線性代數(shù) 朱玉清 第一章習(xí)題答案

1、1習(xí) 題 1.1 1.1 1.1 1.11．計(jì)算下列二階行列式．（1） 5 32 4； （2） α αα αcos sinsin cos．解 （1） 14 6 20 5 32 4 = ? = ； （2） α αα αcos sinsin cosα α 2 2 sin cos ? = ．2．計(jì)算下列三階行列式．（1）5 0 17 2 13 3 2??； （2）0 000 0dc ba； （3）2 2 21 1 1c b ac b a ；

2、（4）c b a b a ac b a b a ac b a+ + ++ + +2 3 2．解 （1）原式 62 0 7 2 ) 5 ( 1 ) 3 ( 1 2 3 1 7 ) 3 ( 3 0 1 ) 5 ( 2 2 ? = × × ? ? × × ? ? × × ? × × ? + × × + ? × × =（2）原

3、式 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 = ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ? ? + ? ? = d c b a c a d b ；（3）原式 ) )( )( ( 2 2 2 2 2 2 b c a c a b c b ac b a c a ab bc ? ? ? = ? ? ? + + = ；（4）原式 ) ( ) ( ) 2 ( ) 2 3 )( ( b a ac c b a ab b a ac c b a

4、 b a a + ? + + + + + + + + =3 ) 2 3 ( ) )( 2 ( a c b a ab c b a b a a = + + ? + + + ? ．3．用行列式解下列方程組．（1）? ? ?= += +3 5 32 4y xy x； （2）? ?? ??= + += + += + +8 268 33 2 13 2 13 2 1x x xx x xx x x；（3）? ? ?= ?= +0 2 31 3 22 1

5、2 1x xx x； （4）? ?? ??= ? += += ? ?0 31 2 31 23 2 13 23 2 1x x xx xx x x．解 （1） 7 5 34 1 ? = = D ， 2 5 34 21 ? = = D ， 3 3 32 12 ? = = D ，所以 72 1 = = DD x ， 73 2 = = DD y ．（2） 21 2 11 1 11 1 3? = = D ， 21 2 81 1 61 1 81 ?

6、= = D ， 41 8 11 6 11 8 32 ? = = D ， 68 2 16 1 18 1 33 ? = = D ，所以 1 11 = = DD x ， 2 22 = = DD x ， 3 33 = = DD x ．（3） 13 2 33 2 ? = ? = D ， 2 2 03 11 ? = ? = D ， 3 0 31 22 ? = = D ，所以 132 1 = = DD x ， 133 2 = = DD y ．（4）

7、81 1 32 3 01 2 1? =?? ?= D ， 81 1 02 3 11 2 11 ? =?? ?= D ，3（4）逆序數(shù)為 2) 1 ( ? n n ，因?yàn)?212 22 1 0 0 004 2 1 2 3 1↓ ↓?? ?↓ ↓ ↓ ↓ ↓? n nn n tni ? ?? ? 排列2．在由 9 , 8 , 7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 組成的下述排列中，確定 j i , 的值，使得（1） 946 7

8、 215 j i 為奇排列； （2） 4 15 3972 j i 為偶排列．解 （1） j i, 為分別 3 和 8；若 8 , 3 = = j i ，則 9 3 4 1 1 ) 946 378 215 ( = + + + = τ ，為奇排列，因此取 8 , 3 = = j i 。（2） j i, 為分別 6 和 8；若 8 , 6 = = j i ，則 20 5 1 3 5 2 3 1 ) 397261584 ( = + + + +

9、+ + = τ ，為偶排列，因此取 8 , 6 = = j i 。3．在五階行列式 ) det( ij a = D D D D 展開式中，下列各項(xiàng)應(yīng)取什么符號(hào)？為什么？（1） 51 45 34 22 13 a a a a a ； （2） 25 44 13 32 51 a a a a a ； （3） 23 44 15 32 51 a a a a a ； （4） 45 12 34 53 21 a a a a a ．解 （1）因 5 ) 32

10、451 ( = τ ，所以前面帶“-”號(hào)；（2）因 7 ) 53142 ( = τ ，所以前面帶“-”號(hào)；（3）因 10 ) 12543 ( ) 53142 ( = +τ τ ，所以前面帶“+”號(hào)；（4) 因 7 ) 13425 ( ) 25314 ( = +τ τ ，所以前面帶“-”號(hào)．4．下列乘積中，那些可以構(gòu)成相應(yīng)階數(shù)的行列式的項(xiàng)?為什么？（1） 12 43 21 34 a a a a ； （2） 14 34 23 12 a a

11、a a ； （3） 55 14 23 32 41 a a a a a ； （4） 55 12 23 32 41 a a a a a ．解 （1）可以，由于該項(xiàng)的四個(gè)元素乘積分別位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于 14 34 23 12 a a a a 中的 14 34a a 都位于第四列，所以不是四階行列式的項(xiàng)；（3）可以，由于該項(xiàng)的五個(gè)元素乘積分別位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于 55 12 23 32 41 a a a

12、 a a 中沒有位于第四列的元素。5. 六階行列式展開式中含有因子 23 a 的乘積項(xiàng)共有多少項(xiàng)？為什么？解 ！ 5 項(xiàng)，因?yàn)榱A行列式中每項(xiàng)是六個(gè)元素相乘，并且六個(gè)元素取自不同行不同列， 23 a 是取自第二行第三列的元素，所以其余五行從第一、二、四、五、六列里選取出其余的五個(gè)元素，共有 ！ 5 種取法。6．用行列式定義計(jì)算下列行列式．（1）0 0 0 11 0 0 00 0 1 00 1 0 0； （2）dcba0 0 00 0 0

13、0 0 00 0 0．解 （1） 在展開式4 3 2 1 4 3 2 1 ) 1 ( p p p p a a a a ∑ ?τ 中， 不為0 的項(xiàng)取自于 1 13 = a ， 1 22 = a ， 1 34 = a ， 1 41 = a ，而 4 ) 3241 ( = τ ，所以行列式值為 1 1 1 1 1 ) 1 ( 4 = × × × ? ．（2） 在展開式4 3 2 1 4 3 2 1 ) 1 (

14、p p p p a a a a ∑ ?τ 中， 不為0 的項(xiàng)取自于 a a = 11 ， b a = 23 ， c a = 32 ， d a = 44 ，而 1 ) 1324 ( = τ ，所以行列式值為 abcd abcd ? = ? 1 ) 1 ( ．7.在函數(shù)x xxx xxx f4 1 24 1 21 02 1 3 2) ( = 的展開式中， 4 x 的系數(shù)是什么？解 ) (x f 中含 x 因子的元素有 x a 2 11 =

15、， x a = 21 ， x a = 22 ， x a = 33 ， x a = 41 ， x a 4 44 = ，因此，含有 x 因子的元素i ij a 的列標(biāo)只能取 1 1 = j ， 2 1 2 , , , , = j ， 3 3 = j ， 4 1 4 , , , , = j .于是含 4 x 的項(xiàng)中元素列下標(biāo)只能取 1 1 = j ， 2 2 = j ， 3 3 = j ， 4 4 = j ，相應(yīng)的 4 個(gè)元素列標(biāo)排列只有一個(gè)