巨正則分布的簡單應用熱力學

1、熱力學·統(tǒng)計物理,回顧 Chap.9 系綜理論 §9.1 相空間 劉維爾定理 §9.2微正則分布 §9.3微正則分布的熱力學公式 §9.4正則分布 §9.5正則分布的熱力學公式 §9.

2、6實際氣體的物態(tài)方程簡介 §9.10 巨正則分布 §9.11 巨正則分布的熱力學公式,新課 §9.12 巨正則分布的簡單應用,知識回顧：§9.1 相空間 劉維爾定理,Chap.9 系綜理論,研究互作用粒子組成的系統(tǒng)．,統(tǒng)計系綜: 是指與原來的系統(tǒng)處在完全相同宏觀條件下的，想象的大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)的集

3、合．這些系統(tǒng)具有完全相同的哈密頓，但處在各自不同的微觀狀態(tài)之中。,若系統(tǒng)包含多種粒子，第i 種粒子的自由度為ri ，粒子數(shù)為Ni ，則系統(tǒng)的自由度為：,以 共2f個變量為坐標構(gòu)成一個2f 維空間, 稱為相空間(Γ空間),系統(tǒng)在某一時刻的運動狀態(tài)：,可用相空間中的一點表示，稱為系統(tǒng)運動狀態(tài)的代表點。,相空間,劉維爾定理 (Liouville’s

4、 theorem),設(shè)想大量結(jié)構(gòu)完全相同的系統(tǒng)，各自從其初態(tài)出發(fā)獨立地沿著正則方程(9.1.1)所規(guī)定的軌道運動.,（9.1.1）,這些系統(tǒng)的運動狀態(tài)的代表點將在相空間中形成一個分布．,2、劉維爾定理,如果一個代表點沿著正則方程所確定的軌道在相空間中運動，其鄰域的代表點密度是不隨時間改變的常數(shù)。,ρdΩ表示時刻t，運動狀態(tài)在dΩ內(nèi)的代表點數(shù),知識回顧：§9.1 相空間 劉維爾定理,微正則分布,處于平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，

5、假設(shè)E 到E+ΔE 內(nèi)一切軌道的常數(shù)概率密度都相等，則在E 到E+ΔE 能量范圍的所有可能的微觀狀態(tài)上概率密度就都相等，是不隨時間改變的常數(shù)。這就是等概率原理，也稱為微正則分布 。,等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計物理的基本假設(shè),,經(jīng)典表達式,量子表達式,基本假設(shè)！,知識回顧：§9.2微正則分布,知識回顧：§9.3 微正則分布的熱力學公式,一、微觀態(tài)數(shù)與熱力學幾率,1. 微觀態(tài)數(shù),孤立系統(tǒng)A(0)＝ A(1) ＋A(2),A(

6、1) 和A(2)有微弱相互作用,A(1) ：Ω1(N1, E1, V1)；A(2) ：Ω2(N2, E2, V2),系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)： Ω(0)= Ω1(E 1) Ω2 (E2),是A(1)和A(2)達到熱平衡時分別具有的內(nèi)能，由下式確定：,2. 確定內(nèi)能 的條件,3 玻耳茲曼關(guān)系,適用于有相互作用的粒子組成的系統(tǒng)！,,,,定義：,,4 平衡條件,熱動平衡條件：,k的確定：,將理論用到經(jīng)典理

7、想氣體可知，k等于玻耳茲曼常數(shù)!,知識回顧：§9.3 微正則分布的熱力學公式,二、利用微正則分布求解孤立系統(tǒng)基本問題的方法和步驟,,,,內(nèi)能、熵、物態(tài)方程都表為T、V、N的函數(shù)。,知識回顧：§9.3 微正則分布的熱力學公式,三、應用：利用微正則分布處理單原子分子理想氣體,以單原子經(jīng)典理想氣體為例：設(shè)氣體含有N個單原子分子,首先計算能量不大于某一數(shù)值E的微觀狀態(tài)數(shù),知識回顧：§9.3 微正則分布的熱力學公式

8、,,,,,,知識回顧：§9.3 微正則分布的熱力學公式,一、正則系統(tǒng)的定義及研究對象,正則分布：具有確定的N、T、V值的系統(tǒng)的分布函數(shù)。,知識回顧：§9.4 正則分布,配分函數(shù): 表示對粒子數(shù)為N 和體積為V的系統(tǒng)的所有微觀狀態(tài)求和.,l 能級,,三、正則分布的經(jīng)典表達式,二、正則系綜的配分函數(shù)和分布函數(shù),知識回顧：§9.5正則分布的熱力學表達式,特例,一、正則分布的熱力學公式,二、系統(tǒng)的能量漲落,當系統(tǒng)

