第十一章變異數(shù)分析

1、11-1,統(tǒng)計(jì)學(xué),郭信霖許淑卿,11-2,第十一章變異數(shù)分析,■ 11-1 變異數(shù)分析的意義、原理■ 11-2 一因子ANOVA■ 11-3 二因子變異數(shù)分析（未重複試驗(yàn)、無交互作用）■ 11-4 電腦範(fàn)例■ 11-5 流程圖,11-3,11-1 變異數(shù)分析的意義、原理,一、變異數(shù)分析的意義統(tǒng)計(jì)學(xué)家R.A. Fisher（1890～1962）首創(chuàng)變異數(shù)分析（Analysis of Variance，ANOV

2、A），在相同的顯著水準(zhǔn)?下，同時(shí)（simultaneously）檢定k個(gè)母體平均數(shù)是否相等的方法，謂之。一因子ANOVA（one-way ANOVA）：以一個(gè)解釋變數(shù)來解釋反應(yīng)變數(shù)變異來源的一種分析方法。二因子ANOVA（two-way ANOVA）：以兩個(gè)解釋變數(shù)來解釋反應(yīng)變數(shù)變異來源的一種分析方法。多因子ANOVA：按兩個(gè)以上因子分類分析。,11-4,,11-5,,ANOVA的步驟是，將樣本各觀測值之總變異（total of

3、variation）分解為組間變異（between of variation）與組內(nèi)變異（within of variation）。ANOVA方法是透過對變異數(shù)的分析來同時(shí)檢定k個(gè)母體之平均數(shù) ?i，i = 1, 2, …, k是否相等。即檢定，H0：?1 = ?2 =…= ?k，H1：至少有二平均數(shù)不等。,11-6,二、變異數(shù)分析之原理ANOVA基本功能： H0：?1 = ?2 =…= ?k v.s. H1：?1

4、, ?2 , …, ?k不全相等進(jìn)行ANOVA分析時(shí)，必先建立三種假設(shè)：(1)每個(gè)母體均為常態(tài)母體。(2)來自每個(gè)母體的隨機(jī)樣本均互為獨(dú)立。(3)每個(gè)母體的變異數(shù)均相等，即==…=　=組內(nèi)變異：由各組本身資料的分佈情形去觀察資料本身內(nèi)部的變異；組間變異：由各組平均數(shù)的分佈情形去觀察各組平均數(shù)之間的變異。,,,,,11-7,SST(總變異) == += +=

5、 SSE (組內(nèi)變異) + SSC (組間變異)= 誤差平方和 + 行平均數(shù)平方和（處理平方和）簡捷公式：先求SST，SSC，再求SSE = SST - SSC。,,,,,,11-8,若n1 = n2 =… = nk = n，則簡捷計(jì)算公式為SST ==SSC == n=∴ SSE = SST - SSC == (n -1),,,,,,,,11-9,若ni不全相等

6、，則簡捷計(jì)算公式為：SST ==，N =SSC ==　　=∴ SSE = SST - SSC = 　　 =變異數(shù)分析方法的建立就是以樣本資料去估計(jì)組內(nèi)和組間這兩種變異數(shù)，再配合各自由度，以應(yīng)用F分配檢定。,,,,,,,,,11-10,11-2 一因子ANOVA,一、一因子ANOVA樣本資料設(shè)從k個(gè)母體中，分別抽出大小為ni，i = 1, 2, …, k的隨機(jī)樣本，令Y

7、ij表來自第i個(gè)母體的第j個(gè)觀測值，這種試驗(yàn)過程，稱為完全隨機(jī)設(shè)計(jì)（completely randomized design，CRD），所得到的樣本資料如下表：,11-11,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表11-3 一因子ANOVA樣本資料,11-12,設(shè)N =，T ==， = = ，=且Yij = ? i + ? ij = ? + ? i + ? ij ～N( ? i , ? 2 )，i =

8、 1, …, k，j = 1, …, n i，式中? ij = Yij -? i表誤差項(xiàng)（error term）或殘差項(xiàng)（residual）。其性質(zhì)如下：(1)? ij為獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)。(2) ? ij ～N(0 , ? 2)(3)? i - ? = ? i且= 0(4) ? i稱為第i個(gè)母體的效果、影響。,,,,,,,,,11-13,圖11-3 一因子ANOVA,11-14,二、一因子ANOVA的變異及計(jì)算簡式SST =

9、 SSC (組間變異) + SSE (組內(nèi)變異),N – 1 = ( k - 1) + (N - k) ， N =,總變異自由度 組間自由度 組內(nèi)自由度（誤差變異自由度）,11-15,三、母體變異數(shù)? 2的估計(jì)量母體共同變異數(shù)? 2的獨(dú)立估計(jì)量有二：1.組間變異：= = = MSC（treatment mean square）E(MSC) = ? 2 + > ? 2 = E(

