基于有限幾何的有向強正則圖與結(jié)合方案的構(gòu)作.pdf

1、距離正則圖是代數(shù)組合論研究的主要對象之一，它對應于一類特殊的結(jié)合方案,與有限幾何、組合設(shè)計以及編碼理論等有著密不可分的聯(lián)系.強正則圖作為直徑為2的距離正則圖，更是學者們研究的一個熱點.Duval于1988年將強正則圖概念推廣到了有向強正則圖.2013年，Dam和Omidi引進了強步正則圖這一概念，2015年他們又將此研究推廣到了有向強步正則圖，這使得強正則圖理論的研究更加深入，豐富.
　　本文主要基于有限幾何構(gòu)作了四類有向強正則圖

2、和一類結(jié)合方案，此結(jié)合方案中三個關(guān)系圖的并是所構(gòu)作的第二類有向強正則圖的補圖.本文計算了有向強正則圖的參數(shù)與結(jié)合方案的交叉數(shù)，并得到第一類圖的全自同構(gòu)群和該結(jié)合方案的自同構(gòu)群.
　　首先，利用有限域上秩為1的矩陣構(gòu)作了有向強正則圖Ⅰ.對于q元有限域Fq上任意n級方陣X，令[X]={tX|t∈F*q}，且用X代替[X].定義圖Γ（n，q）是以{X|X∈F(n×n)q，r(X)=1，X2=0}為頂點集的有向圖，對于兩個頂點A，B，A→

3、B當且僅當AB≠0.類似地，定義圖Γ'(n，q)是以{X|X∈F(n×n)q，r(X)=1，X2≠0}為頂點集的有向圖，鄰接關(guān)系定義為A→B當且僅當AB=0.則Γ(n，q)和Γ'（n，q）均為有向強正則圖，我們分別確定了它們的參數(shù)和全自同構(gòu)群.
　　其次，以F q上n-維射影空間中全體s-flats作為點集P，全體m-flats作為區(qū)組集B，其中0≤s＜m＜n，建立一個關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)Τ(s，m;n，q)=（P，B，∈），點與區(qū)組的關(guān)聯(lián)關(guān)

4、系定義為flats之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系.我們利用關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)Τ（s，m;n，q）定義圖Ⅱ.圖Γ(s，m;n，q)是以{(X，Y)∈P×B|X∈Y}為頂點集的有向圖，鄰接關(guān)系定義為(X1，Y1)→(X2，Y2)(≒)(X1，Y1)≠(X2，y2)，X1∈Y2.對于任意一個(s-1)-flat K，定義圖Γ(s，m;n，q，K)為Γ(s，m;n，q)中由{(X，Y)∈VΓ(s，m;n，q)|K(∈)X}誘導所得到的子圖.則Τ(s，m;n，q)是一個1

5、1/2-設(shè)計當且僅當s=0或m=n-1.Γ(0，m;n，q)，Γ（s，n-1;n，q）和Γ(s，m;n，q，K)均為有向強正則圖，且Γ（s，m;n，q，K）的參數(shù)與K的選取無關(guān).
　　然后，利用跡函數(shù)和1-維子空間分別構(gòu)作了有向強正則圖Ⅲ和Ⅳ.
　　最后，利用有限域上n-維向量空間中1-維子空間與2-維子空間的有序?qū)Φ玫搅艘活惤Y(jié)合方案.令Mm為Fq上n-維向量空間中全體m-維子空間構(gòu)成的集合，其中n≥4.設(shè)X={(A，B)|