9、處在狀態(tài) s 時，其能量為 ， 與 的偏差為 。 稱為能量漲落。,能量的相對漲落：,和 都是廣延量，~N,討論：這個事實說明，與熱源接觸達到平衡的系統(tǒng)，雖然由于它與熱源交換能量而可具有不同的能量值，但對于宏觀的系統(tǒng)，其能量E與 有顯著偏差的概率極?。?知識回顧：§9.5正則分布的熱力學表達式,知識回顧： §

10、9.6實際氣體的物態(tài)方程,思路：,導出單原子分子的經(jīng)典實際氣體的物態(tài)方程。設(shè)氣體含有N 個分子,過程：,兩個假設(shè)：,得：,所作的兩個簡化假設(shè)不合理。但在準確到第二位力系數(shù)的近似下，這兩個簡化假設(shè)所引起的誤差剛好相互消去．,知識回顧： §9.6實際氣體的物態(tài)方程,,1、求解積分Q：,定義：,積分不是體積的函數(shù),n 是摩爾數(shù),NA 是阿佛加德羅常數(shù),,知識回顧：§9.6實際氣體的物態(tài)方程,2、第二位力系數(shù)B與分子互作

11、用勢的關(guān)系,知識回顧：§9.6實際氣體的物態(tài)方程,Sutherland potential,3、Van de Waals 方程,粗略近似，改進的“剛球”模型,2.正則分布和巨配分函數(shù),,,1.巨正則分布:具有確定的體積V、溫度T和化學勢μ 的系統(tǒng)( 開系V,T, μ )的分布函數(shù),3.巨配分函數(shù)的經(jīng)典表達式,知識回顧：§ 9.10 巨正則分布,特例,一、巨正則分布的熱力學公式,巨配分函數(shù),知識回顧： 9.1

12、1 巨正則分布的熱力學公式,粒子數(shù)的漲落：,知識回顧： 9.11 巨正則分布的熱力學公式,新課：§9.12 巨正則分布的簡單應用,§9.12 巨正則分布的簡單應用,一、吸附現(xiàn)象：,[問題描述] 設(shè)吸附表面有N0 個吸附中心； 每個吸附中心可吸附一個氣體分子； 被吸附的氣體分子能量為-ε0,[模型] 氣

13、體--------熱源和粒子源,被吸附的分子---------系統(tǒng),求: 達到平衡時, 吸附率θ=N/ N0 與氣體 溫度T 和壓強p 的關(guān)系．,交換粒子和能量,§9.12 巨正則分布的簡單應用,系統(tǒng)遵從巨正則分布系統(tǒng)的能量 當有N個分子被吸附時： -Nε0簡并度 N個分子被吸附時可能的方式,[分析和求解],系統(tǒng)的巨配分函數(shù)：,§

14、;9.12 巨正則分布的簡單應用,Newton二項展開式,被吸附的平均粒子數(shù),§9.12 巨正則分布的簡單應用,說明：達到平衡時，系統(tǒng)（被吸附的分子）與氣體的化學勢和溫度應相等，所以上式的μ和Τ也就是氣體的化學勢和溫度,P214（7.6.8）式 單原子分子理想氣體的化學勢,,§9.12 巨正則分布的簡單應用,§9.12 巨正則分布的簡單應用,二、由巨正則分布導出近獨立粒子的平均分布,在

15、67;6.7導出玻色分布和費米分布時，曾指出所用ωι ＞ ＞1,αι ＞ ＞1等條件實際上并不滿足，是推導過程的一個嚴重缺點。,作為巨正則分布的應用，現(xiàn)在用巨正則分布導出近獨立粒子的平均分布，這方法避免了上述缺點。,假設(shè)系統(tǒng)只含一種近獨立粒子；粒子的能級為：ε ι（ι＝1，2，3， … ）。為簡單起見，只討論所有的能級都是非簡并的情況。,§9.12 巨正則分布的簡單應用,整個系統(tǒng)的粒子數(shù)和能量,,,,§9.12

16、 巨正則分布的簡單應用,能級l 上的粒子數(shù),,§9.12 巨正則分布的簡單應用,1) 對于Bose子，每個能級上的粒子數(shù)不受限制,§9.12 巨正則分布的簡單應用,2) Fermi子：遵從Pauli不相容原理限制，al只能取0或1,§9.12 巨正則分布的簡單應用,可以嚴格證明：如果能級的簡并度為ωl,王竹溪《統(tǒng)計物理學導論》人民教育出版社P275-285,三、玻色分布和費米分布的漲落,只討論各能

17、級均非簡并的情形ωl= 1,將處在能級εl 上的粒子看作一個開系,（9.11.9）式,§9.12 巨正則分布的簡單應用,Fermi系統(tǒng)+Bose系統(tǒng),關(guān)于漲落的討論：,費米氣體:,ε<μ的能級al ≈ 1;,ε>μ的能級al ≈ 0;,漲落很??；泡利不相容原理的表現(xiàn),,玻色氣體: 漲落較大; 其相對漲落是1 的數(shù)量級,,§9.12 巨正則分布的簡單應用,不同能級上Fermi和Bose分布的漲落關(guān)聯(lián),