金融數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)---股價(jià)二叉樹模型的生成

1、<p><b>　　金融數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)</b></p><p>　　題 目: 股價(jià)二叉樹模型的生成 </p><p>　　學(xué) 院： 理學(xué)院 </p><p>　　班 級(jí)： 數(shù)學(xué)04-1班 </p><p>　　學(xué) 生 姓 名：

2、 </p><p>　　學(xué) 生 學(xué) 號(hào)： </p><p>　　指 導(dǎo) 教 師： </p><p>　　2007年 7月 1日</p><p><b>　　課程設(shè)計(jì)任務(wù)書</b></p><p><b>

3、　　摘要</b></p><p>　　二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向，且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi)，股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。</p><p>　　隨著要考慮的價(jià)格變動(dòng)數(shù)目的增加，二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的分布函數(shù)就越來越趨向于正態(tài)分布，二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型和布萊克-休爾斯期權(quán)定價(jià)模型相一致。二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型的優(yōu)點(diǎn)，是簡(jiǎn)化了期權(quán)定價(jià)的計(jì)算并增加了直觀性&

4、lt;/p><p>　　應(yīng)用Excel表格計(jì)算，不僅方便大量數(shù)據(jù)的計(jì)算，而且直觀、簡(jiǎn)單、易懂，對(duì)于金融市場(chǎng)起著較重要的作用。</p><p>　　根據(jù)一組泰亞股份數(shù)據(jù)計(jì)算出上漲因子u和下跌因子的d，利用Excel表單生成股價(jià)，計(jì)算出二叉樹各節(jié)點(diǎn)的值，畫出最終股價(jià)二叉樹圖 </p><p>　　關(guān)鍵詞 二叉樹模型 二叉樹圖 表單</p>&l

5、t;p><b>　　目錄</b></p><p>　　摘要錯(cuò)誤！未定義書簽。錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p><b>　　題目2</b></p><p>　　一 基本理論錯(cuò)誤！未定義書簽。</p><p><b>　　二 問題描述5</b></p>

6、<p><b>　　三 問題分析6</b></p><p><b>　　四 求解計(jì)算6</b></p><p><b>　　五 結(jié)論9</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)10</b></p><p><b>　　生成

7、股價(jià)二叉樹</b></p><p><b>　　一 基本理論</b></p><p>　　期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向，且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi)，股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出正股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的

8、權(quán)證價(jià)格。對(duì)于美式權(quán)證，由于可以提前行權(quán)，每一節(jié)點(diǎn)上權(quán)證的理論價(jià)格應(yīng)為權(quán)證行權(quán)收益和貼現(xiàn)計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格兩者較大者。</p><p>　　二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上，即在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，證券的價(jià)格運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設(shè)非常簡(jiǎn)單，但由于可以把一個(gè)給定的時(shí)間段細(xì)分為更小的時(shí)間單位，因而二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型適用于處理更為復(fù)雜的期權(quán)。</p><p>　　

9、假定到期且只有兩種可能，在T分為狠多小的時(shí)間間隔Δt，而在每一個(gè)Δt，股票價(jià)格變化由S到Su或Sd。如果價(jià)格上揚(yáng)概率為p，那么下跌的概率為1-p。</p><p>　　一般來說，二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型的基本假設(shè)是在每一時(shí)期股價(jià)的變動(dòng)方向只有兩個(gè)，即上升或下降。BOPM的定價(jià)依據(jù)是在期權(quán)在第一次買進(jìn)時(shí)，能建立起一個(gè)零風(fēng)險(xiǎn)套頭交易，或者說可以使用一個(gè)證券組合來模擬期權(quán)的價(jià)值，該證券組合在沒有套利機(jī)會(huì)時(shí)應(yīng)等于買權(quán)的價(jià)格；反之

10、，如果存在套利機(jī)會(huì)，投資者則可以買兩種產(chǎn)品種價(jià)格便宜者，賣出價(jià)格較高者，從而獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益，當(dāng)然這種套利機(jī)會(huì)只會(huì)在極短的時(shí)間里存在。這一 證券組合的主要功能是給出了買權(quán)的定價(jià)方法。與期貨不同的是，期貨的套頭交易一旦建立就不用改變，而期權(quán)的套頭交易則需不斷調(diào)整，直至期權(quán)到期。</p><p>　　二叉樹模型的期權(quán)定價(jià)方法，采用無套利（no arbitrage）假設(shè)，由前向后（backward）逐步計(jì)算期權(quán)價(jià)值，&l

