數(shù)學(xué)附錄

1、數(shù)學(xué)附錄,１ 歐氏空間：歐氏空間Rn的每一點(diǎn)有n個(gè)分量，它們都是實(shí)數(shù)；兩點(diǎn)x=(x1,…xn)和y=(y1,…,yn)之間的距離為 d(x,y) = [(x1-y1)2+…+(xn-yn)2]1/2。 給出實(shí)數(shù)?>0，歐氏空間中一點(diǎn)x的?-鄰域B(x,?)包含所有到這點(diǎn)距離小于?的點(diǎn)。２ 序列和極限：假設(shè)X是歐氏空間Rn的一個(gè)子集，{xk}k=1? 是X中的一個(gè)(無窮)序列。稱x*為這個(gè)序列的一個(gè)聚點(diǎn)，如果x*的

2、任意一個(gè)鄰域中都包含有這個(gè)序列中的點(diǎn)。注意：x*不必在X中；又一個(gè)序列可以有多個(gè)聚點(diǎn)。特別地，如果給出x*的每一個(gè)鄰域B(x*,?)，這個(gè)序列從某一項(xiàng)開始，這一項(xiàng)及其后所有的項(xiàng)都包含于B(x*,?)，那么 x*就是這個(gè)序列的唯一聚點(diǎn)，稱為這個(gè)序列的極限。這時(shí)又稱這個(gè)序列收斂于是x*。３ 開集和閉集：歐氏空間中的一個(gè)子集F叫做閉的，如果包含于的X每一個(gè)序列的所有聚點(diǎn)都屬于F本身。歐氏空間中一個(gè)子集G叫做開的，如果它的余集Gc=Rn\G

3、是閉的。,數(shù)學(xué)附錄,４ 內(nèi)點(diǎn)和界點(diǎn)：歐氏空間中一個(gè)子集X的點(diǎn)x叫做一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，如果它的某一個(gè)鄰域B(x,?)整個(gè)被包含在X內(nèi)；稱x為X的一個(gè)界點(diǎn)，如果x的每一個(gè)鄰域既包含X的點(diǎn)也包含余集Xc的點(diǎn)。X的全體內(nèi)點(diǎn)之集記為Int(X)，X的全體界點(diǎn)之集記為Bdy(X)。一個(gè)開集G的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，一個(gè)閉集F包含它所有界點(diǎn)。５ 緊致性：歐氏空間中一個(gè)子集X叫做緊致的（序列緊），如果X中每一個(gè)序列都有子序列收斂于X本身某個(gè)點(diǎn)?？梢宰C明，歐氏空間

4、中的每個(gè)有界閉集都是緊致集，反之亦然。,數(shù)學(xué)附錄,６ 連續(xù)函數(shù)：定義在歐氏空間子集X上的實(shí)值函數(shù)f叫做在某點(diǎn)x?X連續(xù)的，如果對(duì)于每一個(gè)收斂于x的序列{xk}k=1??X，相應(yīng)的函數(shù)值序列{f(xk)}k=1? 都收斂于f(x)。如果函數(shù)f在X上每一個(gè)點(diǎn)都連續(xù)，就稱f在X上連續(xù)。定義在緊致集X上的每一個(gè)連續(xù)函數(shù)都在X中取得最大值和最小值。,數(shù)學(xué)附錄,７ 凸集：A set X??n is said to be a convex set

5、 if for any two points x’ and x” in X and any real number ??[0, 1], the point x?=(1-?)x’+?x” is contained in X. The intersection of any number of convex set is also convex.８. For any m points x1,…,xm in ?n, and any ?1,

6、…,?m in [0, 1] such that ?i?i=1, x=?i?ixi is said to be a convex combination of x1,…,xm.,數(shù)學(xué)附錄,9 凹函數(shù)： Assume that a real-valued function f is defined on a convex set X??n. f is said to be concave if for any x’ and x” in X

7、, and any real number ??(0, 1), it holds that (1-?)f(x’)+?f(x”) ? f((1-?)x’+?x”)f is said to be strictly concave if the sign “?” in the above inequality is replaced by “<”.,數(shù)學(xué)附錄,10 凸函數(shù)： Assume that a real-v

8、alued function f is defined on a convex set X??n. f is said to be convex if for any x’ and x” in X, and any real number ??(0, 1), it holds that (1-?)f(x’)+?f(x”) ? f((1-?)x’+?x”)f is said to be strictly concav

9、e if the sign “?” in the above inequality is replaced by “>”.,數(shù)學(xué)附錄,11 擬凹函數(shù)：A function f defined on a convex set X??n is said to be quasi-concave, if for any x’ and x” in X and any ??[0, 1]: f((1-?)x’+?x”) ? m

