常用數(shù)學模型及建模方法

1、第三章第三章常用數(shù)學模型及建模方法常用數(shù)學模型及建模方法3.1量綱分析與輪廓模型一.量與量綱1.量及其度量10.模型所涉及的主要是量不是數(shù)20.量（物理量）可以分為：基本量：基礎的，獨立的量:長度、質(zhì)量、時間、…導出量：由基本量通過自然規(guī)律導出的量:速度、加速度、力、…30.量的度量體系—單位制：基本量及其度量單位40.國際單位（SI）制基本量名稱單位符號長度L米m質(zhì)量M千克kg時間T秒s電流強度I安培A溫度?開爾文K光強J坎德拉cd物

2、質(zhì)的量N摩爾mol導出量名稱單位符號力牛頓N（kgms2）能量焦耳J（kgm2s2）功率瓦特W（kgm2s3）頻率赫茲Hz（s1）壓強帕斯卡Pa（kgm1s2）2.量綱：10.量綱：一個物理量Q一般都可以表示為基本量乘冪之積。稱這個乘冪之積的表達式[Q]=L?M?T?I???J?N?為該物理量對選定的這組基本量的量綱積或量綱表達式。???????稱為量綱指數(shù)。例.[長度]=L、[質(zhì)量]=M、[時間]=T、[面積]=L2[體積]=L3、[

3、速度]=LT1[加速度]=LT2、[力]=MLT2[能量]=ML2T2.注1.物理量的量綱只依賴于基本量的選擇，獨立于單位的確定。2.對于某個物理量Q如果[Q]=L?M?T?I???J?N?，有?=?=?=?=?=?=?=0，則稱之為無量綱量，記為[Q]=1。它將不依賴于選定的基本量。3.無量綱量不一定是無單位的量。20.量綱齊次法則一個物理規(guī)律的數(shù)學表達式中每一個加項的量綱必須是一致的，或者都是無量綱量。例如牛頓第二定律F=ma[F]

4、=MLT2[ma]=MLT2滿足量綱齊次法則的物理規(guī)律與這個規(guī)律所涉及的物理量的量綱單位的選擇無關。二.量綱分析量綱分析量綱分析是在物理領域中建立數(shù)學模型的方法，利用物理量的量綱提供的信息，根據(jù)量綱齊次法則確定物理量之間的關系。例1建模描述單擺運動的周期問題：質(zhì)量為m的小球系在長度為l的線的一端鉛垂懸掛。小球稍稍偏離平衡位置后將在重力的作用下做往復的周期運動。分析小球擺動周期的規(guī)律。假設：1.平面運動，忽略地球自轉(zhuǎn)；2.忽略可能的磨擦力

5、；3.忽略空氣阻力；4.忽略擺線的質(zhì)量和變形.分析建模10.列出有關的物理量運動周期t，擺線長l，擺球質(zhì)量m，重力加速度g，振幅x.對角線長2223cbal???表面積S1=2(abbcca)底面面積S2=ab體積V1=abc四棱錐體積V2=13abc.若長方體II有棱長(abc)且aa=bb=cc=m.則有L1=mL1L2=mL2L3=mL3S1=m2S1S2=m2S2V1=m3V1V2=m3V2.于是可得SiLk2=SiLk2ViL

6、k3=ViLk3ViSk32=ViSk32.即得S=k1L2V=k2L3V=k3S32.結(jié)論：在相似的幾何體中，相應部位的面積與相應部位長度的平方呈正比；Si?Lj2，相應部位的體積與相應部位長度的立方呈正比；Vi?Lj3相應部位的體積與相應部位面積的32次方呈正比；Vi?Sj32。同樣的結(jié)論對抽象幾何體一般也成立例2.生活中的長度、面積和體積。10.紐約黑鱸的體重W和體長LW(ozs)1716172326274149L(in)12.5

7、012.6312.6314.1314.5014.5017.2517.75L319532015201528213049304951335592WL3.0087.0079.0084.008.0085.0089.008.0088黑鱸魚的體重與體長關系20.人的體重W和身高LW(kg)1217223548546675L(cm)86108116135155167178185L3(103cm3)636126015602460372446575640

8、6332WL3.0189.0135.0141.0142.0129.0116.0117.0118人的體重W和身高L關系30蜥蜴的體長與體重小蜥蜴體長15cm體重為15g當它長到20cm長時體重為多少(20g25g35g40g)以上的例子表明，不少的動物的體重w與體長l的立方呈正比即w?l3.自然界中還存在其它情況。40老虎的身長（不含頭尾）與體重注意到老虎身體的軀干明顯下垂。視老虎的軀干為長度為l，直徑為d，截面面積為s的圓柱體。設老虎體

9、重為w。由彈性力學的研究結(jié)果知，動物在自身體重w作用下軀干的最大下垂度b?wl3(sd2)。因為w?sl所以bl?l3d2.稱bl為軀干的相對下垂度，它應視為與動物尺寸無關的常數(shù)。于是l3?d2再考慮到w?sls?d2結(jié)果得到w?l4.2.輪廓模型直接利用不同量綱的量之間的比例關系所得到的模型稱之為輪廓模型。例3.商品的包裝與成本商品價格含量單價價格含量單價高露潔牙膏15.7元190g8.3元100g5.8元60g9.7元100g詩芬洗