有限群自動機的研究及其推廣.pdf

1、自動機理論是研究離散數(shù)字系統(tǒng)的功能、結(jié)構及其兩者關系的數(shù)學理論.它旨在研究自動機的分析與綜合問題.隨著現(xiàn)代科學技術的發(fā)展,尤其是計算機科學對基礎理論的要求,自動機理論已成為許多學科的重要理論和應用基礎. 本文簡單介紹了國內(nèi)外學者利用數(shù)學工具對群自動機理論進行研究得到的一些結(jié)果,對有限群自動機的結(jié)構、代數(shù)性質(zhì)和狀態(tài)進行了研究,同時也對有限群自動機的構造和分解進行討論,并且對廣義狀態(tài)機、有限半群自動機和雙有限群自動機作了簡單的介紹.

2、 本文采用了環(huán)論、模論和圖論中的方法來研究有限群自動機,得到了一些結(jié)果.從整體上來看,本文提供了進一步研究有限群自動機的一些思路. 本文內(nèi)容分為三個部分,每個部分為一章. 第一章是引言.這部分簡單介紹了國內(nèi)外學者利用數(shù)學工具對群自動機進行研究的一些內(nèi)容,并給出了有限群自動機的基本概念和記號. 第二章是關于有限群自動機的構造和分解的研究,同時給出了有限群自動機極小性和忠實性的判別法則.主要結(jié)果： 定

3、理2.2.2設是有限群自動機, 且是映射,滿足 ,其中 ,定義如下: ,則是有限群自動機,稱是的串積. 定理2.3.1設是有限群自動機,則是極小的充分必要條件為若 , , 為的單位元,則 . 定理2.3.3 設是雙有限群自動機,則是極小的充分必要條件為對于若分別為的單位元,則 . 定理2.3.5 設是有限群自動機, 是的單位元,則是忠實的充分必要條件為對于 ,若 ,則 . 定理2.3.9 設是雙有

4、限群自動機,則是忠實的充分必要條件為若 ,對于分別為的單位元,則 , . 定理2.4.1設是有限群自動機,且 ,則下列條件彼此等價: (1) 是不可約的. (2) . (3) 是連接的. (4) 不存在真穩(wěn)定子集. 定理2.4.2 設是幺式有限群自動機,且 ,則是不可約的當且僅當都是不可約的. 定理2.4.3 設是有限群自動機, ,則是不可分的充分必要條件為是弱連通的. 定

5、理2.4.4 設是有限群自動機,且 ,則可以分解為一些不可分的有限群自動機的并. 定理2.4.5 設是幺式有限群自動機,則下列條件彼此等價: (1) 是連通的. (2) 是連接的. (3) 是弱連通的. 第三章是關聯(lián)環(huán)和群的單位元在有限群自動機研究中的應用. 主要結(jié)果： 定理3.2.1 設是有限群自動機, 是的單位元,則的充分必要條件為 . 定理3.2.2 設是有限群自動機, 是的

6、單位元,則的充分必要條件為使得 ,且 . 定理3.2.3 設是有限群自動機, 是的單位元,若 ,則定理3.2.4設是有限群自動機, 是的單位元,若則存在使得 . 定理3.2.5設是有限群自動機, 是單位元群,若 ,則或或 ,其中 . 定理3.2.6 設是有限群自動機, , 是的單位元,若 ,則 , . 定理3.2.7 設是有限群自動機, ,若 ,則或或或或或 ,其中 ,且互不相同. 定理3.2.8