10、in {f(x’),f(x”)}f is said to be strictly quasi-convex, if the sign “?” in the above inequality is replaced with “>”. 7. Any concave (strictly concave) function is quasi-concave (strictly quasi-concave), but the c

11、onverse is not true.,數(shù)學(xué)附錄,12 擬凸函數(shù)：A function f defined on a convex set X??n is said to be quasi-convx, if for any x’ and x” in X and any ??[0, 1]: f((1-?)x’+?x”) ? min {f(x’),f(x”)}f is said to be strictly q

12、uasi-convex, if the sign “? ” in the above inequality is replaced with “<”. . Any convex (strictly convex) function is quasi-convex (strictly quasi-convex), but the converse is not true.,數(shù)學(xué)附錄,14 等值集，上值集，下值集： Assum

13、e that f be defined on X??n, x0?X, and f(x0) = y0. The level set, the superior set, and the inferior set for level y0 are, respectively, the sets: L(y0) = {x?X: f(x)=y0}; S(y0) = {x?X: f(x)?y0}; I(y0) = {x?X: f(x)?y

14、0},數(shù)學(xué)附錄,A necessary and sufficient condition for a function f defined on a convex set X??n to be quasi-concave (resp. quas-convex) is that all the superior sets S(y) (resp. all the inferior sets I(y)) are convex; f is st

15、rictly quasi-concave (resp. strictly quas-convex) if all S(y) (resp. I(y)) are convex, and for any two points x’ and x” in any S(y), (resp. I(y)), the points on the line segment {x=(1-?)x’+?x”: ??[0, 1]} expect possibly

16、the two endpoints are all contained in Int(S(y)) (resp. I(y)).,數(shù)學(xué)附錄,15 二元凹函數(shù)和擬凹函數(shù)的判別：Assume that f(x,y) is defined on a convex set X and f is C2. Then f is concave if f xx 0. A necessary and sufficient condition for a

17、 function f defined on a convex set X??n to be quasi-concave is that all the superior sets S(y) are convex; f is strictly quasi-concave if all the superior sets S(y) are convex, and for any two points x’ and x” in any su

18、perior set S(y), the points on the line segment {x=(1-l)x’+lx”: l?[0, 1]} expect possibly the two endpoints are all contained in Int(S(y)).,數(shù)學(xué)附錄,16 凸規(guī)劃: Assume that f and g are differentiable functions defined on a conve

19、x set X??n and non-decreasing in each variable. Assume that f is quasi-concave and g is quasi-convex, and that f(O)=g(O)=0. Then both of the primal and the dual convex programming problems (where c>0 and k>0 are co

20、nstants):  max f(x), S.T. g(x)k,   have optimal solutions. The solution of the primal (resp.the dual) problem is a tangent point of g(x)=c (resp. f(x)=k) with a level set of f (resp. g).,偏好和效用,消費(fèi)集：考慮

21、一個(gè)有M種商品的經(jīng)濟(jì)。一個(gè)各分量非負(fù)的M-維向量x=(x1,...,xM)就稱為一個(gè)商品向量，這個(gè)向量的第m個(gè)分量xm表示第m種商品的量。一個(gè)消費(fèi)者i意欲消費(fèi)的商品向量的全體Xi構(gòu)成他的消費(fèi)集。在一般情況下，我們認(rèn)為Xi=RM+。容許消費(fèi)集：對(duì)消費(fèi)者i來說，一個(gè)商品向量稱為容許的，如果他的收入足夠支付購買這個(gè)商品向量所需的花費(fèi)。對(duì)于給定的價(jià)格向量p和給定的收入I, 消費(fèi)者i的所有容許商品向量構(gòu)成他的容許消費(fèi)集，記為Bi(p,I)。,偏

22、好和效用,下面我們討論消費(fèi)者i的消費(fèi)決策。為方便計(jì)我們略去他的消費(fèi)集和容許消費(fèi)集的上標(biāo)。定義在X上的一個(gè)偏好就是一個(gè)二元關(guān)系?: “x ?y”是指“x至少和y一樣好”。(如果有x ?y但沒有y ?x，就記x?y，稱x比y好。如果有x ?y同時(shí)有y ?x，就記x?y，稱x和y無區(qū)別。) 這個(gè)二元關(guān)系應(yīng)該滿足：完備性：對(duì)于X中任何兩個(gè)消費(fèi)向量x, y，或者“x ? y”與“y ? x”至少一個(gè)成立；傳遞性：如果x ? y和y ?z同時(shí)成

