2002年--外文翻譯--基于偽逆的反復(fù)學(xué)習(xí)控制（譯文）

1、<p><b>　　中文4500字</b></p><p>　　出處：Ghosh J, Paden B. A pseudoinverse-based iterative learning control[J]. Automatic Control, IEEE Transactions on, 2002, 47(5): 831-837.</p><p>　　基

2、于偽逆的反復(fù)學(xué)習(xí)控制</p><p>　　Jayati Ghosh and Brad Paden</p><p>　　摘要——學(xué)習(xí)控制是用于一固定時(shí)間間隔內(nèi)重復(fù)作用的跟蹤控制的有效方法。本文給出一種反復(fù)學(xué)習(xí)控制算法，適用于一些具有擾動(dòng)和初始誤差的非線性非最小相位對(duì)象。該算法要求對(duì)一線性對(duì)象的近似轉(zhuǎn)換而非精確轉(zhuǎn)換。這種方法的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是不需區(qū)分對(duì)象的輸出。漸進(jìn)軌跡誤差的范圍通過一精確的試驗(yàn)列出

3、，并且可以看到其隨著擾動(dòng)范圍持續(xù)的增大。該控制器的結(jié)構(gòu)是這樣的，其低頻部分的軌跡匯合要比高頻部分快。</p><p>　　索引術(shù)語(yǔ)——反復(fù)學(xué)習(xí)控制，非線性跟蹤，偽逆。</p><p><b>　　I.緒論</b></p><p>　　反復(fù)學(xué)習(xí)控制用到了一類自調(diào)整控制器，其某一特定任務(wù)的系統(tǒng)性能在同一任務(wù)先前性能的基礎(chǔ)上逐漸改善和完美。學(xué)習(xí)控制

4、的最常見應(yīng)用是在工業(yè)生產(chǎn)的機(jī)器人控制領(lǐng)域，這里要求機(jī)器人執(zhí)行一個(gè)單一的任務(wù)，比方說(shuō)反復(fù)在一給定軌跡下取放物體。單獨(dú)一個(gè)反饋控制器時(shí)，相同的軌跡誤差會(huì)一直在反復(fù)的試驗(yàn)中存在。相反，學(xué)習(xí)控制器可以利用前一次執(zhí)行信息來(lái)改進(jìn)下一次軌跡執(zhí)行的性能。而在一些應(yīng)用中，多次重復(fù)一個(gè)軌跡的要求不利于學(xué)習(xí)，所以我們將注意力集中在別的一些場(chǎng)合，那里來(lái)說(shuō)學(xué)習(xí)控制是自然的解決方案。</p><p>　　本文中我們?cè)赱1]提出一種反復(fù)學(xué)習(xí)控

5、制算法的修正以使其適用于帶有輸入擾動(dòng)和輸出傳感噪聲的非線性非最小相位對(duì)象。在章節(jié)II，提出一個(gè)在起始位置描述一偽逆線性裝置的學(xué)習(xí)控制器。在章節(jié)III，舉出仿真例子以展示所提學(xué)習(xí)控制器的性能。最后，章節(jié)IV是全文總結(jié)。</p><p>　　II．具有擾動(dòng)的非線性非最小相位對(duì)象</p><p>　　本節(jié)中，我們?yōu)榉蔷€性系統(tǒng)提出一個(gè)魯棒迭代學(xué)習(xí)算法。我們僅考慮方（相同的輸入和輸出）時(shí)不變非線性系

6、統(tǒng)。</p><p><b>　　A．系統(tǒng)描述</b></p><p>　　來(lái)考察一個(gè)在x = 0時(shí)起始近似穩(wěn)定（也就是說(shuō)線性對(duì)象的所有特征根都在復(fù)平面的左半部分）而且輸入穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)</p><p>　　這里i為ILC的迭代系數(shù)，是輸入順序集合，及，。方程表示系統(tǒng)反復(fù)隨機(jī)的有界擾動(dòng)；它可以是持續(xù)的，非可再生摩擦力，和狀態(tài)獨(dú)立的模型誤差等

7、等。代表傳感器噪聲。所期待的軌跡維持在有限的時(shí)間域。學(xué)習(xí)的目的是構(gòu)建一個(gè)輸入軌跡的順序如，這樣使系統(tǒng)在[0,T]間“盡可能近的”跟蹤軌跡。我們做以下假設(shè)：</p><p>　　(A1)方程是連續(xù)可微的，而是連續(xù)的。</p><p>　　(A2)，這里的是Banach空間的封閉子集。</p><p>　　(A3)系統(tǒng)是第一漸進(jìn)穩(wěn)定和輸入狀態(tài)穩(wěn)定。</p>

