上海交大概率統(tǒng)計(jì)總復(fù)習(xí)

1、地點(diǎn) 閔行中院 — 312,9:00 ~ 11:00,18:00 ~ 20:00,期末答疑安排,6月19日,6月20日,6月21日,13:00 ~ 16:00,18:00 ~ 20:00,18:00 ~ 20:00,,,,,,古格王朝遺址,,,白云壓住高山湖,,,王,宏,衛(wèi),,,崗巴拉山海拔4852m,,,,,,西,藏,的,圖,騰,,,,,《概率統(tǒng)計(jì)》復(fù)習(xí),復(fù)習(xí),復(fù)習(xí)2,各 章 比 重,第一章(16),第二章(1

2、1),第三章(13),第四章(13),第五章(15),第六章(3),第七章(17),第八章(12),概率(68),統(tǒng)計(jì)(32),題 型 題 量(25),是非題 (6 ~7),選擇題 (5 ~ 6),填空題 (5 ~6),計(jì)算題 (5 ~ 6),證明題 (0 ~ 1),,各 章 要 點(diǎn),第一章,,1. 概率性質(zhì) 古典概率,2.條件概率,,乘法公式,全、貝公式,

3、3.事件獨(dú)立性,第二章,,1.分布律分布函數(shù)定義性質(zhì),2.七個(gè)常用分布 ( P.159 表格 ),3.隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,一二章,例1,例1,(1) 在古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)中,,Ø,( ),√,(2) 若事件 A, B, C , D 相互獨(dú)立, 則,√,事件,若事件 A1, A2, …, An 相互獨(dú)立, 將它 們?nèi)我夥殖?k 組, 同一事件不能同時(shí) 屬于兩個(gè)不同的組, 則對(duì)每組事件進(jìn) 行求

4、和、積、差、逆 等運(yùn)算所得到 的 k 個(gè)事件也相互獨(dú)立.,(3) 若事件 A 與 B獨(dú)立, B 與 C獨(dú)立,,則事件 A與 C 也相互獨(dú)立. ( ),事件相互獨(dú)立不具有傳遞性.,,例2,例2,對(duì)任意事件A, B下列結(jié)論正確的是,( ),(a),(b),(c),(d),解,,選b. d, c 顯然錯(cuò),,可證 b 是對(duì)的.,b,例3 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位,數(shù), 故只能隨意撥最后一個(gè)號(hào)

5、, 則他撥三次,由乘法公式,設(shè)事件 表示“三次撥號(hào)至少一次撥通”,表示“第 i 次撥通”,則,解,例3,可撥通朋友家的概率為,0.3,例4 小王忘了朋友家電話號(hào)碼的最后一位,數(shù), 他只能隨意撥最后一個(gè)號(hào), 他連撥三次，,由乘法公式,設(shè),表示“第 i 次撥通”,解一,例4,求第三次才撥通的概率.,解二,√,從題目敘述看要求的是無(wú)條件概率.,,,產(chǎn)生誤解的原因是未能仔細(xì)讀題，,未能分清條件概率與無(wú)條件概率的區(qū)別.,本題若改

6、敘為：… 他連撥三次，已,知前兩次都未撥通,求第三次撥通的概率.,此時(shí)，求的才是條件概率.,,例5,例5 10件產(chǎn)品中有3 件次品, 從中任取 2 件.,在所取 2 件中有一件是次品的條件下, 求,另一件也是次品的概率.,解1,設(shè)事件 表示“所取 2 件中有一件次品”,事件 表示“ 另一件也是次品”. 則,解2,某廠卡車運(yùn)送防“非典”用品下鄉(xiāng)，頂層裝10個(gè)紙箱，其中5箱民用口罩、2箱醫(yī)用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地時(shí)

