12-彎曲變形

1、,材 料 力 學(xué),第6章 彎曲變形,Saturday, March 23, 2024,§6-1 基本概念及工程實(shí)例,,§6-4 用疊加法求彎曲變形,§6-3 用積分法求彎曲變形,§6-2 撓曲線的微分方程,,,,§6-5 靜不定梁的解法,,,§6-6 提高彎曲剛度的措施,第六章 彎曲變形,§6-1 基本概念及工程實(shí)例,一、工程實(shí)例,,二、研究目的:,1、 解決

2、梁的剛度問題,2、 求解靜不定梁,3、 為研究穩(wěn)定問題打基礎(chǔ),,1、撓度 橫截面形心 C (即軸線上的點(diǎn))在垂直于 x 軸方向的線位移,稱為該截面的撓度，用w表示。,三、梁的變形描述,,,2、轉(zhuǎn)角 橫截面對其原來位置的角位移,稱為該截面的轉(zhuǎn)角. 用? 表示,,,,3、撓曲線 梁變形后的軸線稱為撓曲線 .,式中, x 為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo),w 為該點(diǎn)的撓度。,撓曲線,

3、撓曲線方程,4、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系,,5、撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定,撓度 向上為正,向下為負(fù).,轉(zhuǎn)角 自x 轉(zhuǎn)至切線方向,逆時(shí)針轉(zhuǎn)為正,順時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù).,,§6–2 撓曲線近似微分方程,一、推導(dǎo)公式,1、純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系,橫力彎曲時(shí), M 和 ? 都是x的函數(shù).略去剪力對梁的位移的影響, 則,2、由數(shù)學(xué)得到平面曲線的曲率,,,,在規(guī)定的坐標(biāo)系中,x 軸水平向右為正, w軸豎直向上為正.,曲線向上凸時(shí),,曲線向下凸時(shí):,

4、此式稱為 梁的撓曲線近似微分方程,與 1 相比十分微小而可以忽略不計(jì),故上式可近似為,一、微分方程的積分,若為等截面直梁, 其抗彎剛度EI為一常量上式可改寫成,1、積分一次得轉(zhuǎn)角方程,2、再積分一次, 得撓度方程,§6-3 用積分法求彎曲變形,二、積分常數(shù)的確定,1、邊界條件,,,2. 連續(xù)條件：分段處撓曲軸應(yīng)滿足的連續(xù)、光滑條件,$ 撓曲軸在B、C點(diǎn)連續(xù)且光滑,連續(xù):,光滑:,例題1 圖示一抗彎剛度為 EI 的懸臂梁,

5、在自由端受一集中力 F 作用.試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程, 并確定其最大撓度 和最大轉(zhuǎn)角,,,,,y,,(1) 彎矩方程為,解：,(2) 撓曲線的近似微分方程為,,對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分,,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為,邊界條件,將邊界條件代入(3) (4)兩式中,可得,,,y,x,解: 由對稱性可知，梁的兩個支反力為,此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為,,梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程為,邊界條

6、件,在 x=0 和 x=l 處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值，,最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為,在梁跨中點(diǎn)處有最大撓度值,例題4 圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁, 在D點(diǎn)處受一集中力F的作用.試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角.,,,,,,,,,,A,B,F,D,a,b,l,解: 梁的兩個支反力為,兩段梁的彎矩方程分別為,（一）分段建立彎矩方程和撓曲線近似微分方程并積分二次,D點(diǎn)的連續(xù)條件,,邊界條件,,在 x =

7、 a 處,在 x = 0 處，,在 x = l 處，,代入方程可解得:,1,2,將 x = 0 和 x = l 分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角,,當(dāng) a > b 時(shí), 右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大,當(dāng) a > b時(shí), x1 < a 最大撓度確實(shí)在第一段梁中,梁中點(diǎn) C 處的撓度為,,結(jié)論: 在簡支梁中, 不論它受什么荷載作用, 只要撓曲線上無 拐點(diǎn), 其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替, 其精確

