高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)第3講

1、1第3講導(dǎo)數(shù)與微分高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程的主要研究對(duì)象是函數(shù)，函數(shù)是變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，怎樣研究函數(shù)的變化是這一講的主要問題。3.1導(dǎo)數(shù)的概念一、函數(shù)的變化率一、函數(shù)的變化率對(duì)于函數(shù)，我們要研究怎樣隨變化，進(jìn)一步我們還要研究變化的速率，)(xfy?yx可以先看看下面這個(gè)圖我們可以看出，對(duì)于相同的自變量的改變量，所對(duì)應(yīng)的函數(shù)改變量是不同的。x?y?可以表示變化的速率，但這是一個(gè)平均速率，怎樣考慮函數(shù)在一點(diǎn)的變化xy??)(xfy?0x率呢？二、

2、導(dǎo)數(shù)的概念二、導(dǎo)數(shù)的概念根據(jù)前面的介紹，我們給出下面的定義。定義定義3.1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)應(yīng)于自變量在處)(xfy?0xUx0x的改變量，函數(shù)相應(yīng)的改變量為，如果當(dāng)時(shí)極限x?)()(00xfxxfy?????0??xxyx????0lim存在，則此極限值稱為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)，或在點(diǎn)處函數(shù)關(guān)于自變)(xfy?0x0x)(xf量的變化率，記作x，或)(0xy?)(0xf?這時(shí)，稱函數(shù)在點(diǎn)處是可導(dǎo)可導(dǎo)的。)(xfy?0x

3、根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，我們來(lái)求一些基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。例1根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。cy?x3xxxnnxnxnnn???????????2212)1(xxxxnnxnxxynnn??????????????2212)1(xxxnnnxnnn1212)1(???????????112100)2)1((limlim??????????????????nnnnxxnxxxxnnnxxy?因此得出。1)(???nnxxf可以看出上例的結(jié)果與本例的結(jié)

4、果是一致的。例4根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。xxf1)(?x解按照由定義求導(dǎo)數(shù)的步驟：xxxxfxxfy11)()(?????????xxxxxx)()(??????xxxx?????2xxxxxxxxxy????????????22122001)1(limlimxxxxxyxx????????????因此得出。這個(gè)結(jié)果可以寫成。21)(xxf???111)1()(??????xx例5根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。xxf?)(x解按照由定