高階微分方程周期邊值問題解的存在性與多重性.pdf

本文主要研究高階微分方程周期邊值問題解的存在性與多重性.論文分兩章對一類非線性四階周期邊值系統(tǒng)及高階周期邊值問題進行了討論. 在第一章中，主要研究四階周期邊值系統(tǒng)正解的存在性.在文中我們構(gòu)造了一個錐，它是由兩個錐做笛卡爾乘積得到的.在此錐中，我們把微分方程解的問題轉(zhuǎn)化為積分方程的不動點問題，再利用不動點指數(shù)理論得到結(jié)論.在第二章中，主要研究高階周期邊值問題非零解的多重性.通過使用錐中的不動點指數(shù)理論和Leray-Schauder度，在一般的非線性條件下，得到高階周期邊值問題至少有六個不同的非零解.進一步，若非線性項是奇函數(shù)，我們可得到至少八個非零解.就我們所知，對于上述提到的兩類周期邊值問題的研究還很少見，本文對這兩類問題進行了研究，得到了較滿意的結(jié)果，在第一章中，我們主要討論以下四階周期邊值系統(tǒng)：?正解的存在性，其中f<,i>{∈C([0，1]×R<'+>，R<'+>)，h<,i>∈C(R<'+>×R<'+>，R<'+>)，i=1，2，R<'+>=[0，+∞)，α，αβ∈R<'1>且滿足β>-2π<'2>，0<α<(β/2+27π<'2>)<'2>，α/π<'4>+β/π<'2>+1>0. 對非線性項f<,i>，h<,i>，假設(shè)滿足：? 定理1.3.1.設(shè)，f<,i>∈C([0，1]×R<'+>，R<'+>)，h<,i>∈c(R<'+>×R<'+>，R<'+>)，且f<,i>，h<,i>滿足條件(A<,1>)-(A<,4>)，i=1，2，則系統(tǒng)(1.1.1)至少有一個正解. 在第二章中，我們主要討論以下高階周期邊值問題? 其中L<,2m>u(t)=(-1)<'m>u(2m)(t)+∑<'m=1><,k=0>(-1)<'k>a<,k>u(2k)(t)是2m階線性微分算子， f∈C(R，R). 主要結(jié)論如下： 定理2．3．1．如果條件(B<,0>)-(B<,4>)成立，則邊值問題(2.1.1)至少有六個不同的非零解，它們是兩個正解，兩個負解以及兩個變號解，定理2.3.2．如果條件(B<,0>)-(B<,4>)成立，且f是奇函數(shù)，即f(-u)=-f(u)，u∈R，則邊值問題(2.1.1)至少有八個不同的非零解，它們是兩個正解，兩個負解以及四個變號解．