法不僅適用于單輸入單輸出和線性時不變系統(tǒng)，對時變系統(tǒng)和多輸入多輸出系統(tǒng)也適用。對于狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)，我們經(jīng)常用極點配置算法來設(shè)計控制器。如果所有的狀態(tài)變量都能測量并且也能反饋，且系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則我們就能用極點配置的方法，通過一個恰當?shù)臓顟B(tài)反饋增益矩陣，就能把閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置

66、到任何我們所期望的位置上。</p><p>　　本章首先介紹了系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能觀性的概念及其判據(jù)，并且也介紹了狀態(tài)反饋和輸出反饋的概念及空間表達式。接著簡述了單輸入和多輸入極點配置算法的步驟。最后在建立一、二級倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的基礎(chǔ)上分別對一、二級倒立擺進行極點配置，同時求得不同極點配置下的狀態(tài)反饋矩陣K。</p><p>　　3.1 系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和狀態(tài)能觀性</

67、p><p>　　對在系統(tǒng)進行極點配置時，首先要判斷系統(tǒng)是否可控。所謂系統(tǒng)的可控性是指系統(tǒng)中的每一個狀態(tài)變量的運動都可由輸入來影響和控制，從任意的起始點到達原點。這種可控是狀態(tài)完全能控的，若不是這樣，則稱系統(tǒng)是不完全可控的。系統(tǒng)的可觀性是指系統(tǒng)中所有的狀態(tài)變量的運動可以由輸出完全反映出來。這種可觀是狀態(tài)完全能觀的，否則系統(tǒng)是不完全能觀的。</p><p>　　對于系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述方程：<

68、/p><p><b>　　（3-1）</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　此時，系統(tǒng)的狀態(tài)能控性指的是輸入量u(t)支配狀態(tài)向量X(t)的能力，它回答了控制輸入u(t)能否使狀態(tài)向量X(t)作任意轉(zhuǎn)移的問題；系統(tǒng)的狀態(tài)能觀性指的輸出量Y(t)支配狀態(tài)向量X(t)的能力，它回答了能否通過輸

69、出量Y(t)的測量值確定狀態(tài)向量X(t)的問題[3]。</p><p>　　3.1.1 系統(tǒng)的能控性判據(jù)和能觀性判據(jù)</p><p>　　對于連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)，有許多可控性判據(jù)，其中有秩判據(jù)、約旦規(guī)范形判據(jù)、PBH判據(jù)等。在這里我們就用秩判據(jù)討論系統(tǒng)的能控性。</p><p>　　對于上式（3-1）和（3-2）所示的狀態(tài)空間描述方程，其中A為矩陣，B為矩陣，C

70、為矩陣。則系統(tǒng)可控的充分必要條件是：</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　系統(tǒng)可觀的充分必要條件是：</p><p><b>　　（3-4）</b></p><p>　　3.1.2 狀態(tài)反饋和輸出反饋</p><p>　　狀態(tài)反饋指的是在構(gòu)成閉

71、環(huán)控制系統(tǒng)時，利用系統(tǒng)中的全部狀態(tài)變量通過反饋網(wǎng)絡(luò)引入到系統(tǒng)的輸入端起控制調(diào)整作用的這樣一類系統(tǒng)。若線性定常系統(tǒng)如下所示，，將它的u取為狀態(tài)X的線性函數(shù)</p><p><b>　?。?-5）</b></p><p>　　時，稱其為狀態(tài)反饋。若將控制u取為輸出y的線性函數(shù)</p><p><b>　?。?-6）</b>&l

72、t;/p><p>　　則稱其為輸出反饋。式中的v是參考輸入。</p><p>　　對狀態(tài)反饋，其狀態(tài)空間描述為：</p><p><b>　?。?-7）</b></p><p>　　相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為：</p><p><b>　?。?-8）</b></p>&l

73、t;p>　　對輸出反饋，其狀態(tài)空間描述為：</p><p><b>　?。?-9）</b></p><p>　　相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣為：</p><p><b>　?。?-10）</b></p><p>　　3.2 極點配置問題</p><p>　　3.2.1 單輸入系統(tǒng)