23、立，那么x ?z；連續(xù)性：如果對(duì)序列{xn}中的每一個(gè)xn都有xn ?y而且 lim xn=x ，那么x ?y。,偏好和效用,單調(diào)性：（1）嚴(yán)格增性指 x>>y ? x?y ，注意這蘊(yùn)含了x?y ? x?y；（2）強(qiáng)嚴(yán)格增性指 x?y并且x≠y ? x ?y。凸性： （1）弱凸性指 x?y ? tx+(1-t)y ?y 對(duì)任何實(shí)數(shù)t?[0, 1]；（2）強(qiáng)凸性指 x?y & x≠y ? tx+(1-t)

24、y ?y 對(duì)任何實(shí)數(shù)t?(0, 1)。,偏好和效用,效用函數(shù)：設(shè)?為消費(fèi)者i的偏好；稱定義在Xi=RH上的函數(shù)u表示i的偏好，如果對(duì)任意x,y?RM，u(x)?u(y)?x?y。注意，上式蘊(yùn)含了u(x)>u(y)?x?y 以及u(x)=u(y)?x?y。u又稱為i的效用函數(shù)。效用函數(shù)的存在性定理：如果消費(fèi)者i的偏好?滿足完備性，傳遞性，連續(xù)性和嚴(yán)格增性公理，那么存在連續(xù)嚴(yán)格增的效用函數(shù)u表示i的偏好。又如果u是i的一個(gè)效用函數(shù)，

25、那么對(duì)任何嚴(yán)格增的一元實(shí)函數(shù)f，f(u(·))也是i的效用函數(shù)。定義在RM +上的函數(shù)f稱為擬凹的，如果對(duì)于x,y? RM+ (x≠y) 和t?(0, 1)，f((1-t)x+ty)?min{f(x),f(y)}；如果上面的不等式是嚴(yán)格不等式，則稱f是嚴(yán)格擬凹的。偏好的凸性和效用函數(shù)的凹性：如果u是表示?的效用函數(shù)，那么u是（嚴(yán)格）擬凹的當(dāng)且僅當(dāng)?是（嚴(yán)格）凸的。,偏好和效用,函數(shù)擬凹性的判別定理：假設(shè)函數(shù)f在RM++上有

26、二次連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么（1）如果f在RH++上擬凹，則在RM++上它的所有加邊Hessian主子式Br≤0 (r=1,…,M)。（2）如果在RM++上每點(diǎn)f的所有加邊Hessian主子式Br<0 (r=1,…,K)，那么f在RM++上嚴(yán)格擬凹。 其中， Br的定義如下幻燈片所示，其中fm=?f/?xm，fmn= ?2f/?xm?xn 。,偏好和效用,凹函數(shù)：定義在RM+上的函數(shù)f稱為凹的，如果對(duì)于x,y? RM+ (x≠y

27、) 和t?(0, 1)，f((1-t)x+ty)?(1-t)f(x)+tf(y)；如果上面的不等式是嚴(yán)格不等式，則稱f是嚴(yán)格凹的。注意：（嚴(yán)格）凹函數(shù)是（嚴(yán)格）擬凹函數(shù)，但反過來一般不成立。函數(shù)凹性的判定定理：假設(shè)函數(shù)f在RM++上有二次連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，那么(1)如果f在RM++上為凹函數(shù)，則在RM++上它的Hessian矩陣的所有先導(dǎo)主子式Hr滿足(-1)rHr?0。(2)如果在RM++上f的Hessian矩陣的所有先導(dǎo)主子式Hr滿足

28、 (-1)rHr>0那么f在RM++上嚴(yán)格凹。Hessian矩陣的定義見下一幻燈片。,偏好和效用,偏好和效用,從幾何上看，一個(gè)消費(fèi)者的偏好如果滿足上述五個(gè)公理，它就可以用其效用函數(shù)的那一組等值曲面即無差別曲面（曲線）表示；籠統(tǒng)地說，離開坐標(biāo)原點(diǎn)越遠(yuǎn)的曲面上的消費(fèi)向量產(chǎn)生的效用越大。消費(fèi)者的決策問題通常是在容許消費(fèi)集中選取效用最大化的消費(fèi)向量；在大多數(shù)情況下，這個(gè)最優(yōu)消費(fèi)向量對(duì)應(yīng)于預(yù)算約束平面（直線）和某個(gè)無差別曲面的切點(diǎn)