7、發(fā)現(xiàn)丟失1箱，不知丟失哪一箱. 現(xiàn)從剩下 9箱中任意打開2箱，結(jié)果都是民用口罩，求丟失的一箱也是民用口罩的概率.,例6,例6,表示事件“丟失的一箱為 k ”,,表示事件“任取 2 箱都是民用口罩”,解,,分別表示民用口罩，醫(yī)用,口罩，消毒棉花.,,,,由全概率公式,由貝葉斯公式,解二,（縮減樣本空間法）,去掉打開的 2 箱民用口罩，,解二比解一簡(jiǎn)單十倍！,基本事件總數(shù),有利的基本事件數(shù),例7 (1) 是 的密度函數(shù)

8、 則 . ( ),(2) 若 , 則 ( ),事實(shí)上由§2.4 得 非均勻分布函數(shù),(3) 若 , 則 ( ),√,例7,例8,內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率,例8

9、設(shè)隨機(jī)變量 的絕對(duì)值不大于 1 ；,在事件 出現(xiàn)的條件下，,與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比.,(1) 的分布函數(shù),(2) 取負(fù)值的概率,解,(1),(2),,在,試求,,①,的三性質(zhì)都不滿足,單調(diào)減,②,③,右不連續(xù),未定義,,分布函數(shù) 三性質(zhì),②,,解,當(dāng),當(dāng) 推導(dǎo)較復(fù)雜先做準(zhǔn)備工作.,由題設(shè)知,設(shè),于是,上式中令 得,,又,于是

10、當(dāng) 時(shí)，,,,(2),,由題設(shè) 得,[附] k 的另一求法,落入?yún)^(qū)間( 1 , 3 )的概率最大.,例9 設(shè) 當(dāng) 時(shí),,令,解,例9,第三章,2. 邊緣分布 條件分布,3. 隨機(jī)變量的獨(dú)立性,第四章,,1.

11、 期望 方差定義 性質(zhì),2. 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)性,3. 期望的應(yīng)用,,1.聯(lián)合分布律 分布函數(shù)定義性質(zhì),4. 隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,三四章,例10 設(shè) 獨(dú)立同分布, 且已知,求行列式 的概率分布.,解,令 則 獨(dú)立同分布,,可能取值為則,例10,練4,求

12、 的概率分布.,答案,具 體 推 導(dǎo),設(shè)A ,B 為隨機(jī)試驗(yàn) E 的兩個(gè)事件， 0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1,,書例,證明: 若? XY = 0, 則隨機(jī)變量 X ,Y 相互獨(dú)立.,證 由 ? XY = 0,而,令,,,書例,錯(cuò)誤原因,而這并不表明 X ,Y 相互獨(dú)立.,？,,,,即,本題要證明離散隨機(jī)變量 X , Y

13、相互,獨(dú)立, 必需證明如下四個(gè)等式都成立：,正確證明,由題設(shè)得 ( X ,Y ) 的聯(lián)合分布：,,,由,,同理可證:,故 X ,Y 相互獨(dú)立.,由于事件 A , B 相互獨(dú)立, 必有,也相互獨(dú)立，即,二維隨機(jī)變量的函數(shù)的分布,~,的 p.d.f.,,,練,練習(xí),設(shè)隨機(jī)變量 (均勻分布)，,(指數(shù)分布),且它們相互獨(dú)立，,試求 的密度函數(shù),答案,判斷獨(dú)立性的簡(jiǎn)便方法,已知聯(lián)合分布,判斷 是否獨(dú)立

14、需要做 次,加法和乘法.,共需運(yùn)算13次.,判獨(dú)立例11,,解,（一眼看出）,命 題,求表內(nèi)各,練習(xí),字母值,使,獨(dú)立.,練習(xí),解,由題意應(yīng)有：,從而有右表,由歸一性得,……(3),… (1),由(1) 得,… (2),聯(lián)立(2) (3) 得,或,設(shè),或,0.48 0.32 0.20,0.0625,0.4375,0.5,經(jīng)檢驗(yàn),正確！,例12,例12 設(shè)隨機(jī)變量 X、Y 相互獨(dú)立, 且