74、的極點配置</p><p>　　設(shè)給定的線性定常系統(tǒng)為：</p><p><b>　?。?-11）</b></p><p>　　式中，為n維狀態(tài)變量，u為p維控制向量，A和B為已知的相應(yīng)維數(shù)的常數(shù)陣。若給定n個反映性能指標的期望閉環(huán)極點為：</p><p>　　它們或為實數(shù)，或是共軛復(fù)數(shù)。那么，極點配置的問題就是要確定一

75、個的狀態(tài)反饋增益陣K，使狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：</p><p><b>　?。?-12）</b></p><p>　　的極點為，即使它的特征值滿足滿足下列關(guān)系式：</p><p><b>　?。?-13）</b></p><p><b>　　式中表示的特征值。</b></p&

76、gt;<p>　　3.2.2 極點配置算法</p><p>　　反饋增益矩陣有兩種方法可以求。這里僅介紹一種。其算法步驟如下：</p><p>　　1. 判斷(A,B)是否可控，若完全可控，進入下一步；若不完全可控，停止計算；</p><p>　　2. 計算由期望閉環(huán)特征值決定的特征多項式：</p><p>　　3. 令，并計算

77、A-BK的特征多項式，有：</p><p>　　式中的，，是由組成的關(guān)系式。</p><p>　　4. 比較兩個特征多項式的系數(shù)可得：</p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　5. 計算K。</b></p><p>　　3.2.3 多輸入系統(tǒng)的極

78、點配置</p><p>　　對于多輸入系統(tǒng)的極點配置問題，有許多種算法可以確定狀態(tài)反饋增益矩陣，但比起單輸入系統(tǒng)則要復(fù)雜得多。在多變量系統(tǒng)中，狀態(tài)反饋增益矩陣K不是唯一的。但從工程應(yīng)用的角度來說，希望K的各個元素盡可能小。如何得到一個簡單而實用的多輸入系統(tǒng)的極點配置算法仍是一個尚需解決的問題。目前大多是采用適合計算機設(shè)計的規(guī)范化方法。設(shè)給定多變量系統(tǒng)可控，其一般計算步驟如下：

79、 </p><p>　　將可控矩陣對化成某種規(guī)范型(如龍伯格規(guī)范型)；</p><p>　　將給定的期望閉環(huán)極點按規(guī)范型計算它們的特征多項式；</p><p>　　求取規(guī)范型的狀態(tài)反饋增益矩陣K。</p><p>　　3.3 狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計&

80、lt;/p><p>　　首先研究用狀態(tài)變量作反饋的控制方式。給定式（3-1）和式（3-2）的系統(tǒng)：</p><p><b>　　我們令</b></p><p><b>　?。?-13）</b></p><p>　　式中的v是參考輸入，K為狀態(tài)反饋增益矩陣，這里它是的向量。</p><

81、p>　　將式子代入上述動態(tài)方程，就可得出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如式（3-7）所示。式（3-7）中的為閉環(huán)系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣。</p><p>　　加入狀態(tài)反饋矩陣后的系統(tǒng)方塊圖如圖3.1所示：</p><p>　　圖3.1 加入狀態(tài)反饋矩陣后的系統(tǒng)方塊圖</p><p>　　我們很容易證明若原來系統(tǒng)可控，加上任意的狀態(tài)反饋后，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)也可控。若原來系統(tǒng)不

82、可控，不論用什么K陣作狀態(tài)反饋，所得到的閉環(huán)系統(tǒng)仍然不可控。這一性質(zhì)稱為狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的可控性。</p><p>　　極點配置問題就是把閉環(huán)極點組配置到所希望的位置上 ,使綜合得到的系統(tǒng)動態(tài)性能達到期望的要求。通過選取反饋增益矩陣來改變閉環(huán)特征值在復(fù)平面上的位置，稱為狀態(tài)反饋進行極點配置問題。</p><p>　　3.3.1 直線一級倒立擺系統(tǒng)的極點配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計</

83、p><p>　　在上面我們已求出直線一級倒立擺的狀態(tài)方程為式（3-1）和（3-2）所示。其中的矩陣，如下：</p><p><b>　　，。</b></p><p>　　則系統(tǒng)的特征方程為：</p><p><b>　?。?-14）</b></p><p>　　這里的I為矩陣，將

