工程數學第5講

1、1,工程數學第5講,本文件可從網址http://math.vip.sina.com上下載(單擊ppt講義后選擇'工程數學'子目錄),2,第四章 級數,§1 復數項級數,3,1. 復數列的極限 設{an}(n=1,2,...)為一復數列, 其中an=an+ibn, 又設a=a+ib為一確定的復數. 如果任意給定e>0, 相應地能找到一個正數N(e), 使|an-a|N時成立, 則a稱為復數列{a

2、n}當n??時的極限, 記作,此時也稱復數列{an}收斂于a.,4,定理一 復數列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是,[證] 如果 , 則對于任意給定的e>0, 就能找到一個正數N, 當n>N時,,5,反之, 如果,6,2. 級數概念 設{an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復數列, 表達式,稱為無窮級數, 其最前面n項的和sn=a1+a2+...

3、+an稱為級數的部分和. 如果部分和數列{sn}收斂,,7,定理二 級數 收斂的充要條件是級數 和 都收斂[證] 因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,其中sn=a1+a2+...+an, tn=b1+b2+...+bn分別為 和

4、 的部分和, 由定理一, {sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在, 即級數 和 都收斂.,8,定理二將復數項級數的審斂問題轉化為實數項級數的審斂問題.,9,定理三,[證],10,11,12,13,§2 冪級數,14,1. 冪級數的概念 設{fn(z)}(n=1,2,...)為一復變函數序列,其中各項在區(qū)域D內有定義.表達式,稱為復變函數

5、項級數. 最前面n項的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級數的部分和.,15,存在, 則稱復變函數項級數(4.2.1)在z0收斂, 而s(z0)稱為它的和. 如果級數在D內處處收斂, 則它的和一定是z的一個函數s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...s(z)稱為級數 的和函數,如果對于D內的某一點z0, 極限,16,這種級數

6、稱為冪級數.如果令z-a=z, 則(4.2.2)成為 , 這是(4.2.3)的形式, 為了方便, 今后常就(4.2.3)討論,當fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時, 就得到函數項級數的特殊情形:,17,定理一(阿貝爾Abel定理),,,,,z0,x,y,O,18,[證],19,20,21,2. 收斂圓和收斂半徑 利用阿貝爾定理, 可以定出冪級數的收斂范圍, 對一個

7、冪級數來說, 它的收斂情況不外乎三種:i) 對所有的正實數都是收斂的. 這時, 根據阿貝爾定理可知級數在復平面內處處絕對收斂.ii) 對所有的正實數除z=0外都是發(fā)散的. 這時, 級數在復平面內除原點外處處發(fā)散.iii) 既存在使級數收斂的正實數, 也存在使級數發(fā)散的正實數. 設z=a(正實數)時, 級數收斂, z=b(正實數)時, 級數發(fā)散.,22,,,顯然a<b, 將收斂域染成紅色, 發(fā)散域為藍色.,,O,a,b,Ca,

8、Cb,x,y,23,當a由小逐漸變大時, Ca必定逐漸接近一個以原點為中心, R為半徑的圓周CR. 在CR的內部都是紅色, 外部都是藍色. 這個紅藍兩色的分界圓周CR稱為冪級數的收斂圓. 在收斂圓的外部, 級數發(fā)散. 收斂圓的內部, 級數絕對收斂. 收斂圓的半徑R稱為收斂半徑. 所以冪級數(4.2.3)的收斂范圍是以原點為中心的圓域. 對冪級數(4.2.2)來說, 收斂范圍是以z=a為中心的圓域. 在收斂圓上是否收斂, 則不一定.,24

9、,例1 求冪級數,的收斂范圍與和函數.[解] 級數實際上是等比級數, 部分和為,25,26,3.收斂半徑的求法,27,4. 冪級數的運算和性質 象實變冪級數一樣, 復變冪級數也能進行有理運算. 設,在以原點為中心, r1,r2中較小的一個為半徑的圓內, 這兩個冪級數可以象多項式那樣進行相加, 相減, 相乘, 所得到的冪級數的和函數分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.,28,29,更為重要的是代換(復合)運算,這個代換運算, 在把