8、度是能滿足工程要求的.,梁的變形微小, 且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí), 梁在幾項(xiàng)荷載(可以是集中力, 集中力偶或分布力)同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角， 就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加. 當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向(如均沿v 軸方向), 其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在 xy 平面內(nèi))時(shí),則疊加就是代數(shù)和. 這就是疊加原理.,一、疊加原理,§6-4 用疊加法求彎曲變形,1、載荷疊加 多個載荷同時(shí)

9、作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和.,2、結(jié)構(gòu)形式疊加（逐段剛化法）,,例題5 一抗彎剛度為 EI 的簡支梁受荷載如圖 所示.試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度 wC 和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角 ?A , ?B 。,解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡單的荷載,如圖所示,例6 求圖示梁C截面的撓度。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,C,B,EI,a,a,q,解：,+,,例7: 求圖示外伸梁C點(diǎn)的撓度和

10、轉(zhuǎn)角（逐段剛化法）,剛化AB,可視BC為懸臂梁,考慮AB段變形(剛化BC),,例題8 試?yán)茂B加法,求圖所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點(diǎn)的撓度 wC 和兩端截面的轉(zhuǎn)角 ?A , ?B .,,解:可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加.,（1）正對稱荷載作用下,（2）反對稱荷載作用下,在跨中C截面處,撓度 wC等于零,但 轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的 彎矩也等于零,可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l /2 的簡支

11、梁,,可得到：,將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加, 即得,例9：EI=常值，求,+,,基本概念,1.超靜定梁,單憑靜力平衡方程不能求出全部支反力的梁 , 稱為超靜定梁,§6-5 靜不定梁的解法,2.“多余”約束,多于維持其靜力平衡所必需的約束,3.“多余”反力,與“多余” 約束相應(yīng)的支座反力,4.超靜定次數(shù),超靜定梁的 “多余” 約束的數(shù)目就等于其超靜定次數(shù).,n = 未知力的個數(shù) - 獨(dú)立平衡方程的數(shù)目,二、求解超靜定梁的步驟,1

12、、畫靜定基建立相當(dāng)系統(tǒng)：,2、列幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程,變形幾何方程為,,,,3、列物理方程—變形與力的關(guān)系,查表得,將力與變形的關(guān)系代入變形幾何方程得補(bǔ)充方程,4、建立補(bǔ)充方程,,,補(bǔ)充方程為,由該式解得,5、求解其它問題（反力、應(yīng)力、變形等）,求出該梁固定端的兩個支反力,,,代以與其相應(yīng)的多余反力偶 mA 得基本靜定系.,變形相容條件為,請同學(xué)們自行完成 ！,方法二:,取支座 A 處阻止梁轉(zhuǎn)動的約束為多余約束.,例10

13、求圖示結(jié)構(gòu)中拉桿BC 的軸力。,,,,,,,,,,B,C,,,,,,,,,,,A,EA,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,q,a,EI,,,,l,解：,去掉BC 桿，帶之以軸力FN。,一、梁的剛度條件,[d ]——許用撓度，[q ]——許用轉(zhuǎn)角,一般用途軸： [δ ]=(5/10000~3/10000)l重要軸： [δ ]=(2/1

14、0000~1/10000)l起重機(jī)大梁： [δ ]=(1/700~1/1000)l土建工程中的梁： [δ ]=(2/10000~1/10000)l安裝齒輪或滑動軸承處： [θ ]=0.001rad,§6-6 提高彎曲剛度的措施,二、梁的合理剛度設(shè)計(jì),思路：,讓材料遠(yuǎn)離截面中性軸，例如工字形與盒形薄壁截面合理安排約束與加載方式（分散載荷等）,依據(jù),①

15、 減小彎矩,② 增大剛度,措施：,合理安排約束與加載方式,增加約束，制作成靜不定梁,（1）強(qiáng)度是局部量，剛度是整體量（積分）,與梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的不同點(diǎn),輔梁、等強(qiáng)度梁是合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)的有效手段，提高梁的剛度須整體加強(qiáng),小孔顯著影響強(qiáng)度，但對剛度影響甚微,,(2)強(qiáng)度與材料 和 相關(guān),剛度與E 相關(guān),高強(qiáng)度鋼一般不提高E鋼與合金鋼:E =200 ~ 220GPa鋁合金:E =70 ~ 72GPa,跨度微小改變，將導(dǎo)致?lián)隙蕊@著改