84、矩陣A代入系統(tǒng)的特征方程，則可得到：</p><p><b>　　（3-15）</b></p><p>　　求出系統(tǒng)的開懷極點為：，，，。從中可以看出系統(tǒng)存在著一個不穩(wěn)定的極點和一個臨界不穩(wěn)定極點，故在這里我們可以說明系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　因此，在這里，我們有必要對該系統(tǒng)進行極點配置，把該系統(tǒng)的閉環(huán)極點配置到我們所希望的位置上。

85、進行極點配置前，必須討論該系統(tǒng)的可控性。</p><p>　　利用式（3-3）所示的可控性判據(jù)進行判別。由于A為4階矩陣，故這里的n取4，將矩陣A 與矩陣B代入，容易證得該系統(tǒng)可控。</p><p>　　我們引入狀態(tài)反饋增益矩陣K，令，代入閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。</p><p><b>　　則</b></p><p>

86、;<b>　　那么的特征式</b></p><p><b>　　令，得以下式子：</b></p><p><b>　?。?-16）</b></p><p>　　當我們指定以下特征值，即：</p><p><b>　　，</b></p><

87、;p>　　此時，得到我們期望的特征式：</p><p><b>　?。?-17）</b></p><p>　　比較兩個特征式的系數(shù)，可以列出關(guān)于k1 、k2、、k3 、k4的方程組：</p><p><b>　　（3-18）</b></p><p>　　求解方程組后，得到的解為：k1=-1.0

88、608，k2=-1.3730，k3=20.0856，k4=3.0232。.則狀態(tài)反饋增益矩陣K=[-1.0608 -1.3730 20.0856 3.0232]。</p><p>　　當指定的特征值為，時，狀態(tài)反饋增益矩陣K=[-84.1250 -48.3908 152.3370 27.0998]。</p><p>　　至此，已求得直線一級倒立擺的極點配置的狀態(tài)反饋控制器。</p&g

89、t;<p>　　3.3.2 直線二級倒立擺系統(tǒng)的極點配置的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計</p><p>　　由第二章求出的二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式如式（2-33）和式（2-33）所示。其中求得的矩陣A與矩陣B如下：</p><p>　　由矩陣A易得系統(tǒng)的開懷極點為s=9.6946、4.8209、-9.6946、-4.8209、0、0。故系統(tǒng)存在兩個不穩(wěn)定的極點和兩個臨界穩(wěn)定極點

90、，則由此可判斷系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。我們可用極點配置算法把極點配置到穩(wěn)定的極點位置上，且使系統(tǒng)能有最佳的輸出響應(yīng)。下面就介紹通過極點配置得到二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器。</p><p>　　首先判斷系統(tǒng)的可控性，由可控性判據(jù)如式（3-3）所示，容易證得系統(tǒng)是可控的。我們引入狀態(tài)反饋增益矩陣K，令，代入閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，得：</p><p><b>　?。?-19）</

91、b></p><p>　　令，可得到關(guān)于k1、k2、k3、k4、k5、k6的一個方程。設(shè)指定的特征值為λ=-10 +10i、-10 -10i、-5 + 5i、-5 - 5i-2 + i和-2 – i，則我們可以得到一個期望特征式：</p><p><b>　　（3-20）</b></p><p>　　由比較這兩個方程式的同類項可求得k1、

92、k2、k3、k4、k5、k6。為了避免列寫k1、k2、k3、k4、k5、k6時而帶來計算量的麻煩，這里可用編寫Matlab語言進行計算。求狀態(tài)反饋矩陣K的Matlab語句如下：</p><p>　　A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;</p><p>　　0 78.6370 -21.6252 0 0 0;0 -39.3185

93、 38.5904 0 0 0];</p><p>　　B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];</p><p>　　C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];</p><p>　　P1=-10+10i;</p><p>　　P2=-10-10i;</p><p>&l

94、t;b>　　P3=-5+5i;</b></p><p><b>　　P4=-5-5i;</b></p><p><b>　　P5=-2+i;</b></p><p><b>　　P6=-2-i;</b></p><p>　　K=place(A,B,[P1,P2

95、,P3,P4,P5,P6]);</p><p>　　經(jīng)編譯后得出：K=[ 22.8900 114.4942 -227.7937 25.1790 1.0716 -37.2451]。當指定極點為λ=-12 +12i、-12 -12i、-7+ 7i、-7 - 7i、-4 +3 i和-4 –3 i時，求出的K為：K=[ 323.0233 138.7026 -747.7030 176.4322 -24.5401 -130.