10、函數展開成冪級數時, 有著廣泛的應用.,30,31,,,,O,x,y,,,a,b,當|z-a|<|b-a|=R時級數收斂,32,33,3) f(z)在收斂圓內可以逐項積分, 即,34,§3 泰勒級數,35,設函數f(z)在區(qū)域D內解析, 而|z-z0|=r為D內以z0為中心的任何一個圓周, 它與它的內部全含于D, 把它記作K, 又設z為K內任一點.,,,,,z0,,K,,z,r,,z,36,按柯西積分公式, 有,其中K

11、取正方向, 且有,37,代入(4.3.1)得,由解析函數高階導數公式(3.6.1),上式可寫成,38,在K內成立, 即f(z)可在K內用冪級數表達,q與積分變量z無關, 且0?q<1.,39,K含于D, f(z)在D內解析, 在K上連續(xù), 在K上有界, 因此在K上存在正實數M使|f(z)|?M.,40,因此, 下面的公式在K內成立.,稱為f(z)在z0的泰勒展開式, 它右端的級數稱為f(z)在z0處的泰勒級數.圓周K的半徑可以任

12、意增大, 只要K在D內. 所以, 如果z0到D的邊界上各點的最短距離為d, 則(4.3.4)在圓域|z-z0|<d內成立. 但這時對f(z)在z0的泰勒級數來說, 它的收斂半徑R至少等于d, 因為凡滿足|z-z0|<d的z必能使(4.3.4)成立. 即R?d.,41,定理(泰勒展開定理) 設f(z)在區(qū)域D內解析, z0為D內的一點, d為z0到D的邊界上各點的最短距離, 則當|z-z0|<d時,,42,,如果f(z

13、)在z0解析, 則使f(z)在z0的泰勒展開式成立的圓域的半徑R等于從z0到f(z)的距z0最近一個奇點a的距離, 即R=|a-z0|. 這是因為f(z)在收斂圓內解析, 故奇點a不可能在收斂圓內. 又因為奇點a不可能在收斂圓外, 不然收斂半徑還可以擴大, 因此奇點a只能在收斂圓周上.,,,O,x,y,,,z0,a,43,任何解析函數展開成冪級數的結果就是就是泰勒級數, 因而是唯一的.這是因為, 假設f(z)在z0用另外的方法展開為泰

14、勒級數: f(z)=a0+a1(z-z0)+a2(z-z0)2+...+an(z-z0)n+...,則f(z0)=a0.而f '(z)=a1+2a2(z-z0)+...于是f '(z0)=a1.同理可得,44,利用泰勒展開式, 我們可以直接通過計算系數:,把f(z)在z0展開成冪級數, 這被稱作直接展開法, 例如, 求ez在z=0處的泰勒展開式, 由于 (ez)(n)=ez, (ez)(n)|

15、z=0=1, (n=0,1,2,...)故有,因為ez在復平面內處處解析, 上式在復平面內處處成立, 收斂半徑為?.,45,同樣, 可求得sin z與cos z在z=0的泰勒展開式:,因為sin z與cos z在復平面上處處解析, 所以這些等式也在復平面內處處成立.,46,除直接法外, 也可以借助一些已知函數的展開式, 利用冪級數的運算性質和分析性質(定理四), 以唯一性為依據來得出一個函數的泰勒展開式, 此方法稱為間接展開法. 例如

16、sin z在z=0的泰勒展開式也可以用間接展開法得出:,47,48,,例2 求對數函數的主值ln(1+z)在z=0處的冪級數展開式.[解] ln(1+z)在從-1向左沿負實軸剪開的平面內是解析的, -1是它的奇點, 所以可在|z|<1展開為z的冪級數.,,,,,,,,-1,O,,R=1,x,y,49,50,51,作業(yè) 第四章習題,第143頁開始第11,12題,52,請?zhí)釂?53,定理 解析函數f(z)的導數仍為解析函數