11論文正文、致謝、參考文獻

1、0引言 引言數(shù)學分析［1?2 （理科數(shù)學專業(yè)）及高等數(shù)學［3?4 （理工科非數(shù)學專業(yè)）這兩門 課程是高校數(shù)學課程中最基礎最重要的分支之一，其主要內容都是微積分.而極 限、定積分、二重積分這三個數(shù)學概念是數(shù)學分析及高等數(shù)學這兩門課程中基本 的抽象的數(shù)學概念.極限、定積分、二重積分這三個數(shù)學概念的精確定義在上述 數(shù)學分析及高等數(shù)學兩種教材中都有精確的描述，在正文中將給出.這里首先是 探討一下極限、定積分、二重積分這三個數(shù)學概念的教學，讓讀者

2、先搞清楚這三 個數(shù)學概念，對這三個數(shù)學概念有一個正確的理解.然后主要是根據(jù)這三個數(shù)學 概念的定義以及各種教材、參考資料及考試中常見的有代表性的問題或實例等探 討這三個數(shù)學概念相互之間的多方位，多角度，多層次的關系（歸根揭底還是由 概念相互之間的關系決定的）并總結得出一套新的系統(tǒng)的理論與方法技巧為高校 數(shù)學教師的數(shù)學概念教學特別是數(shù)學概念相互之間關系的教學提供理論方法技 巧及參考價值，也可供高校學習數(shù)學的大學生參考借鑒.在極限、定積分、二

3、重積分的概念教學過程中運用哲學思想，引用歷史典故 和邏輯思維及直觀圖象等方式方法，變抽象數(shù)學概念為學生易于接受的信息，使 學生更容易掌握新概念，新理論0.數(shù)學是概念的鏈條，總是用原有的概念解釋新的概念.這里一是說在學習數(shù) 學的進程中概念之多，其二是說概念間的連續(xù)性之強.所以在學習數(shù)學這門課程 時，如果學生不能準確地認識理解掌握運用概念，學生也就不能正確的掌握運用 數(shù)學這門知識技能.因此，在數(shù)學教學中講清概念至關重要.比如說，極限概念h］

4、眺KE是數(shù)學分析及高等數(shù)學中最基礎最重要也是最難 掌握的一個概念，是整個數(shù)學分析及高等數(shù)學的基礎，是一個重點也是一個難點， 它是研究微分學與積分學的必備工具，對它的理解與掌握直接關系到對數(shù)學分析 及高等數(shù)學這兩門課程掌握的好壞，直接關系到后繼課程的理解程度.數(shù)學分析及高等數(shù)學中的許多概念都可歸結為極限，例如本文將要探討的定 積分、二重積分都是積分和（也叫黎曼和，是一種特殊的和式，后面將給出其精 確定義）的極限.由此可見弄清極限的概念是學

5、習數(shù)學分析及高等數(shù)學的核心所 在.萬世不竭.”意思是說：“1尺的桿子，第一天截去一半，第二天截去剩余的一 半，第三天截去第二次剩余的一半，第四天截去第三次剩余的一半，……依此下 去，永遠不能截完.”如果我們把每次的剩余用數(shù)順次表示出來，就得到一個公 比為 1/2 的數(shù)列：1/2，1/4，1/8，1/16，1/32，1/64，1/128……那么，當天數(shù) n無限增大時，數(shù)列｛x ）將趨于一個常數(shù)（零）.這一闡述，既貼近生活現(xiàn)實又能 n體會到

6、其中辯證的哲學思想，言之有物，對學生理解變量（天數(shù)）的變化過程和數(shù) 列的變化趨勢這一極限概念，印象深刻.會認識到極限概念并不是空穴來風，而 是實實在在存在于生活之中，會激發(fā)學生的學習興趣.再結合書中幾個引例，給 出定義.這樣，有一種水到渠成，自然流暢之感.初學極限的人，都感覺極限概念難以掌握，極限概念的精確定義難以理解， 弄不清為什么要這樣定義表現(xiàn)出多方面的困惑.學生從小學到高中學習的都是常 量數(shù)學，被研究的量都是固定不變的，且都是有限

7、的.學生沒有遇到過無限的數(shù) 學模型，習慣用一種靜態(tài)不變的觀點來分析問題.而極限是一個無限過程，需用 運動、變化的觀點來考察問題.初學極限者，最難解決的是從有限到無限的轉變. 公元263年，我國古代數(shù)學家劉徽在求圓的周長時使用的“割圓求周”的方法， 就使用了極限方法.劉徽借助圓的內接正多邊形的周長來求圓的周長.其作法是： 依次作圓的內接正六邊形、圓的內接正十二邊形、圓的內接正二十四邊形……， 每個圓的內接正多邊形周長都可求得.圓內接正多邊

8、形邊數(shù)越多，其周長就與圓 的周長越接近，正如劉徽所說“割之彌細，所失彌少割之又割，以至于不可割， 則與圓合體而無所失矣.”這個方法蘊涵了極限思想.通過這兩個學生在生活學習中經(jīng)常遇到的實例引出極限的精確定義，便于學 生接受理解，也便于教師的講解.這兩個實例也是極限概念產(chǎn)生的歷史背景.這兩個實例說明極限概念在我國 古代的文獻中早有記載，極限概念產(chǎn)生的歷史背景源遠流長.張景中院士創(chuàng)立了“非8語言”.為數(shù)學教育方便，稱這種”非E語言”為“z 語