第十一章電勢(shì)

1、第11 章 電勢(shì),§11.1 靜電場(chǎng)的保守性§11.2 電勢(shì)差和電勢(shì)§11.3 電勢(shì)疊加原理§11.4 等勢(shì)面§11.5 電勢(shì)梯度§11.6 電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能§11.8 靜電場(chǎng)的能量,一. 靜電場(chǎng)是保守場(chǎng),§11.1 靜電場(chǎng)的保守性,1.點(diǎn)電荷的靜電場(chǎng)：,點(diǎn)電荷q固定于原點(diǎn)O，檢驗(yàn)電荷q0在q的電場(chǎng)中由a點(diǎn)沿

2、任意路徑到達(dá)b點(diǎn)，取微元dl，電場(chǎng)力對(duì)q0的元功為,在靜止的點(diǎn)電荷電場(chǎng)中，移動(dòng)單位正電荷時(shí)，電場(chǎng)力做的功只與試驗(yàn)電荷始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。,2.任意電荷系的靜電場(chǎng)：,任何靜電場(chǎng)中，電場(chǎng)力作功只與試探電荷的始末位置有關(guān)，而與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，即靜電力是保守力，靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。,任意帶電體都可以看成由許多點(diǎn)電荷組成的點(diǎn)電荷系，根據(jù)疊加原理可知，點(diǎn)電荷系的場(chǎng)強(qiáng)為各點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的疊加,任意點(diǎn)電荷系電場(chǎng)中，移動(dòng)單位電荷時(shí)電場(chǎng)力所作的功為：,二

3、. 靜電場(chǎng)的環(huán)路定理（靜電場(chǎng)是保守場(chǎng)表述二）,在靜電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)沿任意閉合路徑的線積分為零 －－靜電場(chǎng)的環(huán)路定理。,在靜電場(chǎng)中，將試探電荷沿閉合路徑移到一周時(shí)，考慮場(chǎng)強(qiáng)沿閉合路徑的線積分：,電場(chǎng)力作功與路徑無(wú)關(guān),§11.2 電勢(shì)差和電勢(shì),一. 電勢(shì)差,（任意路徑）,靜電場(chǎng)中P1、P2兩點(diǎn)的電勢(shì)差，等于將單位正電荷從 P1 點(diǎn)移至 P2點(diǎn)電場(chǎng)力所作的功。,二. 電勢(shì),靜電場(chǎng)中 P 點(diǎn)的電勢(shì)，在數(shù)值上等于單位正電荷自

4、P點(diǎn)沿任意路徑移到電勢(shì)零點(diǎn)，電場(chǎng)力所做的功。,當(dāng)電荷要分布在有限區(qū)域時(shí)，選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處為電勢(shì)零點(diǎn)，則,電勢(shì)是標(biāo)量，有正有負(fù)；電勢(shì)的單位：伏特 1V=1J.C-1；電勢(shì)具有相對(duì)意義，它決定于電勢(shì)零點(diǎn)的選擇。在理論計(jì)算中，通常選擇無(wú)窮遠(yuǎn)處的電勢(shì)為零；在實(shí)際工作中，通常選擇地面的電勢(shì)為零。但是對(duì)于“無(wú)限大”或“無(wú)限長(zhǎng)”的帶電體，只能在有限的范圍內(nèi)選取某點(diǎn)為電勢(shì)的零點(diǎn)。,,例：求與靜止的點(diǎn)電荷q的距離為r處的電勢(shì),正電荷的電勢(shì)為正，離電荷

5、越遠(yuǎn)，電勢(shì)越低；負(fù)電荷的電勢(shì)為負(fù)，離電荷越遠(yuǎn)，電勢(shì)越高。,例11.1 求均勻帶電球面的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。球面半徑為 R ，帶電量為 q (設(shè)q>0 )。,解：,（1）球面外某點(diǎn)的電勢(shì),以無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。,（2）求球面內(nèi)一點(diǎn)的電勢(shì),例11.2 求無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。已知線電荷密度為 ? 。,解：,無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電直線周?chē)膱?chǎng)強(qiáng),以距帶電直線為r0的P0點(diǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。,距帶電直線為r的P點(diǎn)的電勢(shì)為,式中C為與電

6、勢(shì)零點(diǎn)的位置有關(guān)的常數(shù)。,§11.3 電勢(shì)疊加原理,一. 電勢(shì)疊加原理,一個(gè)點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)中某一點(diǎn)的電勢(shì)，等于各點(diǎn)電荷單獨(dú)存在時(shí)在該點(diǎn)所產(chǎn)生的電勢(shì)的代數(shù)和——靜電場(chǎng)的電勢(shì)疊加原理。,（電勢(shì)疊加原理）,二. 電勢(shì)的計(jì)算,1、運(yùn)用點(diǎn)電荷電勢(shì)公式和電勢(shì)疊加原理計(jì)算電勢(shì),點(diǎn)電荷的電勢(shì)：,,,電荷連續(xù)分布的帶電體的電勢(shì),點(diǎn)電荷系的電勢(shì),例11.3 求電偶極子的電場(chǎng)中的電勢(shì)分布。已知電偶極子中兩點(diǎn)電荷-q，+q間的距離為l。,