96、1616]。</p><p>　　第4章 基于線性二次型LQR算法的狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計</p><p>　　第三章已經(jīng)設(shè)計出了直線一級倒立擺基于極點配置的狀態(tài)反饋控制器對倒立擺進行控制。這里還可以用線性二次型LQR算法來設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器對倒立擺進行控制。這一章就就描述LQR算法的基本原理及如何用LQR算法來設(shè)計出一個狀態(tài)反饋控制器。</p><p>　　線性

97、二次型性最優(yōu)控制理論也算是現(xiàn)代控制理論的一種。LQR(linear quadratic regulator)也就是線性二次型調(diào)節(jié)器。它控制的是狀態(tài)空間描述的線性系統(tǒng)。它有一個目標函數(shù)J，那是一個關(guān)于狀態(tài)變量和控制輸入的二次型函數(shù)。在控制時，要設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器K，能使這個目標函數(shù)要為最小。這里Q、R的選擇非常關(guān)鍵，因為這兩個矩陣唯一決定矩陣K。本章首先介紹了二次型最優(yōu)控制問題以及Q、R矩陣的選擇問題，最后設(shè)計了一級倒立擺和二級倒立擺

98、系統(tǒng)的LQR控制器。</p><p>　　4.1 二次型最優(yōu)控制問題</p><p>　　設(shè)線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：</p><p><b>　?。?-1）</b></p><p>　　并設(shè)二次型性能指標函數(shù)為</p><p><b>　　（4-2）</b></

99、p><p>　　式中，S為對稱半正定維(常數(shù))終端加權(quán)陣；Q(t)為對稱半正定維(時變) 狀態(tài)加權(quán)陣；R(t)為對稱正定維(時變) 狀態(tài)加權(quán)陣；t0、t1為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的起始與終端時間。式中的第一項表示的是終值誤差，從理論上講積分項中的第一項已經(jīng)包含了終端誤差的成分，但是如果要特別強調(diào)終值誤差，則可以加上這一項，反之就可以不用加了。</p><p>　　最優(yōu)控制問題是為給定的系統(tǒng)尋找一個最優(yōu)控制規(guī)

100、律，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(t1)，且滿足性能指標式最小。在最優(yōu)控制作用下的解稱為最優(yōu)軌跡，最小的性能指標稱為最優(yōu)性能指標。</p><p>　　因此二次型性能指標的最優(yōu)控制問題實質(zhì)上就是:要求用較小的控制能量來獲得較小的誤差的最優(yōu)控制。</p><p>　　首先構(gòu)造哈密爾頓函數(shù)：</p><p><b>　?。?-3）</b><

101、;/p><p>　　式中，為構(gòu)造的n維共態(tài)向量。</p><p>　　由于控制量u(t)不受約束，所以使H取絕對極小值的最優(yōu)控制可通過駐點條件</p><p><b>　?。?-4）</b></p><p>　　求出?？紤]R(t)是對稱正定矩陣，則</p><p><b>　?。?-5）&l

102、t;/b></p><p>　　我們可以證明在整個時間過程，與存在線性關(guān)系，因而可以假設(shè)</p><p><b>　?。?-6）</b></p><p>　　式中為黎卡提微分方程的解：</p><p><b>　　（4-7）</b></p><p>　　則常數(shù)陣，且，故

103、有：</p><p><b>　　（4-8）</b></p><p>　　此式稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。因此由可得狀態(tài)反饋向量：。由此可見最優(yōu)控制器的設(shè)計的關(guān)鍵是選擇合適的加權(quán)陣Q和R，并據(jù)此計算出黎卡提矩陣代數(shù)方程中的P，就可以求出反饋增益K了。</p><p>　　最優(yōu)線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器框圖如圖4.1所示：</p><p>

