小度數(shù)Cayley圖的同構(gòu)問題研究.pdf

1、設(shè)S為有限群G的不含單位元1的子集，且S=S<'-1>={s<'-1>│ s ∈S}。群G關(guān)于S的cayley圖Cay(G，S)是一個(gè)以G為頂點(diǎn)集合，以{{g，sg} │g ∈G，s∈S}為邊集合的圖。給定群G的不含單位元1的子集S。如果對于G的任意不含單位元1的子集S，都有Cay(G，S)≌Cay(G，T)當(dāng)且僅當(dāng)S<'α>=T，其中α∈Aut(G)，那么稱S為G的CI-子集，并稱Cay(G，S)為CI-圖。設(shè)m為正整數(shù)，稱群G為m-

2、CI-群，如果G的每個(gè)滿足S-1=S和S≤m的子集S都是CI-子集，而稱群G為弱m-CI-群，如果G的每個(gè)滿足S<'-1>=S和│S│≤m的生成子集S都是CI-子集。特別地，稱│G│-CI-群G為CI-群。Cayley圖的CI性質(zhì)是Cayley圖同構(gòu)研究中的重要問題之一。至今已有許多學(xué)者對這個(gè)問題做了大量的工作．本文工作就是圍繞Cayley圖的CI性質(zhì)展開的。設(shè)p為奇素?cái)?shù)，首先證明了每個(gè)2p<'2>階群都是弱3-CI-群。應(yīng)用該結(jié)果，還

3、給出了2p<'2>階連通3度Cayley圖的分類。其次，設(shè)G為4p階群，S為G的不含單位元1的生成子集且S<'-1>=S，│S│≤3。本文證明了Cayley圖Cay(G，S)是非CI的當(dāng)且僅當(dāng)G={a,b│a<'2p>=b<'2>=1，b<'-1>ab=a<'-1>)，且S<'α>={b,a,a<'-1>}或{b,ba,ba<'-1>}或{b,a<'p>,a<'2>b}，其中α∈Aut(G)。最后，證明廣義四元數(shù)群Q<,4n>=(a，b

4、│a<'2n>=1，b<'2>=a<'n>，b<'-1>ab=a<'-1>)(n≥2)的每個(gè)連通4度Cayley圖同構(gòu)于Cay(Q<,4n>，{a，a<'-1>，b，b<'-1>})或Cay(Q<,4n>,{b,b<'-1>ab，(ab)<'-1>})。進(jìn)一步，當(dāng)n=2時(shí)，這兩個(gè)圖都同構(gòu)于完全二部圖K<,4,4>。當(dāng)n>2時(shí)，這兩個(gè)圖互不同構(gòu)。由于Q<,4n>不能被一個(gè)元素或一個(gè)對合和一個(gè)階大于2的元素生成，所以Q<,4n>是弱4-CI