8、<p>　　(備注：如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，可以運(yùn)用我們的方法使其穩(wěn)定)。</p><p>　　(A4)擾動(dòng)和分別由bw和bv限制（也就是說(shuō)，且）。</p><p>　　(A5)所期待的軌跡非常接近于軌跡，其滿足以下方程：</p><p>　　針對(duì)該系統(tǒng)，在圖1.B中給出一個(gè)反復(fù)學(xué)習(xí)控制。</p><p>　　B.學(xué)習(xí)控制器的描述<

9、/p><p>　　本節(jié)中，圖1所示的學(xué)習(xí)控制器的一個(gè)好的候選者可以這樣獲得，首先對(duì)對(duì)象進(jìn)行線性化，然后用一個(gè)偽逆的線性裝置作為學(xué)習(xí)控制器。</p><p>　　現(xiàn)代的反復(fù)學(xué)習(xí)控制法則由因式P，線性對(duì)象，其伴隨矩陣和時(shí)域t∈[0,T]組成，也就是：</p><p>　　注意到對(duì)所有的i如果（注意在圖1中，減因子放置在匯合點(diǎn)之前）。</p><p>

10、　　定義：由于非線性系統(tǒng)（1）是輸入狀態(tài)穩(wěn)定（A5）且是連續(xù)的（A1），因此這樣定義一個(gè)因果關(guān)系的非線性輸入到輸出的映射P：。因?yàn)镻是第一狀態(tài)漸近穩(wěn)定的（A5），我們定義一穩(wěn)定時(shí)不變的輸入到輸出線性因式，需要對(duì)系統(tǒng)（1）在內(nèi)線性化：</p><p>　　圖1，非線性學(xué)習(xí)控制系統(tǒng) P：非線性對(duì)象，LC：學(xué)習(xí)控制器，：負(fù)因子</p><p>　　這里，因此，。由于且A為赫茲【在（4）中】，我們

11、可以用代替 而不必改變（4）中定義的輸入輸出（I_O）映射，因此得到的唯一映射是1—1。</p><p>　　定義：考察伴隨系統(tǒng)的I—O映射</p><p>　　由于A是赫茲，－AT 為雙曲線的（也就是，所有的特征值都沒有零實(shí)部），從而（5）式定義了唯一的無(wú)關(guān)聯(lián)映射，如Devasia等給出的（參見附錄）。。伴隨系統(tǒng)滿足.</p><p>　　定義：忽略較高階限制，我

12、們可以在方程（1）的解附近獲得一個(gè)線性對(duì)象：</p><p>　　這里。因?yàn)椋?）是穩(wěn)定的，可以根據(jù)李亞普諾夫方法證明，如果有界那么（6）也是有界輸入輸出穩(wěn)定的。注意，這里我們也可以用代替（如（4）中）而且沒有改變輸入輸出映射。定義。線性穩(wěn)定系統(tǒng)（6）有解并且定義了一個(gè)線性輸入輸出映射：。</p><p>　　定義：由偽逆【4】的觀念啟發(fā)，我們通過下面的線性因子來(lái)定義學(xué)習(xí)控制器：</

13、p><p>　　因?yàn)椋覀儼选敖品崔D(zhuǎn)”稱為的α－偽逆。為簡(jiǎn)單起見，下文把α－偽逆稱為簡(jiǎn)單偽逆。在時(shí)域下用（4）和（5）：</p><p>　　因?yàn)槭欠€(wěn)定的，（8）是具有特征根的雙曲線，因此，【2】中且是無(wú)關(guān)聯(lián)的。在（8）中解，我們可以看到反向算子為：</p><p>　　上面系統(tǒng)的特征根α的連續(xù)函數(shù)。在極限為雙曲線的（因?yàn)锳為赫茲）。從而我們通常對(duì)雙曲線選擇一個(gè)α。系