15、都服,. 求,從,解,當(dāng) 時(shí)，由獨(dú)立性,當(dāng) 時(shí)，,所以,( ),由于X、Y 的隨機(jī)性, 故不能保證恒有,或,,解,由于相互獨(dú)立的正態(tài)變量的線性組合,仍是正態(tài)變量，故,本題設(shè) 是關(guān)鍵.若不然,雖能算出 但很難算,,例13 卡車裝運(yùn)水泥, 設(shè)每袋重量(gk) X 服從,例13,問裝多少袋水泥, 使總重量,超過(guò)2000的概率不大于0.05.,解一,設(shè)裝m 袋水

16、泥,總重量為mX, 據(jù)題設(shè)有,所以至多裝43袋水泥.,?,要學(xué)會(huì)對(duì)答案的粗略檢驗(yàn),解二,設(shè)裝m 袋水泥,總重量為mX, 據(jù)題設(shè)有,所以至多裝37袋水泥.,?,要徹底的隨機(jī)！,解,設(shè)裝m 袋水泥, 表示第 袋水泥重量.,于是總重量為,所以至多裝39袋水泥.,第五章,,1. 切貝雪夫不等式,2. 中心極限定理的應(yīng)用,第六章,1. 統(tǒng)計(jì)量 總體 樣本及其空間,2. 常用“三抽樣分布”定義 性質(zhì) 各分布分位點(diǎn)定

17、義 及 相互 關(guān)系,,五六章,例14,例14,某大賣場(chǎng)某種商品價(jià)格波動(dòng)為隨機(jī),變量.設(shè)第 i 天(較前一天)的價(jià)格變化為,獨(dú)立同分布,,為,(元/斤) 為現(xiàn)在的,價(jià)格.,第 n 天的價(jià)格，,解,①,②,應(yīng)用,(應(yīng)用題),備一筆現(xiàn)金, 已知這批債券共發(fā)放了500張,每張須付本息1000元, 設(shè)持券人(一人一券),銀行為支付某日即將到期的債券須準(zhǔn),到期日到銀行領(lǐng)取本息的概率為 0.4, 問銀,行于該日應(yīng)準(zhǔn)備多少現(xiàn)金才能以 99

18、.9% 的,把握滿足客戶的兌換.,解,設(shè),1 第 i 個(gè)持券人到期日來(lái)兌換,0 第 i 個(gè)持券人到期日未兌換,,則到期日來(lái)銀行兌換的總?cè)藬?shù)為,設(shè)銀行需準(zhǔn)備1000 m 元 ,,兌換總額為 ,,由中心極限定理,所以銀行需準(zhǔn)備23.4萬(wàn)元.,例15 一本書有1000000個(gè)印刷符號(hào), 排版,時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為千分之一.校,對(duì)時(shí),每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.99，,求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率.,

19、解,設(shè),1 第 i 個(gè)印刷符號(hào)被排錯(cuò),0 第 i 個(gè)印刷符號(hào)未排錯(cuò),,則總的被排錯(cuò)的印刷符號(hào)個(gè)數(shù),且,例15,設(shè)校對(duì)后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為 ,,則近似有,由中心極限定理,于是,則,解,令,1 第 i 個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)校對(duì)后仍錯(cuò),0 其 他,,由于排版與校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工作, 因而,設(shè)校對(duì)后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為 , 則,,由中心極限定理,例16 一保

20、險(xiǎn)公司有10000人投保，每人每年,付12元保險(xiǎn)費(fèi)，已知一年內(nèi)投保人死亡率,為0.006.若死亡公司給死者家屬1000元.求,(1) 保險(xiǎn)公司年利潤(rùn)為 0 的概率；,(2) 保險(xiǎn)公司年利潤(rùn)大于60000元 的概率；,解,例16,設(shè) 為投保的10000人中一年內(nèi)死亡的,人數(shù).則,利用泊松定理，取,(1) 設(shè)保險(xiǎn)公司年利潤(rùn)為 , 則,(2) 由中心極限定理,例17 從正態(tài)總體 N (? ,? 2 ) 中取容量為16 的樣本,

