九section線性空間與線性子空間

1、2線性空性空間與線性子空性子空間、、線性空間[線性運(yùn)算]設(shè)F是一個(gè)域，其元素a，b，c，…作為數(shù)量；V是任一種類對(duì)象的集，其元素用希臘字母αβγ…表示.確定兩個(gè)運(yùn)算法則：1oV中元素的加法.對(duì)V中任二元素α，β，總有唯一確定的元素γ與它們對(duì)應(yīng)，稱為α與β之和，記作.βγ???2oF中的數(shù)量與V中元素的乘法.對(duì)F中任一數(shù)a與V中任一元α，總有唯一確定的元素δ與它們對(duì)應(yīng)，稱為a與α的數(shù)乘，記作??a?這兩個(gè)運(yùn)算法則稱為線性運(yùn)算.[線性空間及

2、其性質(zhì)]設(shè)F是一個(gè)域，V是任一種類對(duì)象的集，若對(duì)線性運(yùn)算滿足以下條件，則稱V為域F上的線性空間：(i)V是一個(gè)加法群；(ii)對(duì)任意元a∈F與α∈V，對(duì)應(yīng)著唯一確定的一個(gè)元Va????(iii)滿足分配律和結(jié)合律，即對(duì)有VFba????)()()()(?????????baabbabaaaa???????域F的元素稱為線性空間的數(shù)量，V的元素稱為它的矢量，因而線性空間又稱矢量空間.加法群的單位元稱為零矢量，記作0，（1）α是α∈V的逆元

3、，稱為負(fù)矢量.實(shí)數(shù)域上的線性空間稱為實(shí)線性空間；復(fù)數(shù)域上的線性空間稱為復(fù)線性空間.例1三維空間中的矢量全體組成一個(gè)實(shí)線性空間.例2數(shù)域F上的多項(xiàng)式環(huán)F[x]，按照通常的多項(xiàng)式加法與多項(xiàng)式乘法，組成數(shù)域F上的線性空間.例3元素屬于數(shù)域F的mn矩陣，按照矩陣的加法和矩陣與數(shù)的乘法，組成數(shù)域F上的線性空間.例4按照通常的加法和乘法，實(shí)數(shù)全體是實(shí)數(shù)域R上的線性空間.復(fù)數(shù)全體是復(fù)數(shù)域C上的線性空間.任一域是用自己當(dāng)作數(shù)量域的線性空間.例5把在一個(gè)

4、實(shí)區(qū)間（a，b）中定義的每個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)當(dāng)作一個(gè)元素，任意兩個(gè)元素f與g的和記作，是在中定義的一個(gè)連續(xù)實(shí)函數(shù)，它在每一點(diǎn)x的值規(guī)定為gf?gf?)(ba)()())((xgxfxgf???又把一個(gè)元素f乘實(shí)數(shù)c所得到的元素規(guī)定為cfbxaxcfxcf???)())((則這些元素全體組成一個(gè)實(shí)線性空間.線性空間有以下性質(zhì)：1o零矢量是唯一的.2o負(fù)矢量是唯一的.3o.FccV????0000??4o若則c=0或α=0.0?????cVFc[

5、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)]域F上的線性空間V中一組有限個(gè)矢量如果對(duì)??n???21?僅當(dāng)時(shí)等式Fcccn?21?021????nccc?02211????nnccc????才成立，則稱矢量組為線性無(wú)關(guān)，否則稱為線性相關(guān).若矢量組??n???21???n???21?例如，三維空間中兩個(gè)不同平面（二維子空間）交于一條直線，由于，但，所以.422dimdim????TS3)dim(??TS1)dim(?TS?[子空間的直和]設(shè)是線性空間V的子空間，

6、若和中每個(gè)矢kSSS21?kSSS????21量α的分解式)21(21kiSiik?????????????是唯一的.這個(gè)和就稱為直和，記作kSSS????21子空間的直和具有以下性質(zhì)：1o和是直和的充分必要條件是：kSSS????21)21(21kiSiik????????????0僅當(dāng)全為零矢量時(shí)才成立.i?2o和是直和的充分必要條件是：kSSS????21Φ（空集）???ijjiSS?)21(ki??3o設(shè)是線性空間V的子空間，若

7、kSSS21?kSSSW?????21則kSSSWdimdimdimdim21?????其逆也真.這表明對(duì)于子空間的直和，維數(shù)是可加的.由此可見，若kSSSW?????21把子空間的基)21(kiSi??)(kiiinii??2121????合并起來(lái)就得到子空間W的一組基.[商空間]設(shè)S是V的一個(gè)子空間，并設(shè)兩個(gè)矢量，若，則說(shuō)和V???S??????是等價(jià)的，記作.實(shí)際上，這個(gè)關(guān)系具有等價(jià)關(guān)系的三個(gè)性質(zhì)：~??(i)反身性對(duì)每個(gè)，有；S

8、??~??(ii)對(duì)稱性若，則；~????~(iii)傳遞性若，，則.~??“~??“~??和集合的情形一樣，稱兩個(gè)等價(jià)的矢量和是屬于同一類.每個(gè)矢量恰好包含??V??在一個(gè)類中，這一類記作.V中的零矢量0包含在與子空間S重合的類中._?_0若把每個(gè)類作為一個(gè)元素，則這一切元素組成的集是一個(gè)線性空間，稱為V關(guān)于S的商空間，記作.商空間的零矢量是，且有SV_0SVSVdimdimdim??由此可見，若，則商空間的維數(shù)是零；又若S是零空間，