14、統(tǒng)（9）可以根據(jù)Devasia 等人的穩(wěn)定無(wú)關(guān)解方法解決。因此，</p><p>　　學(xué)習(xí)控制器是偽逆且在時(shí)域中給出:</p><p>　　Ac是對(duì)角塊，因此Ac的特征根是（9）和的特征根。由于是α雙曲線的，因此Ac為雙曲線。從而，及(10)所描述的線性控制器的解可以利用穩(wěn)定無(wú)關(guān)解[2]求得。（使用時(shí)而不是時(shí)的初始條件可以通過控制）。因此跟蹤性能可以根據(jù)假設(shè)和得到改善。</p>

15、;<p><b>　　C．集中分析</b></p><p>　　定義1：我們?yōu)榉匠潭xλ標(biāo)準(zhǔn)：</p><p>　　注意意味著和是等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)。集中結(jié)果可以用任一標(biāo)準(zhǔn)證實(shí)。</p><p><b>　　導(dǎo)致的λ標(biāo)準(zhǔn)：</b></p><p><b>　　定義的傅立葉變換。<

16、;/b></p><p>　　條件1：（也就是說(shuō)，軸上沒有確定或者非確定的零點(diǎn)），遵循。</p><p>　　法則1：如果假設(shè)（A1－A5）和條件1滿足，沒有擾動(dòng)（即且）和初始誤差（），那么算則（3）導(dǎo)出了一個(gè)輸入順序，輸入?yún)R合于。如果，及初始狀態(tài)誤差是有界的（），隨著，匯合于。球的半徑r連續(xù)的取決于擾動(dòng)，和初始誤差界限。如果存在一個(gè)具有的，那么將匯合于期望的輸入解。</p&g

17、t;<p>　　驗(yàn)證：驗(yàn)證依賴于對(duì)輸入順序應(yīng)用不同的收縮映射定理[5]。驗(yàn)證的主要想法是在時(shí)展現(xiàn)出。這表明了極限，，這兒為擾動(dòng)和初始誤差界限的連續(xù)因子。通過以下定義構(gòu)造序列： </p><p>　　為簡(jiǎn)單起見下文用表示?，F(xiàn)在，維持頁(yè)尾所示的從（3）到關(guān)斷器（12）的線性。在[6]后，我們用表示P的分叉，也即滿足</p><p>　　在式（13）中，這樣定義：。從（13）

18、式，我們可以發(fā)現(xiàn)s就是，為表示，我們重寫（12）如下：</p><p><b>　　因?yàn)槭牵?lt;/b></p><p><b>　　這表明，</b></p><p><b>　　如</b></p><p><b>　　限制和：由假設(shè)：</b></p&g

19、t;<p>　　，從而。由（6），我們列寫：</p><p>　　因此，利用三角不等式，及的限制，我們得到</p><p><b>　　。利用</b></p><p>　　Gronwall–Bellman不等式（見）</p><p>　　。用乘式（15），定義且假設(shè)，我們得到：</p><

20、;p>　　注意到對(duì)一常數(shù)，在上較大值，我們有：</p><p>　　和（4）相似，可以證明：</p><p>　　這里為式（4）的輸入。</p><p>　　定義：定義一線性因子，所以：</p><p>　　根據(jù)式（6），因子的輸出為：，且由式（4）因子的輸出為。這表明</p><p>　　因此，利用式（16），

21、（17），及的范圍，我們可以得到：</p><p>　　列出壓縮映射：由式（12），我們可以得到下文頁(yè)底所示的方程。定義。從以下可看到，如果滿足條件1，當(dāng)，那么。當(dāng)選擇足夠小，可以使得任意小。令且，</p><p><b>　?。ǜ盗⑷~變換）</b></p><p>　　如果條件1滿足，那么，這里0。重新考慮式（19），令，因此。注意到：<

22、;/p><p>　　因此，我們可以寫為，（利用式（19）），當(dāng)。隨著的選擇，可以使得任意小。</p><p>　　如果相應(yīng)于的傳遞函數(shù)確實(shí)恰當(dāng)，那么在時(shí)，條件1無(wú)法滿足。那么隨著1，而且，直觀地，輸入序列的高頻部分會(huì)緩慢的匯合。在那種情況下，學(xué)習(xí)控制器得以以下方式加以修正：</p><p>　　不是把當(dāng)作學(xué)習(xí)因子，而是把當(dāng)作修正后的學(xué)習(xí)控制器，這里可以通過對(duì)加入一個(gè)前饋

