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1、巧用“f[f1(x)]=xf1[f(x)]=x”解有關(guān)反函數(shù)題云南省保山曙光學(xué)校周世喜反函數(shù)是函數(shù)中的一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn),掌握反函數(shù)的概念,求反函數(shù)是高考中必考的內(nèi)容。但求反函數(shù)有時(shí)又是比較復(fù)雜的,若在實(shí)際答題過(guò)程中巧用反函數(shù)的性質(zhì),可收到事半功倍的效果,達(dá)到快而準(zhǔn)的目的。[性質(zhì)性質(zhì)]若y=f(x)與y=f1(x)互為反函數(shù),設(shè)f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃。則有f[f1(x)]=x(x∈C)f1[f(x)]=x(x∈A)成立。下面通過(guò)幾
2、道例題介紹該性質(zhì)的應(yīng)用:例1.1.已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)的反函數(shù)為的反函數(shù)為f11(x)(x)=2x1x1,求,求f(1).f(1).分析:分析:(方法一)先求出函數(shù)y=f(x)的解析式,再代值求解。(方法二)根據(jù)原函數(shù)和反函數(shù)的關(guān)系,列出等式:2x1=1,解之即得f(1)的值。(方法三)利用性質(zhì)來(lái)解。令f(1)=x由此可得:f1[f(1)]=f1(x)?2x1=1?x=1當(dāng)然‘方法二’與‘方法三’實(shí)質(zhì)上是一致的,但我
3、認(rèn)為‘方法三’學(xué)生更能理解掌握。例2.2.已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)y=f(x)在定義域(-在定義域(-∞,0)內(nèi)存在反函數(shù),且)內(nèi)存在反函數(shù),且f(x1)=xf(x1)=x22x.2x.求f11()41?分析:分析:(方法一)由f(x1)=x22x?f(x1)=(x1)21所以f(x)=x21x∈(∞0),再求出其反函數(shù)f1(x)=,故f1()=。)1(1??????xx41?23?(方法二)由f(x1)=x22x?f(x1)=(x
4、1)21所以f(x)=x21x∈(∞0),再令f1()=x41??f[f1()]=f(x)41??=f(x)41??x21=41??x2=43=14??xx∴g(11)=23111411???(方法二:用常規(guī)方法來(lái)解)由f(x)=?f1(x)=132??xx23??xx?f1(x1)=14??xx∵函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f1(x1)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱∴函數(shù)y=g(x)與函數(shù)y=f1(x1)互為反函數(shù)由y=f1(x1)=得
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