完備李超代數(shù)與廣義Witt型李超代數(shù).pdf

1、摘 要相 仿于 李 代數(shù)， 中 心 為 零且導 子 均 為內 導子的 李超代數(shù) 稱為 完 備李 超代數(shù).在完備李代數(shù)研究的基礎上，以前我們 研究了完備李超代數(shù)的某些性質和結構如; 給出了 李超代數(shù)完備的一個判定定理， 此定理可應有于許多李超代數(shù)完備的判 斷 . 通過H e i s e n b e r g 超 代數(shù)與 半 單 李 代 數(shù)的 擴張， 構造了 一 類完 備 李超 代數(shù)從而豐富了 完備李超 代數(shù)的 例子 對偶部為約化 李代數(shù)且

2、偶部在奇部上的 作用是完全可約的李超代數(shù)的 結構與完備性進行了 較為系統(tǒng)的 研究 在此基礎上我 們繼續(xù)對完備李超代數(shù)進行討論， 主要內 容如下:研究了完備的可 解李 超代數(shù)， 通過 對幕 零李超代數(shù)及其上的極大環(huán) 面的 研究， 得出 極大秩的 可 解李 超 代數(shù)是完 備的 最 后我們 討論了 一 類特殊的 可 解李超代數(shù)一 偶部完全可約 地作 用 在奇部 上的 可 解李 超 代數(shù)的結 構與完備性，研究了H e i s e n b e r

3、 g 超 代數(shù) 及 其 導 子 代 數(shù) 與 全 形， 給出 了H e i s e n b e r g 超 代數(shù)的 導 子 的 具 體 矩陣 形 式 及 其 全 形 的 導 子 代 數(shù) 的 具 體 形 式 證明 了H e i s e n b e r g 超代數(shù)的 導 子代數(shù)與 其全 形的 導子代數(shù) 是完備的 .對無 限維李 超代數(shù)， 我們 給出 一 類 廣義Wi t t 型李 超代數(shù)的 定義 并討論了 它的 二上同 調群.中 心為零且所有

4、導子均為內 導子的李 代數(shù)稱為完備李代數(shù). 在1 9 5 1年，S c h e n k m a n 證明了中 心為零的李代數(shù)的導子塔定 理. 在1 9 6 2 年 N .J a c o b s o n 也 給出 完 備 李 代 數(shù)的 定義[ 2 6 ] ， 指出 復 半 單李 代 數(shù)與 非 交換 二 維李 代數(shù) 完 備.[ 4 0 ] 證明 了 交 換 李 代 數(shù)的 全 形的 中 心 為 零且 無 外 導 子， 所以 完 備 .1 9

5、6 3 年G . L e g e r 在[ 3 1 ] 中 討 論了 無 外 導 子 的 李 代 數(shù) 的 性質 ， 給出了一些可解完備李代數(shù)的例子， 證得一個可解李代數(shù)9 完備當且僅當D e r g 二 a d g . 8 0 年 代以 前 所 知完 備 李代 數(shù)的 很少， 所以 完 備李 代數(shù)的 研究 幾乎沒有進展. 從8 0 年代的 后期完備李代數(shù)的 研究又 漸趨活 躍， 孟道驥， 朱林生， 姜翠波 等對完 備李代數(shù)的 研究，

6、使得完備 李代數(shù)的 研究在8 0 年 代 后半期 取得了 豐 富的 結 果〔 1 - 1 0 , 1 5 , 1 6 , 2 7 , 3 3 - 3 6 , 5 0 - 5 3 ] . 孟 首 先對完備李代數(shù)的結構及分解唯一 性做了 研究 ! 2 , 3 4 ] ， 得出了 完備李代數(shù)的 分解及其唯一 性. 在! 3 4 ] 中 孟給出了 李代數(shù)完備的 一個判別定理， 并由 此定理驗證了復半單李代數(shù)的B o r e l 子代

7、數(shù)及拋物子代數(shù) 是完備的，從而豐富了完備李代數(shù)的例子， 對進一步研究完備李代數(shù)起到了 重要的 作用 他們 也構造了 一 些完備李 代數(shù)( 如 冪零根基是交換 李代數(shù)或 交換 李代 數(shù)與H e i s e n b e r g 代 數(shù)的 和等 等 ) . 其 次 他們 對 可 解李 代 數(shù)的 研究 表明 可 解完備李代數(shù)是由 一 個冪零李代數(shù)和其上的極大環(huán)面構成的， 證明 了 極大秩的可 解李代 數(shù)是完 備的， 同 時 也存在非 極大秩的

8、可解完備李代數(shù) 【 6 , 3 6 , 5 2 ] . 在 [ 4 3 , 4 4 ] 中 R . C . S t u r s b e r g 據(jù) [ 6 , 3 4 ] 中 的 判 定定 理 亦給出 一種 構造任意維 非極大秩可解完備李代數(shù)的 方法. 若冪零李代數(shù)與它 上面的 極大環(huán)面 之和 是完 備的， 則稱此 冪零李代數(shù)是可完 備化的， 可完 備化的 冪 零李 代數(shù)的 研究 也 取得了 很多 成 果. 例如 二 步(