23、期獲得。因此，可以根據(jù)修正式（4）給出如下：</p><p>　　這里。修正后的因子滿足條件1并且集總分析可以在足夠小時(shí)以相同的方式進(jìn)行。從式（19）代人限制條件，且將式（19）乘以我們可以在上取大列寫式（19）的型如下：</p><p>　　這里為初始狀態(tài)誤差的標(biāo)準(zhǔn)范圍。和分別為輸入及輸出擾動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)范圍。由于，當(dāng)足夠小，我們可以發(fā)現(xiàn)，這使得。因此，得到：。這里包括了控制器的初始狀態(tài)誤差和

24、擾動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)范圍。因此，極限，即，如，這里為收縮映射的固定點(diǎn)，且為半徑，球心為的開球體。如果沒有擾動(dòng)和初始誤差，，從而匯合于。如果如，收縮映射的固定點(diǎn)表示為沒有和初始誤差的。如果且。這表明學(xué)習(xí)控制器的輸出為0。因此，</p><p>　　收縮一旦得以證實(shí)，可以看出（如前定義）也是從空間（）的封閉子空間到其自身的映射。因此，為收縮映射。為說(shuō)明這個(gè)，來(lái)考察一期望軌跡。從式（2），因，。在式（12）中，如果考慮那么，由于

25、（這里），是從附近一封閉球到其自身的收縮映射。注意，附近球的尺寸必須足夠小這樣式（14）也得到滿足。因此，如果初始軌跡位于附近，對(duì)所有的從其附近到其本身構(gòu)成映射。不失一般性，我們考慮另一對(duì)及（如（2）所給）。從連續(xù)性來(lái)說(shuō)，盡管充分接近，也從其附近到其本身構(gòu)成映射。這便是的動(dòng)機(jī)。</p><p><b>　　仿真結(jié)果</b></p><p>　　具有輸入擾動(dòng)的仿真結(jié)果&

26、lt;/p><p>　　本節(jié)中，我們展示一個(gè)單輸入單輸出非線性非最小相位對(duì)象P的仿真研究，其起始漸進(jìn)穩(wěn)定，輸入狀態(tài)穩(wěn)定，具有以下描述的輸入擾動(dòng)：</p><p>　　首先，我們考慮沒有輸出擾動(dòng)。這樣給出參考輸出軌跡：</p><p><b>　　其他。</b></p><p>　　通過線性化系統(tǒng)（21）這樣定義：</p

27、><p>　　由于線性控制器是非穩(wěn)定的，我們應(yīng)用穩(wěn)定無(wú)關(guān)解方式[2]。我們引入作為有界的輸入擾動(dòng)。通常為限制于間的隨機(jī)數(shù)。仿真[圖2（a）和（b）]展示了兩個(gè)反復(fù)后期望輸出的近似完美的跟蹤。注意高頻部分緩慢匯合所引起的余差。</p><p>　　具有輸入輸出擾動(dòng)的仿真結(jié)果</p><p>　　現(xiàn)在，我們引入作為（21）所給的相同非線性系統(tǒng)的隨機(jī)有界輸出擾動(dòng)。同時(shí)存在先前

28、引入的輸入擾動(dòng)。仿真圖[圖3]展示了三次反復(fù)后期望輸出軌跡的良好跟蹤。</p><p><b>　　討論</b></p><p>　　這里的ILC方案比[1]中給出的多了一些優(yōu)點(diǎn)。在[1]中，線性對(duì)象的逆被當(dāng)做學(xué)習(xí)因子。這使得用輸出的分叉顛倒系統(tǒng)成為必要。實(shí)際上，在具有輸出傳感噪聲時(shí)分叉無(wú)法可靠的計(jì)算。進(jìn)一步說(shuō)，對(duì)象本身會(huì)產(chǎn)生一個(gè)不可區(qū)分的輸出信號(hào)。然而，這種新的學(xué)習(xí)

29、算法中，不需要在每一反復(fù)用輸出分叉計(jì)算系統(tǒng)輸入的更新條件。（注意必須非零）。</p><p>　　圖4（a）和(b)給出了線性對(duì)象的頻率響應(yīng)，它的精確逆和偽逆（具備）。在我們先前的方案[1]中，學(xué)習(xí)因子具有如圖4(b)所示的高頻下的高增益。因此，高頻噪聲被學(xué)習(xí)因子放大。從圖4（b）中我們可以看到的頻率響應(yīng)在低頻時(shí)具有和相似的表現(xiàn)，但在高頻時(shí)偏離，證明了其低通本性。從而高頻傳感噪聲被濾除掉了。精確逆和偽逆的相位響應(yīng)