104、;　　圖4.1 最優(yōu)線性狀態(tài)調(diào)節(jié)器框圖</p><p>　　4.2 Q、R陣的選擇</p><p>　　在利用LQR方法設(shè)計控制器時，如何選取二次型性能指標是一個最關(guān)鍵、最重要的問題。要想確定加權(quán)陣Q、R并非易事，到現(xiàn)在還是一項重要且困難的工作。這是因為至今我們還未完全建立二次型性能指標與實際工程意義的品質(zhì)指標間的聯(lián)系。</p><p>　　一般來說，在選取加權(quán)矩陣

105、Q和R，我們都要折衷考慮提高控制性能與降低控制能量消耗這兩個方面。為了使問題簡單，且使加權(quán)陣Q和R的各元素有明顯的物理意義，通常將加權(quán)陣Q和R選為對角陣。這樣可以看出qi是對狀態(tài)xi的平方的加權(quán)，qi相對減小時就意味著對xi的要求不嚴，反之，就意味著對xi的要求較嚴；其中R是對控制量u的平方的加權(quán)，當R相對較小，意味著控制費用較低，使得控制能量較大，反饋增強，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)迅速；當R相對很大時，控制費用較高，反饋減小，系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)就變慢。

106、常見的還是采取試湊法，即一邊看控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果，一邊進行調(diào)整再仿真的辦法。具體的說，先根據(jù)經(jīng)驗或只是任意的設(shè)定一組Q或R值進行控制器的設(shè)計，然后觀察控制系統(tǒng)的仿真結(jié)果，如果系統(tǒng)的性能指標不能滿足要求，便調(diào)整加權(quán)矩陣Q和R的值，重新設(shè)計和仿真。反復(fù)進行這一過程，直至獲取滿意性能指標的狀態(tài)反饋增益矩陣為止。選取Q和R的基本原則是：要降低系統(tǒng)的誤差可增加Q；如果對控制量有約束，則只能同時選取Q或R，使控制量滿足約束條件。總之，總的設(shè)計目標是

107、在滿足所給定的約束條件下，取得盡可能好的系統(tǒng)控制性能。如果將Q和R取為時變陣，則可以在開始控制的</p><p>　　4.3 LQR控制器的設(shè)計</p><p>　　4.3.1 直線一級倒立擺LQR控制器的設(shè)計</p><p>　　由前面幾章我們已經(jīng)知道直線一級倒立擺的狀態(tài)方程及系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，需設(shè)計一個LQR的狀態(tài)反饋控制器。為了簡單起見，我們選取R=1，。由于&

108、lt;/p><p><b>　　則</b></p><p>　　我們可以改變Q矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。Q11、Q33分別為小車位置的敏感程度和擺桿角度的敏感程度。首先取Q11、Q33分別為100和100，則由以下程序求得狀態(tài)反饋矩陣K。程序如下：</p><p>　　A=[0 1 0 0;0 -0.0883 0.6422 0;

109、0 0 0 1;0 -0.2357 28.3965 0];</p><p>　　B=[0;0.8832;0;2.3566];</p><p>　　C=[1 0 0 0;0 0 1 0];</p><p><b>　　R=1;</b></p><p>　　Q=[100 0 0 0 ;0 1 0 0 ;0 0 100 0;0

110、 0 0 0 ];</p><p>　　K=lqr(A,B,Q,R)</p><p>　　經(jīng)編譯，求得K = [-10.0000 -9.1533 52.5255 9.8380]。當Q11、Q33分別取為500和100時，K = [-22.3607 -16.2577 70.2009 13.3086]。當Q11、Q33分別取為5000和100時，K = [-84.1250 -48.3908 1

111、52.3370 27.0998]。</p><p>　　4.3.2 直線二級倒立擺LQR控制器的設(shè)計</p><p>　　我們已經(jīng)得到直線二級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，其中系統(tǒng)矩陣為：</p><p><b>　　，，</b></p><p>　　則我們可以計算系統(tǒng)的特征值，通過MATLAB軟件編程，可以得到系統(tǒng)的特征值為9

112、.6946、4.8209、-9.6946、-4.8209、0、0。從中可以看出系統(tǒng)有兩個不穩(wěn)定的極點和兩個臨界不穩(wěn)定極點。則這個系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，此時必須設(shè)計一個狀態(tài)反饋控制器，這里還可用LQR控制器。</p><p>　　若使用狀態(tài)完全反饋控制器。其控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖4.1所示：</p><p>　　圖4.1 直線二級倒立擺控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖</p><p>　　圖中V

