北京交通大學(xué)(數(shù)字分析研究生課程)5數(shù)值積分與數(shù)值微分

1、<p>　　第5章 數(shù)值積分與數(shù)值微分方法</p><p><b>　　1 基本概念</b></p><p><b>　　梯形公式</b></p><p><b>　　中矩形公式</b></p><p>　　則上式為一個數(shù)值求積公式.</p><

2、;p>　　稱為求積系數(shù)，稱為求積節(jié)點(diǎn);而稱</p><p>　　為求積余項(xiàng)或求積公式的截斷誤差。</p><p>　　從定義可以看到，數(shù)值求積公式依賴于求積節(jié)點(diǎn)個數(shù)n、求積節(jié)點(diǎn)和求積系數(shù)，這三個量有一個發(fā)生變化，則產(chǎn)生不同的求積公式.</p><p>　　定義1 若求積公式對于次數(shù)不超過的多項(xiàng)式準(zhǔn)確成立，而對于次多項(xiàng)式不準(zhǔn)確成立，則稱該求積公式具有次代數(shù)精度為

3、.</p><p>　　一般，一個求積公式的代數(shù)精度越大，則該求積公式越好.</p><p><b>　　確定代數(shù)精度的方法</b></p><p><b>　　依次取代入公式</b></p><p><b>　　并驗(yàn)證是否成立.</b></p><p>

4、;　　若第一個使不成立的值為，則對應(yīng)的代數(shù)精度為.</p><p><b>　　例1確定求積公式</b></p><p><b>　　的代數(shù)精度.</b></p><p>　　解 取代入求積公式有</p><p><b>　　易驗(yàn)證</b></p><p&g

5、t;　　，但，故本題求積公式代數(shù)精度為3.</p><p>　　例 2確定下面求積公式</p><p>　　的參數(shù)A，B，C，使它具有盡可能高的代數(shù)精度，并指出相應(yīng)的代數(shù)精度.</p><p>　　解 本題要先求出具體的求積公式，然后再判斷所求公式的代數(shù)精度。</p><p>　　公式有3個待定參數(shù)，故利用3個條件得到的3個等式關(guān)系就可以解決

6、求出具體求積公式的問題.</p><p>　　依次取代入求積公式并取等號，有</p><p><b>　　解之得</b></p><p><b>　　故所求的求積公式為</b></p><p>　　為確定其代數(shù)精度，再取代入求出的公式繼續(xù)計(jì)算，有，故所求的求積公式具有二次代數(shù)精度.</p>

7、;<p><b>　　插值型求積公式</b></p><p>　　考慮 關(guān)于個節(jié)點(diǎn) 的Lagrange插值多項(xiàng)式 與 的余項(xiàng)，有</p><p><b>　　這里 </b></p><p><b>　　兩邊取積分,有</b></p><p><b>　　

8、記</b></p><p><b>　　則有</b></p><p><b>　　若舍去，得求積公式</b></p><p>　　(求積系數(shù))該公式是插值型求積公式。</p><p>　　插值型求積公式的求積余項(xiàng)</p><p>　　當(dāng)為次數(shù)不超過次的多項(xiàng)式時，有

9、 ，對應(yīng)的. 因此個節(jié)點(diǎn)的插值型求積公式的代數(shù)精度至少為</p><p><b>　　若求積公式</b></p><p>　　的代數(shù)精度至少是，則該公式是插值型求積公式.</p><p>　　2. Newton-Cotes求積公式</p><p>　　點(diǎn)的Newton-Cotes公式</p><p&g

10、t;　　將求積節(jié)點(diǎn) 取為[a,b]上的等距節(jié)點(diǎn)</p><p><b>　　做積分變量變換 有</b></p><p><b>　　記</b></p><p>　　稱為Cotes系數(shù).求積公式</p><p>　　稱為Newton-Cotes求積公式.</p><p><

11、;b>　　易驗(yàn)證</b></p><p>　　2 點(diǎn)的Newton-Cotes公式</p><p>　　這正是我們熟悉的梯形公式.</p><p>　　3點(diǎn)的Newton-Cotes公式為</p><p>　　稱它為Simpson公式.</p><p>　　例1 試分別用梯形公式和Simpson公式計(jì)

12、算</p><p>　　解 用梯形公式計(jì)算，有</p><p>　　用Simpson公式計(jì)算，有</p><p>　　梯形公式與Simpson公式的余項(xiàng)</p><p><b>　　梯形公式余項(xiàng)為</b></p><p>　　利用積分中值定理可有</p><p><

13、b>　　梯形公式余項(xiàng)</b></p><p>　　Simpson公式的余項(xiàng)</p><p><b>　　部分Cotes系數(shù)</b></p><p>　　當(dāng)較大時Cotes系數(shù)會出現(xiàn)負(fù)數(shù)，此時Newton-Cotes不具有數(shù)值穩(wěn)定性，因而一般不用較大的Newton-Cotes公式來做計(jì)算.</p><p>

14、;<b>　　3 復(fù)化求積公式</b></p><p><b>　　1）復(fù)化梯形公式</b></p><p>　　取等距節(jié)點(diǎn) 將積分區(qū)間[a,b] n等分,在每個小區(qū)間 上用梯形公式做近似計(jì)算，就有</p><p>　　得求積公式---復(fù)化梯形公式</p><p><b>　　復(fù)化梯形公式

15、的余項(xiàng)</b></p><p><b>　　記</b></p><p>　　故復(fù)化梯形公式的求積余項(xiàng)</p><p>　　2) 復(fù)化Simpson公式</p><p>　　取等距節(jié)點(diǎn) 將積分區(qū)間[a,b] n等分,在每個小區(qū)間 上用Simpson公式做近似計(jì)算，再累加起來就有</p><p

16、>　　式中 ，得復(fù)化Simpson公式</p><p>　　復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)</p><p><b>　　記</b></p><p>　　有復(fù)化Simpson公式的求積余項(xiàng)</p><p>　　例1 分別用復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式計(jì)算</p><p>　　，要求誤差不

17、超過 .</p><p>　　解 數(shù)值計(jì)算結(jié)果列表，其中 代表求積余項(xiàng).</p><p>　　本題積分的準(zhǔn)確值為 ，可見復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式能求出精度較高的解。</p><p>　　例2 考慮用復(fù)化Simpson公式計(jì)算</p><p>　　要使誤差小于 ，那么求積區(qū)間[0,1]應(yīng)分成多少個子區(qū)間？以此計(jì)算積分近似值。<

18、;/p><p>　　解 復(fù)化Simpson公式的求積余項(xiàng)為</p><p><b>　　式中 .</b></p><p>　　為估計(jì)誤差，要計(jì)算 。</p><p><b>　　注意到，故</b></p><p><b>　　由此得</b></p>