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1、第二章 數(shù)值分析基礎(chǔ),,第一節(jié) 線性空間與賦范線性空間 第二節(jié) 內(nèi)積空間與內(nèi)積空間中的正交系 第三節(jié) 初等變換陣與特殊矩陣,,,第一節(jié) 線性空間與賦范線性空間,,一、線性空間,,代數(shù)運(yùn)算的八條規(guī)則,,線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一,也是一個(gè)抽象的概念,它是向量空間概念的推廣.,,線性空間是為了解決實(shí)際問題而引入的,它是某一類事物從量的方面的一個(gè)抽象,即把實(shí)際問題看作線性空間,進(jìn)而通過研究線性空間來解決實(shí)際問題.,R:可以
2、看成是實(shí)數(shù)域R上的線性空間,加法和數(shù)乘是實(shí)數(shù)中的加法和數(shù)乘;C:可以看成是復(fù)數(shù)域C上的線性空間,加法是復(fù)數(shù)的加法,數(shù)乘是實(shí)數(shù)與復(fù)數(shù)按復(fù)數(shù)乘法相乘;,Rm×n(Cm×n):實(shí)數(shù)域(復(fù)數(shù)域)上所有m×n矩陣的集合。按矩陣的加法和數(shù)乘矩陣定義加法和數(shù)乘,構(gòu)成線性空間;,2、幾個(gè)具體的線性空間實(shí)例,,P[x]n:實(shí)數(shù)域上所有次數(shù)≤n的多項(xiàng)式。按多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式定義加法和數(shù)乘,構(gòu)成線性空間。但次數(shù)=n的多項(xiàng)式
3、全體不能構(gòu)成線性空間;P[x]:實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式全體.按多項(xiàng)式加法和數(shù)乘多項(xiàng)式法則構(gòu)成線性空間;,C[a,b]:區(qū)間[a,b]上一元連續(xù)函數(shù)的全體。是R上的線性空間,因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)之和以及實(shí)數(shù)k與連續(xù)函數(shù)乘積仍是連續(xù)函數(shù);Cn[a,b]:類似于C[a,b],在區(qū)間[a,b]上n階連續(xù)可微的一元函數(shù)全體.構(gòu)成R上的線性空間。,,(1)一個(gè)集合,如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算,則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性.,例1
4、 實(shí)數(shù)域上的全體 矩陣,對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間,記作 .,線性空間的判定方法,,,,例4 在區(qū)間 上全體實(shí)連續(xù)函數(shù),對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法,構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間.,,(2)一個(gè)集合,如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算,則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律.,證明,所以對(duì)定義的加法與數(shù)乘運(yùn)算封閉.,,下面一一驗(yàn)
5、證八條線性運(yùn)算規(guī)律:,,所以 對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間.,3、線性空間的基和維數(shù),已知:在 中,線性無關(guān)的向量組最多由 個(gè)向量組成,而任意 個(gè)向量都是線性相關(guān)的.,問題: 在線性空間V中,最多能有多少線性無關(guān)的向量?,3、線性空間的基和維數(shù),,,,,4、線性空間的子空間,,矩陣代數(shù)中的幾個(gè)重要子空間,,,,,,(2)矩陣的列空間和行空間,,,,,,,,生成的子空間的基與維數(shù).,例,,,,定義2-4,5、元素
6、在給定基下的坐標(biāo),,,,注 線性空間V 的任一元素在不同基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同,一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的.,,6、線性空間的同構(gòu),,,定義 設(shè)U、V是兩個(gè)線性空間,如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng),那末就稱線性空間 U與 V同構(gòu).,同構(gòu)的意義,在線性空間的抽象討論中,無論構(gòu)成線性空間的元素是什么,其中的運(yùn)算是如何定義的,我們所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì).從這個(gè)意義上可以說,同構(gòu)的線性
7、空間是可以不加區(qū)別的,而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù).,,,定義2-5,二、賦范線性空間1.向量范數(shù)公理,,Matlab: norm(x,p),,數(shù)值分析,,s=0;for i=1:n s=s+abs(x(i));end,s=0;for i=1:n s=s+x(i)*x(i);ends=sqrt(s),s=0;for i=1:n s=s+x(i)^2;end
8、s=sqrt(s),,,s=0;for i=1:n if abs(x(i))>s,s=abs(x(i));endend,,,,,,例:證明,,注意: 1.等價(jià)性不等于互相代替,即在同一問題中不能混 用不同的范數(shù)。2.在無限維空間中,向量范數(shù)的等價(jià)性不成立。,,,,,,,,(2)算子范數(shù)(從屬范數(shù)),定義2-7(矩陣的算子范數(shù)),,,,,,特征值和特征向量的性質(zhì):,,,,,,,,,,證畢,,4.賦范線
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