7、解：,以無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。,當(dāng) r>>l 時(shí)，,例11.4 一半徑為 R 的均勻帶電細(xì)圓環(huán)，所帶總電量為q ，求在圓環(huán)軸線上任意點(diǎn) P 的電勢(shì)。,解：,以無(wú)限遠(yuǎn)為電勢(shì)零點(diǎn)。,補(bǔ)例：均勻帶電圓板，半徑為 R ，電荷面密度為 ? 。求軸線上任一點(diǎn) P 的電勢(shì)。,解：,x,當(dāng)x>>R時(shí),把圓盤(pán)當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)電荷,2、運(yùn)用高斯定理和電勢(shì)的定義計(jì)算電勢(shì)：,2）通過(guò)電場(chǎng)強(qiáng)度的積分計(jì)算電勢(shì)：,1）運(yùn)用高斯定律

8、 確定電場(chǎng)的分布：,補(bǔ)例：半徑為 R 的均勻帶電球體，帶電量為 q ， 求電勢(shì)分布。,解：,1、等勢(shì)面的概念,靜電場(chǎng)中，電勢(shì)相等的點(diǎn)所組成的曲面：,常用一組等勢(shì)面描述靜電場(chǎng)，并規(guī)定相鄰兩等勢(shì)面之間的電勢(shì)差相等。,2、等勢(shì)面與電場(chǎng)線的關(guān)系,1) 等勢(shì)面與電場(chǎng)線處處正交；,3) 電場(chǎng)線指向電勢(shì)降低的方向；,§11.4 等勢(shì)面,2) 兩等勢(shì)面相距較近處場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值大，相距較遠(yuǎn)處場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值小。,&#

9、167;12.3 電勢(shì)疊加原理,點(diǎn)電荷的電場(chǎng)線與等勢(shì)面,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,電偶極子的電場(chǎng)線與等勢(shì)面,§12.3 電勢(shì)疊加原理,§12.3 電勢(shì)疊加原理,,,對(duì)于導(dǎo)體內(nèi)部的任何兩點(diǎn)A和B,對(duì)于導(dǎo)體表面上的兩點(diǎn)A和B,導(dǎo)體的電勢(shì),例11.6　兩個(gè)半徑分別為R和r 的球形導(dǎo)體（R>r），用一根很長(zhǎng)的細(xì)導(dǎo)線連接起來(lái)（如圖），使這個(gè)導(dǎo)體組

10、帶電，電勢(shì)為V，求兩球表面電荷面密度與曲率的關(guān)系。設(shè)導(dǎo)線足夠長(zhǎng)而兩球相隔足夠遠(yuǎn)。,導(dǎo)體上的電荷分布,解:　兩個(gè)導(dǎo)體所組成的整體可看成是一個(gè)孤立導(dǎo)體系，在靜電平衡時(shí)有一定的電勢(shì)值。設(shè)這兩個(gè)球相距很遠(yuǎn)，使每個(gè)球面上的電荷分布在另一球所激發(fā)的電場(chǎng)可忽略不計(jì)。細(xì)線的作用是使兩球保持等電勢(shì)。因此，每個(gè)球又可近似的看作為孤立導(dǎo)體，在兩球表面上的電荷分布各自都是均勻的。設(shè)大球所帶電荷量為Q，小球所帶電荷量為q，則兩球的電勢(shì)為,導(dǎo)體上的電荷分布,孤立導(dǎo)

11、體是指其它導(dǎo)體或帶電體都離它足夠遠(yuǎn)，以至于其它導(dǎo)體或帶電體對(duì)它的影響可以忽略不計(jì)。,可見(jiàn)大球所帶電量Q比小球所帶電量q多。,兩球的電荷密度分別為,可見(jiàn)電荷面密度和半徑成反比，即曲率半徑愈?。ɑ蚯视螅?，電荷面密度愈大。,,導(dǎo)體上的電荷分布,例11.7 一個(gè)金屬球A，半徑為R1。它的外面套一個(gè)同心的金屬球殼B，其內(nèi)外半徑分別為R2和R3。二者帶電后電勢(shì)分別為 和 。求此系統(tǒng)的電荷及電場(chǎng)的分布。如果用導(dǎo)線將球和殼連接起

12、來(lái)，結(jié)果又將如何？,解:,,聯(lián)立解得:,如果用導(dǎo)線將球和殼連接起來(lái)。,,§11.5 電勢(shì)梯度,一. 電勢(shì)梯度,電場(chǎng)中某一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)沿任一方向的分量等于這一點(diǎn)的電勢(shì)沿該方向的空間變化率的負(fù)值。,定義電勢(shì)梯度：,電勢(shì)梯度的大小等于電勢(shì)在該點(diǎn)最大空間變化率；方向沿等勢(shì)面法向，指向電勢(shì)增加最快的方向。,直角坐標(biāo)系：,求 的三種方法,,利用電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理,利用高斯定理,利用電勢(shì)與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系,電勢(shì)是標(biāo)量，容易計(jì)算。可以先計(jì)算

13、電勢(shì)，然后利用場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)的微分關(guān)系計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度，這樣做的好處是可以避免直接用場(chǎng)強(qiáng)疊加原理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度的矢量運(yùn)算的麻煩。,,例11.8 均勻帶電圓環(huán)，帶電量為 q ，半徑為 R 。求軸線上任一點(diǎn) P 的場(chǎng)強(qiáng)。,,,P,x,,,R,x,解：,例11.9 求電偶極子電場(chǎng)中任意一點(diǎn) 的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度.,解,,,,§11.6 電荷在外電場(chǎng)中的靜電勢(shì)能,靜電勢(shì)能（電勢(shì)能）,一個(gè)電荷在電場(chǎng)中某點(diǎn)的電勢(shì)能等于它的電量與電場(chǎng)中該點(diǎn)電