10、MSE)2.組內(nèi)變異：= = MSE（error mean square） E(MSE) = ? 2。,,,,,,,11-16,四、一因子ANOVA檢定步驟及表格一因子ANOVA檢定步驟：(1)假設(shè)：　 H0：?1 = ?2 =…= ?k， H1：至少有二平均數(shù)不相等或H0：?1 = ?2 =…= ?k = 0， H1：至少有一?i ? 0(2)檢定統(tǒng)計(jì)量：F = =,,,11-17

11、,(3)拒絕區(qū)域：CR = { F > F? (k-1, N-k) }(4)在H0下，計(jì)算檢定統(tǒng)計(jì)量的值：F0 = (5)結(jié)論： 若F0?CR，則拒絕H0； 否則，不拒絕H0。,,11-18,,,,,,,,,,,,,,,11-19,11-3 二因子變異數(shù)分析（未重覆試驗(yàn)、無交互作用）,一、二因子ANOVA樣本資料將一組樣本觀測值，按A、B兩種標(biāo)準(zhǔn)、因子分類，其中A分類為A1 , A2 ,… , Ar；B分類為

12、B1 , B2 ,… , Bc，在每一個(gè)交集項(xiàng)下在完全隨機(jī)化集區(qū)設(shè)計(jì)（complete randomized block design，CRBD）將相近的性質(zhì)歸類於同一個(gè)集區(qū)Bj，然後在每個(gè)集區(qū)將r個(gè)處理方式隨機(jī)指派，而每一個(gè)處理方式在同一個(gè)集區(qū)內(nèi)恰好出現(xiàn)一次，此種變異數(shù)分析，稱為未重覆試驗(yàn)的二因子ANOVA，其所得到的樣本資料如下表：,11-20,,,,,,,,,,,,,,,,,,,表11-5 二因子ANOVA樣本資料,11-21,

13、設(shè)Yij ～N(? ij , ? 2)，i = 1 ,…, r；j = 1 , … , c且Yij為獨(dú)立的隨機(jī)變數(shù)，表示第i列與第j行的樣本資料，Yij = ? ij + ? ij = ? +? i + ? j +? ij，i = 1 , … , r，j = 1 , …c，式中?ij = Yij - ?ij表Yij與 ?ij之差，稱其為誤差項(xiàng)或殘差項(xiàng)。其性質(zhì)如下：(1)? ij為獨(dú)立隨機(jī)變數(shù)。(2)? ij ～N(0

14、, ? 2 )(3)? i表第i列的影響且= 0；? j表第i行的影響且= 0。(4)設(shè)行、列間的影響有可加性，則? ij = ? +? i+? j 且? i. = ? + ? i，?.j = ? + ? j,11-22,二、二因子ANOVA的變異及計(jì)算簡式,將樣本資料總變異，按變異來源，分解成列變異（列平方和，SSR）、行變異（行平方和，SSC）及剩餘變異（誤差平方和，SSE）等三部份。SST = =

15、c + r += SSR + SSC + SSE,,,,,11-23,二因子ANOVA中平方和計(jì)算簡式：總變異 = SST = =列變異 = SSR = c=行變異 = SSC = r=誤差變異 = SSE = SST - SSR - SSC rc – 1 = ( r - 1) + (c - 1) + (r - 1)(c - 1)總變

16、異自由度 列變異自由度 行變異自由度 誤差變異自由度,,,,,,,11-24,三、母體變異數(shù)? 2的估計(jì)量,母體共同變異數(shù)? 2的獨(dú)立估計(jì)量有三：1.列間變異：MSR = E(MSR) = ? 2 +> ? 2 = E(MSE),,,11-25,2.行間變異： MSC = E(MSC) = ? 2 + > ? 2 = E(M

17、SE)3.誤差變異： MSE = E(MSE) = ? 2,,,,11-26,四、二因子ANOVA檢定步驟及表格,二因子ANOVA檢定步驟：1.假設(shè)：(1)檢定列間因素的影響 或 (2)檢定行間因素的影響 或,,,,,11-27,2.檢定統(tǒng)計(jì)量：Fr = ； (2) Fc = 3.拒絕區(qū)域

18、：(1)CR1 = { Fr > F? ( r - 1 , (r -1)(c-1) ) }(2)CR2 = { Fc > F? ( c - 1 , (r -1)(c-1) ) }4.在H0下，計(jì)算檢定統(tǒng)計(jì)量的值：Fr0 = ；(2) Fc0 =5.結(jié)論：若Fr0?CR1，則拒絕H0；否則，不拒絕H0。 若Fc0?CR2，則拒絕；否則，不拒絕。,,,,,11-28,,,,,,,,,,,,,,表