第四章 高階線性方程

1、第四章第四章高階線性方程高階線性方程教學(xué)目的教學(xué)目的：使學(xué)生理解高階線性微分方程的一般理論；熟練掌握常數(shù)變易法、特征根法、比較系數(shù)法和Laplace變換；熟練掌握幾種可降階的高階微分方程的解法；能夠依據(jù)解的一般表示討論解的一些屬性教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容：1、線性微分方程的一般理論高階線性微分方程的一般理論、常數(shù)變易法2、常系數(shù)線性微分方程的解法、特征根法、比較系數(shù)法、Laplace變換3、高階方程的降階和冪級(jí)數(shù)解法幾種可降階的高階微分方程的解

2、法、冪級(jí)數(shù)解法教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：高階線性微分方程的一般理論及解法教學(xué)難點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)：比較系數(shù)法求特解教學(xué)過(guò)程教學(xué)過(guò)程：4.1線性微分方程的一般理論線性微分方程的一般理論4.1.1引言引言本章主要討論如下階線性微分方程n(4.1))()()()(1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn?????????其中及均為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù))21()(nitai??)(tfbta??若，則方程(4.1)變?yōu)?)(?tf(4.2)0

3、)()()(1111????????xtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn?稱之為階齊線性微分方程階齊線性微分方程，簡(jiǎn)稱為齊線性方程齊線性方程，稱(4.1)為階非齊線性微分方程階非齊線性微分方程，簡(jiǎn)稱nn為非齊線性方程非齊線性方程，稱(4.2)為對(duì)應(yīng)于方程對(duì)應(yīng)于方程(4.1)的齊線性方程齊線性方程方程(4.1)的解的存在唯一性定理定理１定理１若及均為區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，則對(duì)于任)21()(nitai??)(tfbta??意及任

4、意的，方程(4.1)存在唯一解，定義于區(qū)間][0bat?)1(0)1(00?nxxx?)(tx??上，且滿足初始條件：bta??(4.3))1(001)1(0000)()()(?????nnxdttdxdttdxt????則方程(4.2)的通解可表為(4.11))()()(2211txctxctxcxnn?????其中為任意常數(shù)且通解(4.11)包括了方程(4.2)的所有解nccc21?推論推論方程(4.2)的線性無(wú)關(guān)解的最大個(gè)數(shù)等于因

5、此可得結(jié)論：階齊線性方程的nn所有解構(gòu)成一個(gè)維線性空間n方程(4.2)的一組個(gè)線性無(wú)關(guān)解稱為方程的一個(gè)基本解組，基本解組，顯然，基本解組不唯一n4.1.3非齊線性方程與常數(shù)變易法非齊線性方程與常數(shù)變易法考慮階非齊線性方程n(4.1))()()()(1111tfxtadtdxtadtxdtadtxdnnnnnn?????????易見(jiàn)方程(4.2)是它的特殊情形性質(zhì)１性質(zhì)１若是方程(4.1)的解，而是方程(4.2)的解，則也是方程)(tx)

6、(tx)()(txtx?(4.1)的解性質(zhì)２性質(zhì)２方程(4.1)的任意兩個(gè)解之差必為方程(4.2)的解定理７定理７設(shè)是方程(4.2)的基本解組，而是方程(4.1)的某個(gè))()()(21txtxtxn?)(tx解，則方程(4.1)的通解可表為(4.14))()()()(2211txtxctxctxcxnn??????其中為任意常數(shù)且通解(4.14)包括了方程(4.1)的所有解定理告訴我們，要解非齊線性方程，只需知道它的一個(gè)解和對(duì)應(yīng)的齊線性

7、方程的基本解組即可事實(shí)上，只要知道對(duì)應(yīng)的齊線性方程的基本解組就可以利用常數(shù)變易法求得非齊線性方程的解常數(shù)變易法常數(shù)變易法設(shè)是方程(4.2)的基本解組，因而)()()(21txtxtxn?(4.15)))()()(2211txctxctxcxnn?????為(4.2)的通解把其中的任意常數(shù)看作的待定函數(shù)，(4.15)變?yōu)閕ct)21()(nitci??(4.16)))()()()()()(2211txtctxtctxtcxnn?????將