29、。在本課程中最為常見的效用函數(shù)包括Cobb-Douglas和CES效用函數(shù)，它們都具有擬凹性。與偏好和效用相關(guān)的另外一些數(shù)學(xué)知識(shí)和重要結(jié)論可見于數(shù)學(xué)附錄1中。,消費(fèi)者決策,Marshallian需求：在初級(jí)微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)的討論中，通常把消費(fèi)者的需求視為給定的；在實(shí)際情況中，消費(fèi)者是根據(jù)商品的價(jià)格向量p和自己的收入I選取消費(fèi)向量以求效用最大化。由此推導(dǎo)出來的需求x(p,I)就叫做Marshallian需求。在一般情況下（指偏好滿足五個(gè)公理

30、而具有非嚴(yán)格凸性），x(p,I)是個(gè)非空凸閉集；進(jìn)一步，在偏好嚴(yán)格凸時(shí)，x(p,I)是單點(diǎn)集，這時(shí)Marshallian需求是價(jià)格和收入的連續(xù)函數(shù)。,消費(fèi)者決策,消費(fèi)者的決策是個(gè)凸規(guī)劃；無差別曲面的法向量是(u1,…,uM)，預(yù)算約束平面 p·x=I 的法向量就是p=(p1,…,pM)；因此在最優(yōu)解處有實(shí)數(shù)?使得(u1,…,uM) =?(p1,…,pM)。由此得u1/p1=…=uM/pM。就是說，對(duì)每一種商品而言，邊際效用和相

31、應(yīng)的價(jià)格成比例。設(shè)想在無差別曲面u(x1,…,xM)=const上讓xm ,xn 變化而其他商品的消費(fèi)量保持不變，容易導(dǎo)出商品i對(duì)商品j的邊際替代率 MRSmn?-dxn/dxm=pm/pn。,消費(fèi)者決策,簡例1 小陳媽媽每天給小陳的伙食開支是I，用來買食物(f)和飲料(d)，它們的價(jià)格分別用pf, pd表示。假設(shè)小陳的效用函數(shù)是u=(fd)1/2。試推導(dǎo)小陳的Marshallian需求。,消費(fèi)者決策,簡例1（續(xù)）小陳的決策是個(gè)凸規(guī)劃

32、；他的預(yù)算約束直線方程是pff+pdd=I，其法向量為(pf,pd)；他的無差別曲線方程為u=const，法向量為(uf,ud)。在最優(yōu)決策點(diǎn)上這兩個(gè)法向量共線，即有實(shí)數(shù)?使得(uf,ud)= ?(pf,pd)；由此得到：uf/pf=ud/pd。（對(duì)所有商品而言邊際花費(fèi)所得的邊際效用都相等。）注意?就是Lagrange乘數(shù)。簡例1（續(xù)）當(dāng)u=(fd)1/2時(shí)， (fd)1/2=const就是fd=const， 從而(uf,ud)=(d

33、,f)；由此得到pff=pdd= =I/2；就是說，小陳的Marshallian 需求函數(shù)是：f=I/(2pf)，d=I/(2pd)。,消費(fèi)者決策,間接效用函數(shù)：間接效用函數(shù)表示消費(fèi)者的最大效用U和他的收入I以及商品價(jià)格向量p之間的相依關(guān)系。在效用函數(shù)為嚴(yán)格擬凹時(shí)，將消費(fèi)者的Marshallian需求函數(shù)代入效用函數(shù)中，得到U=v(p,I)?u(x(p,I))，這里v就是間接效用函數(shù)?？梢宰C明，在一般情況下，間接效用函數(shù)是擬凸函數(shù)，分

34、別對(duì)p（p>>0）和對(duì)I（I?0）連續(xù)。簡例1（續(xù)）回到簡例1，小陳的間接效用函數(shù)就是v(p,I)=u(I/(2pf),I/(2pd))=I/[2(pfpd)1/2]。,消費(fèi)者決策,支出函數(shù)：支出函數(shù)表示消費(fèi)者的最小支出E和商品的價(jià)格向量p以及消費(fèi)者想要達(dá)到的某一效用水平V之間的相依關(guān)系。支出最小化和效用最大化是一對(duì)對(duì)偶問題。從間接效用函數(shù)關(guān)系V=v(p,I)中解出I?E=e(p,V)，e就是支出函數(shù)。支出函數(shù)e分別對(duì)p

