共形傅立葉變換算法的研究.pdf

1、傅立葉變換作為最基本的信號時頻變換工具,其應用幾乎深入到科學和工程技術的各個領域。由于快速傅立葉變換(Fast Fourier Transfrom,FFT)的存在,離散傅立葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)成為傅立葉分析數(shù)字化計算的基礎。然而隨著科學技術的快速發(fā)展和應用要求的不斷提高,逐漸對傳統(tǒng)的一套傅立葉分析方法提出了新的挑戰(zhàn)。如離散傅立葉變換只能計算位置等間隔均勻分布的信號,而現(xiàn)在在有些情況下所采

2、集到的數(shù)據(jù)是非均勻分布的,如螺旋采樣核磁共振成像技術等;有些情況下需要估計分布在有限區(qū)間上的信號的傅立葉變換,如利用傅立葉變換的卷積定理來快速求解物理方程,然而通過離散傅立葉變換計算的速度和精度有時都不夠高;在利用離散傅立葉變換估計信號的頻譜時,采樣點的數(shù)目需要滿足Nyquist采樣定理, Nyquist采樣定理的適用對象是頻帶有限的信號,而實際中會有些情況下會遇到頻帶無限的信號。本文針對計算有限區(qū)間上分段連續(xù)信號傅立葉變換的問題進行了

3、研究,提出了一種高精度快速的計算方法。該方法具有和FFT方法相似的計算復雜度,然而在計算精度和對采樣點數(shù)目的要求上比DFT方法有很大的優(yōu)勢。
　　本文首先分析了Nyqusit采樣定理對有限區(qū)間上分段連續(xù)信號的限制的來源,指出了不低于Nyqusit采樣密度的要求不是來源于信號本身,而是由應用DFT方法時的離散化方式引入的。接下來針對一維問題,通過改變數(shù)值計算的離散化方式和利用高階的數(shù)值方法,提出了估計分布在有限區(qū)間上的分段連續(xù)信號的

4、傅立葉變換的計算方法,由于在計算的過程中考慮了信號不連續(xù)位置的分布情況,稱該方法為一維(1D)共形傅立葉變換算法(conformal Fourier transform,CFT)。1D-CFT方法可以以低于Nyquist采樣定理中的采樣密度高精度的估計出信號的傅立葉變換;同時通過利用Bluestein’s FFT方法,使1D-CFT方法具有和FFT方法相似的計算復雜度。在得到同樣計算精度的情況下,1D-CFT方法所需要的采樣點數(shù)目比FF

5、T方法小很多,而1D-CFT方法的計算復雜度與FFT方法相似,因此,1D-CFT方法的計算效率比FFT方法高很多。通過對數(shù)值算例計算結果的分析進一步驗證和說明了1D-CFT方法的性能。
　　然后,本文研究了高維共形傅立葉變換算法?？紤]到一維方法直接推廣到二維(2D)和三維(3D)情況需要信號分布區(qū)間是矩形和長方體的問題,本文分別采用了三角單元和四面體單元剖分,并對區(qū)域邊界是曲邊和曲面的剖分單元進行曲邊和曲面坐標變換。本文提出的分割

6、方法可以很好的適應任意形狀的二維和三維區(qū)域邊界,因此分別被稱為二維共形傅立葉變換(2D-CFT)和三維共形傅立葉變換(3D-CFT)。在每一個剖分單元上，共形傅立葉變換方法利用高階的插值和數(shù)值積分方法來得到高精度的計算結果,利用非均勻快速傅立葉變換方法使其計算復雜度分別和同維數(shù)的FFT方法相似。通過對數(shù)值算例計算結果的分析進一步驗證和說明了2D-CFT和3D-CFT方法的性能。
　　最后,本文利用前面提出的CFT方法,提出了一種電

7、磁場中體積積分方程的新解法和快速逆多項式重建方法。其中所提出的電磁場中體積積分方程的新解法以穩(wěn)定雙共軛梯度-FFT(BCGS-FFT)方法的思想為基礎,在得到同樣精度的方程解情況下,需要更少的采樣數(shù)據(jù)和更小的計算時間;以同樣多的采樣點和計算時間,可以得到更加精確的解。所提出的方法很容易推廣到其它類似的物理方程的求解中?？焖倌娑囗検街亟ǚ椒ㄊ窃趶V義逆多項式重建方法的基礎上利用1D-CFT和Bluestein’s FFT進行改進得到的。與廣