11、t;/p><p>　　二叉樹期權(quán)定價(jià)模型 </p><p>　　期權(quán)定價(jià)模型基于對(duì)沖證券組合的思想。投資者可建立期權(quán)與其標(biāo)的股票的組合來保證確定報(bào)酬。在均衡時(shí)，此確定報(bào)酬必須得到無風(fēng)險(xiǎn)利率。期權(quán)的這一定價(jià)思想與無套利定價(jià)的思想是一致的。所謂無套利定價(jià)就是說任何零投入的投資只能得到零回報(bào)，任何非零投入的投資，只能得到與該項(xiàng)投資的風(fēng)險(xiǎn)所對(duì)應(yīng)的平均回報(bào)，而不能獲得超額回報(bào)（超過與風(fēng)險(xiǎn)相當(dāng)?shù)膱?bào)酬的利潤(rùn)

12、）。從Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的推導(dǎo)中，不難看出期權(quán)定價(jià)本質(zhì)上就是無套利定價(jià)。</p><p>　　1979年，科克斯（Cox）、羅斯（Ross)和盧賓斯坦（Rubinsetein）的論文《期權(quán)定價(jià)：一種簡(jiǎn)化方法》提出了二項(xiàng)式模型（Binomial Model），該模型建立了期權(quán)定價(jià)數(shù)值法的基礎(chǔ)，解決了美式期權(quán)定價(jià)的問題。</p><p>　　二項(xiàng)式模型的假設(shè)主要有：<

13、/p><p><b>　　不支付股票紅利。</b></p><p>　　交易成本與稅收為零。 </p><p>　　投資者可以以無風(fēng)險(xiǎn)利率拆入或拆出資金。 </p><p>　　市場(chǎng)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)。 </p><p>　　股票的波動(dòng)率為常數(shù)。</p><p>　　假設(shè)在任何一

14、個(gè)給定時(shí)間，金融資產(chǎn)的價(jià)格以事先規(guī)定的比例上升或下降。如果資產(chǎn)價(jià)格在時(shí)間ｔ的價(jià)格為Ｓ，它可能在時(shí)間t+△t上升至或下降至。假定對(duì)應(yīng)資產(chǎn)價(jià)格上升至，期權(quán)價(jià)格也上升至U，如果對(duì)應(yīng)資產(chǎn)價(jià)格下降至，期權(quán)價(jià)格也降至D。當(dāng)金融資產(chǎn)只可能達(dá)到這兩種價(jià)格時(shí)，這一順序稱為二項(xiàng)程序。</p><p><b>　　漂移率u和d</b></p><p>　　上漲因子

15、 </p><p>　　下跌因子 </p><p>　　波動(dòng)率 </p><p>　　由Black-Scholes方程告訴我們：可以假定市場(chǎng)為風(fēng)險(xiǎn)中性。即股票預(yù)期收益率μ等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，故</p><p>　　又因股票價(jià)格變化符合布朗運(yùn)動(dòng)，從而<

16、;/p><p>　　其中，u，是常量，B服從布朗運(yùn)動(dòng)</p><p><b>　　利用，</b></p><p>　　又因?yàn)楣蓛r(jià)的上漲和下跌滿足 </p><p>　　在相等的充分小的Δt時(shí)段內(nèi)，無論開始時(shí)股票價(jià)格如何。u，d和p都是常數(shù)。（即只與Δt，σ，r有關(guān)，而與S無關(guān)）。</p><

17、p>　　股票期權(quán)還可分為限制性股票期權(quán)、合格的股票期權(quán)、不合格的股票期權(quán)和激勵(lì)性股票期權(quán)四種類型。限制性股票期權(quán)一般是公司以獎(jiǎng)勵(lì)的形式直接向經(jīng)營(yíng)者贈(zèng)送股份，而經(jīng)營(yíng)者并不需要向公司支付什么，其限制條件在于當(dāng)行權(quán)者在獎(jiǎng)勵(lì)規(guī)定的時(shí)限到期前離開公司，公司將會(huì)收回這些獎(jiǎng)勵(lì)股份。合格的股票期權(quán)一般享有稅收方面的優(yōu)惠，當(dāng)行權(quán)者以低于市場(chǎng)價(jià)的價(jià)格購買公司股票時(shí)，他不需要對(duì)差價(jià)部份所享有的利益交稅;當(dāng)行權(quán)者出售股票時(shí)，他所獲取的“超額利潤(rùn)”(購買價(jià)