21、S2 為樣本方差,則D (S2) = ( ),解,例17,例18 設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體 X,的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.,證明,證,,從而,例18,正態(tài)分布與由正態(tài)分布 導(dǎo)出的分布間的關(guān)系,,①,②,③,推導(dǎo) ① （ 相仿推導(dǎo) ② ③ ）,例如,證明②,設(shè) X ~ t ( n ), 則 其中Z ~ N ( 0 ,1 ),于是,由 t 分

22、布與 F 分布分位點(diǎn)的定義,由 t 分布的對(duì)稱性,從而有,此即教材 P.203習(xí)題六12題. (2002年印),第七章,,點(diǎn)估計(jì)的三種方法 及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),2. 參數(shù)的區(qū)間估計(jì),第八章,1. 假設(shè)檢驗(yàn)的有關(guān)概念,2.參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn),,七八章,例19,例19 設(shè)總體 X 的分布密度函數(shù)為,求 的矩估計(jì)量 ,并計(jì)算,解,估計(jì)量是樣本的函數(shù),令,例20,例20 設(shè)總體 X 的密度函數(shù)為,解,的極大似然估計(jì)量.,為 X 的一

23、個(gè)樣本,求參數(shù),,任一樣本函數(shù),,似然方程組為,本題 的估計(jì)并不能通過(guò)似然方程求得,解,由題設(shè)，若 必須,即,越大， 越大，故,的極大似然估計(jì)可通過(guò)似然方程求得.,,是取自對(duì)數(shù)正態(tài)分布,,例21,設(shè),求 的極大似然估計(jì).,解,例21,的密度函數(shù),的密度函數(shù),由極大似然估計(jì)的不變性得：,其中,一般正態(tài) 參數(shù)的極大似然估計(jì)是：,則對(duì)數(shù)正態(tài)參數(shù)的極大似然估計(jì)是：,例22,例2

24、2 設(shè)總體 X 服從 , 其密度函,數(shù)為 . 對(duì)于容量為 n 的樣本, 求使得,的點(diǎn) 的極大似然估計(jì),解,由教材P.211例7知,,設(shè) 為總體 X ~ N (? ,? 2),的一個(gè)樣本，求常數(shù) k , 使,解,例23,例23,令,則,故,,解,,故,,假設(shè)檢驗(yàn)步驟(三部曲),其中,根據(jù)實(shí)際問題所關(guān)心的內(nèi)容,建立H0與H1,在H0為真時(shí),

25、選擇合適的統(tǒng)計(jì)量V,由H1確,給定顯著性水平?,其對(duì)應(yīng)的拒絕域,雙側(cè)檢驗(yàn),左邊檢驗(yàn),定拒絕域形式,根據(jù)樣本值計(jì)算,并作出相應(yīng)的判斷.,右邊檢驗(yàn),,三部曲,例24 設(shè)某次概率統(tǒng)計(jì)考試考生的成績(jī),X ~ N (? ,? 2), 從中隨機(jī)地抽取 36 位考生,的成績(jī)，算得平均成績(jī)?yōu)?6.5分，標(biāo)準(zhǔn)差,為15分. 問在顯著性水平0.05下，是否可,以認(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)?0分？,并給出檢驗(yàn)過(guò)程 .,解,例24,拒絕域:,落在拒絕域外，接

26、受,即認(rèn)為這次考試的平均成績(jī)?yōu)?0分.,例25 用包裝機(jī)包裝洗衣粉. 在正常情況下，,問該天包裝機(jī)工作是否正常？( ).,例25,每袋重量為1000克，標(biāo)準(zhǔn)差不能超過(guò)15克.,假設(shè)每袋凈重,某天為檢查機(jī)器,工作是否正常，隨機(jī)抽取10袋得其凈重的,均值 ，方差,解,H0: ? = 1000 ； H1: ?? 1000,取統(tǒng)計(jì)量,解,拒絕域 ?0：,落在拒絕域外，接受,即