30、是相同的（看圖4（b））。注意是一個(gè)零相位濾波器。幾個(gè)反復(fù)后，可以達(dá)到低頻部分的良好跟蹤，同時(shí)輸出誤差信號(hào)的高頻部分更緩慢地匯合。這種行為可以由圖2（a）和(b)得到證實(shí)，圖中我們可以看到低頻誤差在起初幾個(gè)反復(fù)內(nèi)匯合于零，而高頻誤差使大量的反復(fù)衰減。</p><p>　　在[7]中，比例因子為數(shù)量級(jí)微克，而且本文中質(zhì)量為一算子（不必因果關(guān)系的），通過偽逆的調(diào)整給出。有趣的是，兩個(gè)方案中學(xué)習(xí)控制器的相位等于對(duì)象相位

31、的相反數(shù)。我們的論文建立于早期的工作，因?yàn)樗阕臃萘吭谝粠拑?nèi)導(dǎo)致了對(duì)象的逆，而且你可以期待在那頻帶內(nèi)快速匯合。更甚者，如果多變量對(duì)象在其最小和最大奇異值間具有明顯的散布，偽逆自動(dòng)地在對(duì)象不同的空間方向測(cè)量學(xué)習(xí)控制器的增益。Furuta和Yamakita的三角修正急速升降方法[7]具有和偽逆學(xué)習(xí)控制器相同的高頻復(fù)制特性。并且，我們發(fā)現(xiàn)在機(jī)器人反饋控制系統(tǒng)中應(yīng)用傳遞函數(shù)的倒像去設(shè)計(jì)控制器，而在需要時(shí)切斷學(xué)習(xí)。</p><

32、p>　　圖2。具有輸入擾動(dòng)的非線性非最小相位系統(tǒng)的跟蹤（a）三次反復(fù)后（b）10次反復(fù)后</p><p><b>　　總結(jié)</b></p><p>　　圖3。具有輸入輸出擾動(dòng)非線性非最小相位系統(tǒng)三次反復(fù)后的跟蹤，為實(shí)際（非測(cè)量）輸出。</p><p>　　本文提出的學(xué)習(xí)算法在一些相當(dāng)一般的假設(shè)前提下確保了學(xué)習(xí)。理論的判斷偽仿真結(jié)果所證實(shí)，

33、證明了在隨機(jī)有界的擾動(dòng)情況下跟蹤誤差一律是有界的。這種方案的主要優(yōu)點(diǎn)是我們可以從學(xué)習(xí)更新法則中消除差分因子，這使我們可以研究一些更一般化的非線性對(duì)象。該學(xué)習(xí)算法可以通過應(yīng)用Coppel[10]方法輕易的加到緩慢時(shí)變對(duì)象中。學(xué)習(xí)算法應(yīng)用于帶非模型動(dòng)力學(xué)的線性對(duì)象中[11]，在將來(lái)擴(kuò)展到時(shí)變對(duì)象中。</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　A．非最小

34、相位系統(tǒng)的邊緣價(jià)值問題</p><p>　　一個(gè)非線性非最小相位系統(tǒng)可以看作是到或者是從到的映射。在第一種情形中逆映射是沒有限制的，而第二種情形是有限制但非關(guān)聯(lián)的。正是第二種觀點(diǎn)給予了跟蹤控制問題的恰當(dāng)看法，因?yàn)榍梆伈恍枰性虻挠?jì)算傳感輸出。</p><p>　　如果一個(gè)具有拋物線零點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的非線性系統(tǒng)是非最小相位系統(tǒng)，線性化對(duì)象的逆是不穩(wěn)定的。因此我們用線性化對(duì)象的穩(wěn)定無(wú)關(guān)逆去獲得針對(duì)

35、章節(jié)中描述的ILC方案的學(xué)習(xí)控制器。解決這個(gè)問題的關(guān)鍵部分是尋找一個(gè)在滿足邊界條件的解。從而，對(duì)線性學(xué)習(xí)控制器來(lái)說(shuō)，問題歸結(jié)為解：</p><p>　　這里我們假設(shè)A沒有軸上的特征根并且，不失一般性，假設(shè)A是對(duì)角矩陣：</p><p>　　，這里和均為赫茲。這可以通過代人（22）易證（用1（t）代表單位階躍函數(shù)），有界狀態(tài)過渡矩陣定義為，且（22）的解滿足邊界條件，具有形式。定義映射，就如