18、與市場(chǎng)價(jià)之差加上因股票升值所獲利之和)只需按長(zhǎng)期資本收益交稅，而在歐美這種稅率最高不超過20%。不合格的股票期權(quán)與合格的股票期權(quán)的區(qū)別在于，它要對(duì)購買價(jià)與市場(chǎng)價(jià)之差的部分在當(dāng)期按當(dāng)時(shí)稅率繳納所得稅。激勵(lì)性股票期權(quán)是為了向經(jīng)營(yíng)者提供激勵(lì)，其形式不僅有著多樣性，而且支付和行權(quán)方式也因企業(yè)不同而不同。但它一般具有稅收優(yōu)惠的特點(diǎn)，從而與合格的股票期權(quán)有某些相似性。</p><p>　　股票期權(quán)的操作方式是：交易的買方與賣

19、方經(jīng)商議之后，以支付一筆約定的保證金為代價(jià)，取得在一定期限內(nèi)按協(xié)議價(jià)格（公平市場(chǎng)價(jià)值，即簽約當(dāng)天的股票價(jià)格）購買或出售一定數(shù)量股票的權(quán)利，超過期限，買賣雙方的合同義務(wù)自動(dòng)解除。</p><p>　　股票期權(quán)行市中的變量包括：買進(jìn)或賣出股票的協(xié)定價(jià)格、期限長(zhǎng)短、期權(quán)費(fèi)高低。</p><p>　　協(xié)定價(jià)格與現(xiàn)貨價(jià)差密切相關(guān)：正差越大，期權(quán)費(fèi)越低；負(fù)差越大，期權(quán)費(fèi)越高。期限與期權(quán)費(fèi)的高低也相關(guān)，

20、期限越長(zhǎng)，期權(quán)費(fèi)越高。</p><p>　　上漲因子u和下跌因子d相等時(shí)的股票價(jià)格的二叉樹壓縮圖</p><p>　　二叉樹定價(jià)模型的基本出發(fā)點(diǎn)：</p><p>　　假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格的運(yùn)動(dòng)是由大量的小幅度二值運(yùn)動(dòng)構(gòu)成，用離散的隨機(jī)游走模型模擬資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)運(yùn)動(dòng)可能遵循的路徑。</p><p>　　二叉樹定價(jià)模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)法的內(nèi)在一致性：&l

21、t;/p><p>　　二叉樹模型與風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理相一致，即模型中的收益率和貼現(xiàn)率均為無風(fēng)險(xiǎn)收益率，資產(chǎn)價(jià)格向上運(yùn)動(dòng)和向下運(yùn)動(dòng)的實(shí)際概率并沒有進(jìn)入二叉樹模型，模型中隱含導(dǎo)出的概率Ｐ是風(fēng)險(xiǎn)中性世界中的概率，從而為期權(quán)定價(jià)。</p><p><b>　　二 問題描述</b></p><p>　　以下是泰亞股份2007年6月11日到6月21日的收盤價(jià)格&

22、lt;/p><p>　　根據(jù)這些數(shù)據(jù)求上漲因子u和下跌因子d，在選取某一日的收盤價(jià)作為初始值，計(jì)算股價(jià)二叉樹。</p><p><b>　　三 問題分析</b></p><p><b>　　表1</b></p><p>　　(6月15日的價(jià)格)</p><p>　　根據(jù)股票數(shù)據(jù)得

23、到的描述性統(tǒng)計(jì)量建立Excel表格得到股票二叉樹模型在期權(quán)中的定價(jià)表：</p><p><b>　　四 求解計(jì)算　</b></p><p>　　求出節(jié)點(diǎn)價(jià)格的實(shí)際過程是很繁瑣的，在減少這些步驟方面，我們使用表單來計(jì)算。</p><p><b>　　表2 空白表單</b></p><p>　　第一步，

24、在H1單元格中輸入值11.24，（用鼠標(biāo)選中單元格，輸入11.24，然后按回車鍵）在敲回車鍵以后，數(shù)值才會(huì)出現(xiàn)在單元格H1中。</p><p>　　在H1下面做一個(gè)二叉樹分支。二叉樹接下來的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)是G2和I2，為生成G2值，選中G2，并輸入</p><p><b>　　=.987*H1</b></p><p>　　在按回車鍵以后，在單元格G2