113、為加在小車上的階躍輸入，六個狀態(tài)變量x1、x2、x3、x4、x5、x6分別代表小車位移、下擺位置、上擺位置、下車速度、下擺角速度、上擺角速度。輸出包括小車位置、下擺位置和上擺位置。設(shè)計控制器的目的就是使得當給這個系統(tǒng)加入一個階躍信號時，小車能左右移動，最后回到導軌中心附近，擺桿還能回到垂直向上的位置。</p><p>　　同樣地，一個最關(guān)鍵的問題還是加權(quán)陣Q、R的選擇。這里我們就假設(shè)R=1，Q為單位矩陣。通過改變

114、Q矩陣中的非零元素來調(diào)節(jié)控制器以得到期望的響應(yīng)。其中，Q11 、Q22 、Q33分別為小車位置的敏感程度、下擺桿角度的敏感程度、上擺桿角度的敏感程度，R為輸入的敏感程度。</p><p>　　首先取Q11=200，Q22=100，Q33=100，R=1，則由下列程序：</p><p>　　A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 1;0 0 0 0 0 0;

115、</p><p>　　0 78.6370 -21.6252 0 0 0;0 -39.3185 38.5904 0 0 0];</p><p>　　B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];</p><p><b>　　R=1;</b></p><p>　　Q=[200 0 0 0 0 0;0 100 0 0

116、0 0;0 0 100 0 0 0;</p><p>　　0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];</p><p>　　K=lqr(A,B,Q,R)</p><p>　　poles=eig(A-B*K)</p><p><b>　　求得：</b></p><p>

117、　　狀態(tài)反饋后的閉環(huán)極點為-10.0315 + 2.5317i、-10.0315 - 2.5317i、-5.2787 + 2.6067i、-5.2787 - 2.6067i、-2.2651 + 1.7877i、-2.2651 - 1.7877i。此時的極點全部是穩(wěn)定的極點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。</p><p>　　當取Q11=200，Q22=100，Q33=100，R=0.1時，求得K為：</p>&

118、lt;p>　　狀態(tài)反饋后的閉環(huán)極點為-11.6336 + 7.5331i、-11.6336 - 7.5331i、-6.7105 + 3.1336i、-6.7105 - 3.1336i、-2.5195 + 1.7099i、-2.5195 - 1.7099i。</p><p>　　第5章 倒立擺系統(tǒng)的仿真</p><p>　　5.1 直線一級倒立擺極點配置控制的仿真</p>

119、<p>　　根據(jù)前面所建立的一級倒立擺的狀態(tài)空間表達式及設(shè)計的極點配置的狀態(tài)反饋控制器， </p><p>　　首先在Simulink環(huán)境中建立仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖5.1所示：</p><p>　　圖5.1 直線一級倒立擺狀態(tài)反饋的仿真結(jié)構(gòu)原理圖</p><p>　　圖中A、B、D為第二章所求得的矩陣，C取為四階單位矩陣，則輸出矩陣Y便是狀態(tài)變量矩陣X。圖中

120、的示波器1能觀察到控制量的輸出波形。圖中的示波器2能觀察到每個狀態(tài)變量的輸出波形。這里的每個狀態(tài)變量分別代表直線一級倒立擺系統(tǒng)的小車位置、擺桿角度、小車速度和擺桿角速度。當配置的極點為-7.4527+9.666i、-7.4527-9.666i、-3.1538+1.8334i、-3.1538-1.8334i時，反饋矩陣K = [-84.1250 -48.3908 152.3370 27.0998]，代入系統(tǒng)仿真。仿真前輸入狀態(tài)變量

121、的初始值為X0=[0;0.05;0;0]，給定階躍輸入，得到直線一級倒立擺系統(tǒng)的小車位置、擺桿角度、小車速度和擺桿角速度的仿真曲線如圖5.2所示，控制量的仿真曲線如圖5.3所示。</p><p>　　小車位移 擺桿角度</p><p>　　小車速度 擺桿角速度</p><