35、（p>>0）和對(duì)V連續(xù)；又e對(duì)于p是凹函數(shù)。簡例1（續(xù)）回到簡例1，從V=I/[2(pfpd)1/2]解得I?E=2(pfpd)1/2V，e(p,V)=2(pfpd)1/2V就是小陳的支出函數(shù)。,消費(fèi)者決策,Hicks需求函數(shù)：Hicks需求函數(shù)表示出消費(fèi)者以最小支出在價(jià)格向量p下取得某個(gè)給定效用水平V而選擇的消費(fèi)向量。將最小支出函數(shù)代入Marshallian需求函數(shù)中的收入I，就得到Hicks需求函數(shù)h：h(p,V)?x

36、(p,e(p,V))。必須注意，在價(jià)格向量p和收入I給定的情況下，如果V=x(p,I)，那么因?yàn)閑(p,V)=I，所以h(p,V)=x(p,I)。但是當(dāng)價(jià)格向量改變成p’后，一般而言，e(p,V)不再等于I，所以h(p’,V)一般不再等于x(p’,I)。特別的，如果p’?p并且p’≠p，則有e(p’,V)>I；在所有商品都是正規(guī)商品時(shí)，h(p’,V)=x(p’,e(p’,V))>>x(p’,I)。,消費(fèi)者決策,簡例1

37、（續(xù)）小陳的Hicks需求函數(shù)是hf(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pf)= (pd/pf)1/2V，hd(p,V)= 2(pfpd)1/2V/(2pd)= (pf/pd)1/2V。簡例1（續(xù)）假設(shè)原來I=8，pf=pd=2；那么Marshallian需求為xf=xd=2，效用水平是V=2。同時(shí)容易驗(yàn)證他的Hicks需求是：hf=hd=(2/2)1/2V=2。簡例1（續(xù)）設(shè)想食物的價(jià)格上漲到pf’=4而飲料的價(jià)格不變；小陳

38、的Marshallian需求改變?yōu)閤f=1，xd=2。如果要保持原來的效用水平，他的Hicks需求是：hf=(2/4)1/2(2)=21/2 ，hd=(4/2)1/2(2)=2?21/2。,消費(fèi)者決策,Roy’s 恒等式：注意到間接效用函數(shù)V=v(p,I)由求解優(yōu)化問題：max u(x), S.T. p·x=I 而得。根據(jù)包絡(luò)定理，?V/?pm=?L/?pm =-?xm(p,I);再注意到?=?V/?I=?L/?I，最后得出x

39、m(p,I)=-(?V/?pm)/(?V/?I)。Sheperd’s引理：注意到支出函數(shù)E=e(p,V)由求解優(yōu)化問題：min I=p·x, S.T. u(x)=V 而得。根據(jù)包絡(luò)定理， ?E/?pm=?L/?pm= =xm(p,e(p,V))=hm(p,V)。,消費(fèi)者決策,Slutsky方程：從xm(p,e(p,V))=hm(p,V)中對(duì)pn求導(dǎo)得到?hm/?pn=?xm/?pn+(?xm/?I)(?E/?pn)=?xm/

40、?pn+ xn(p,I)(?xm/?I)；由此得到 ?xm/?pn= ?hm/?pn-xn(p,I)(?xm/?I)。在支出函數(shù)E=e(p,V)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),根據(jù)Shepherd引理：smn??hm/?pn=?2E/?pm?pn=snm。由于支出函數(shù)e為凹函數(shù)，smm??hm/?pm?0。這就是說，對(duì)任何商品，Hick需求曲線的斜率小于或等于0。,消費(fèi)者決策,在Slutsky方程 ?xm/?pm=?hm/?pm-xm(p,I)(

41、?xm/?I)中，左邊（?xm/?pm）是商品m價(jià)格改變時(shí)引起對(duì)商品j的實(shí)際需求量的邊際改變，右邊第一項(xiàng)（?hm/?pm）是消費(fèi)者維持原效用水平時(shí)商品m價(jià)格改變導(dǎo)致的商品j需求量的邊際改變（替代效應(yīng)），右邊第二項(xiàng)中(?xm/?I)是消費(fèi)者的收入改變時(shí)他對(duì)商品m需求量的邊際改變（收入效應(yīng)）。在價(jià)格的改變量是有限量（非無窮小量）時(shí)，替代效應(yīng)和收入效應(yīng)如下圖所示。,消費(fèi)者決策,U2,U1,,,Quantity of x,Quantity o

42、f y,,,,B,,,A,,An increase in the price of good x means thatthe budget constraint gets steeper,,How would the graph change if the good was inferior?,消費(fèi)者決策,簡例1（續(xù)）從上面的計(jì)算結(jié)果知道，當(dāng)食物的價(jià)格從pf=2上漲到pf’=4而飲料的價(jià)格pd=2不變時(shí)，小陳的Marshallian需