25、中就會(huì)出現(xiàn)一個(gè)數(shù)值11.09388.表單會(huì)將公式保留在單元格G2中</p><p>　　將表單保存為“股價(jià)樹”。我們生成的公式包含了數(shù)值d=0.987.假定d值總是輸在單元格A6中，在A6中輸入.987 ，并在單元格B6中將其標(biāo)記為d值，可以提醒我們參數(shù)d是放在那里的。我們可以對(duì)最初的股價(jià)用同樣的辦法進(jìn)行輸入，在A1中輸入11.24，并在單元格B1中標(biāo)記為股價(jià)</p><p>　　為了利益

26、A 欄的值，將單元格H1改成簡(jiǎn)單公式，=A1. 同時(shí)將單元格I2改成=A1*A6. 如果式中的部分?jǐn)?shù)值不變，我們改變股價(jià)或d值得任何一個(gè)，G欄和H欄都會(huì)相應(yīng)的改變。就會(huì)形成表3</p><p>　　表3 有6個(gè)輸入值的表單</p><p>　　這樣我們?cè)趶?fù)制粘貼該表單元格的時(shí)候不改變A6的位置，下一步選中單元格G2并點(diǎn)復(fù)制鍵復(fù)制公式。在選中新的單元格B3，將公式粘貼上去，回車后在F3中出

27、現(xiàn)10.9574253. 繼續(xù)將這個(gè)初始公式貼在單元格E4，D5和C6中去，位置都處在前一個(gè)單元格的左行和下列，這樣股價(jià)二叉樹的一支就填好了，并且該分支可以隨d值和股價(jià)初值的改變而改變。</p><p>　　表4 單支股價(jià)二叉樹</p><p>　　我們可以可以通過u值，完成對(duì)其余節(jié)點(diǎn)的輸入，假定u值在A5單元格，并在B5中標(biāo)記為“u值”</p><p>　　在A5

28、單元格中輸入值u值，1.017. 接下來，選中二叉樹初始點(diǎn)右下方的節(jié)點(diǎn)I2，輸入公式=H1*A5， 按回車鍵得到下表單。</p><p>　　表5 u分支開始后的表單</p><p>　　選中I2生成的公式并點(diǎn)復(fù)制鍵。依次在有輸入值的單元格的右下方粘貼該公式。如果從H3，I4，這樣粘貼下去，就可以得到序列11.28276,11.72781。繼續(xù)此法將整個(gè)二叉樹填完整。填完后的二叉樹如下表

29、。</p><p>　　表6 最后得到的二叉樹表單</p><p><b>　　11.82</b></p><p><b>　　11.62</b></p><p>　　11.43 11.47</p><

30、;p><b>　　11.28</b></p><p>　　11.24 11.14 </p><p>　　11.09 </p><p><b>　　10.82</b>

31、</p><p>　　10.67 </p><p><b>　　最終的股價(jià)二叉樹圖</b></p><p><b>　　五 結(jié)論</b></p><p>　　通過二叉樹，可以通過所給數(shù)據(jù)算出描述性統(tǒng)計(jì)量，從而根據(jù)公式求出u,d,再應(yīng)用表單計(jì)算股價(jià)二叉樹，二叉樹模型是衍生品定價(jià)用途比較廣泛的

32、一種模型，金融數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到用二叉樹模型。</p><p>　　二項(xiàng)期權(quán)定價(jià)模型假設(shè)股價(jià)波動(dòng)只有向上和向下兩個(gè)方向，且假設(shè)在整個(gè)考察期內(nèi)，股價(jià)每次向上(或向下)波動(dòng)的概率和幅度不變。模型將考察的存續(xù)期分為若干階段，根據(jù)股價(jià)的歷史波動(dòng)率模擬出正股在整個(gè)存續(xù)期內(nèi)所有可能的發(fā)展路徑，并對(duì)每一路徑上的每一節(jié)點(diǎn)計(jì)算權(quán)證行權(quán)收益和用貼現(xiàn)法計(jì)算出的權(quán)證價(jià)格。</p><p>　　應(yīng)用Excel表格計(jì)算，

33、不僅方便大量數(shù)據(jù)的計(jì)算，而且直觀、簡(jiǎn)單、易懂，對(duì)于金融市場(chǎng)起著較重要的作用。通過表單進(jìn)而畫出表單股票二叉樹圖以及表單期權(quán)二叉樹圖。</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　《金融數(shù)學(xué)》 機(jī)械工業(yè)出版社 蔡名超 譯</p><p>　　《Excel在金融模型分析中的應(yīng)用》