最新電大經(jīng)濟數(shù)學基礎期末小抄版

1、<p><b>　　經(jīng)濟數(shù)學基礎</b></p><p>　　第一部分　 微分學</p><p><b>　　一、單項選擇題</b></p><p>　　1．函數(shù)的定義域是（ 且）</p><p>　　2．若函數(shù)的定義域是[0，1]，則函數(shù)的定義域是( )．</p>

2、<p>　　3．下列各函數(shù)對中，（ ，）中的兩個函數(shù)相等． </p><p>　　4．設，則=（）．</p><p>　　5．下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）．</p><p>　　6．下列函數(shù)中，（不是基本初等函數(shù)．</p><p>　　7．下列結(jié)論中，（奇函數(shù)的圖形關(guān)于坐標原點對稱）是正確的． </p>

3、;<p>　　8. 當時，下列變量中（ ）是無窮大量．</p><p>　　9. 已知，當（ ）時，為無窮小量.</p><p>　　10．函數(shù) 在x = 0處連續(xù)，則k = (1)．</p><p>　　11. 函數(shù) 在x = 0處（右連續(xù) ）．</p><p>　　12．曲線在點（0, 1）處的切線斜率為（ ）． <

4、;/p><p>　　13. 曲線在點(0, 0)處的切線方程為（y = x ）．</p><p>　　14．若函數(shù)，則=（ ）．</p><p>　　15．若，則（ ）．</p><p>　　16．下列函數(shù)在指定區(qū)間上單調(diào)增加的是（e x）．</p><p>　　17．下列結(jié)論正確的有（x0是f (x)的極值點）．<

5、;/p><p>　　18. 設需求量q對價格p的函數(shù)為，則需求彈性為Ep=（ ）． </p><p><b>　　二、填空題</b></p><p>　　1．函數(shù)的定義域是[-5，2]</p><p>　　2．函數(shù)的定義域是(-5, 2 )</p><p><b>　　3．若函數(shù)，則

6、</b></p><p><b>　　4．設函數(shù)，，則</b></p><p>　　5．設，則函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱．</p><p>　　6．已知生產(chǎn)某種產(chǎn)品的成本函數(shù)為C(q) = 80 + 2q，則當產(chǎn)量q = 50時，該產(chǎn)品的平均成本為3.6</p><p>　　7．已知某商品的需求函數(shù)為q = 18

7、0 – 4p，其中p為該商品的價格，則該商品的收入函數(shù)R(q) = 45q – 0.25q 2</p><p><b>　　8. 　　1　　.</b></p><p>　　9．已知，當 時，為無窮小量． </p><p>　　10. 已知，若在內(nèi)連續(xù)，則　2 .</p><p>　　11. 函數(shù)的間斷點是&

8、lt;/p><p>　　12．函數(shù)的連續(xù)區(qū)間是，，</p><p>　　13．曲線在點處的切線斜率是</p><p>　　14．函數(shù)y = x 2 + 1的單調(diào)增加區(qū)間為(0, +)</p><p>　　15．已知，則= 0</p><p><b>　　16．函數(shù)的駐點是</b></p>

9、;<p>　　17．需求量q對價格的函數(shù)為，則需求彈性為</p><p>　　18．已知需求函數(shù)為，其中p為價格，則需求彈性Ep = </p><p>　　三、極限與微分計算題</p><p>　　1．解 = = = </p><p><b>　　2．解：= </b></p>

10、;<p><b>　　= </b></p><p>　　3．解 = </p><p>　　==22 = 4 </p><p><b>　　4．解 =</b></p><p><b>　　= = 2 </b></p><p>&

11、lt;b>　　5．解 </b></p><p>　　6．解 = </p><p><b>　　=</b></p><p>　　7．解：(x)== </p><p><b>　　=</b></p><p><b>　　8．解 </

12、b></p><p><b>　　9．解 因為 </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　10．解 因為 </p><p>　　所以 </p><p>　　11．解 因為 </p>

13、<p>　　所以 </p><p>　　12．解 因為 </p><p>　　所以 </p><p><b>　　13．解 </b></p><p><b>　　14．解：</b></p><p>　　15．解 在方程等號

14、兩邊對x求導，得</p><p>　　故 </p><p>　　16．解 對方程兩邊同時求導，得</p><p><b>　　=.</b></p><p>　　17．解：方程兩邊對x求導，得 </p><p><b>　

15、　當時，</b></p><p><b>　　所以，</b></p><p>　　18．解 在方程等號兩邊對x求導，得</p><p>　　故 </p><p><b>　　四、應用題</b></p><p&

16、gt;　　1．設生產(chǎn)某種產(chǎn)品個單位時的成本函數(shù)為：（萬元）,</p><p>　　求：（1）當時的總成本、平均成本和邊際成本；</p><p>　　（2）當產(chǎn)量為多少時，平均成本最??？</p><p>　　1．解（1）因為總成本、平均成本和邊際成本分別為：</p><p><b>　　， </b></p

17、><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　?。?）令 ，得（舍去）</p><p>　　因為是其在定義域內(nèi)唯一駐點，且該問題確實存在最小值，所以當20時，平均成本最小. </p><p>　　2．某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，其固定成本

18、為2000元，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品的成本為60元，對這種產(chǎn)品的市場需求規(guī)律為（為需求量，為價格）</p><p>　　2．解 （1）成本函數(shù)= 60+2000．</p><p><b>　　因為 ，即，</b></p><p>　　所以 收入函數(shù)==()=． </p><p>　?。?）因為利潤函數(shù)=- =-(60+

19、2000) </p><p>　　= 40--2000 </p><p>　　且 =(40--2000=40- 0.2</p><p>　　令= 0，即40- 0.2= 0，得= 200，它是在其定義域內(nèi)的唯一駐點．</p><p>　　所以，= 200是利潤函數(shù)的最大值點，即當產(chǎn)量為200噸時利潤最大．</p&g

20、t;<p>　　3．設某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為50000元，每生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品，成本增加100元．又已知需求函數(shù)，其中為價格，為產(chǎn)量，這種產(chǎn)品在市場上是暢銷的，試求：（1）價格為多少時利潤最大？（2）最大利潤是多少？</p><p>　　3．解 （1）C(p) = 50000+100q = 50000+100(2000-4p) </p><p>　　=250000-4

21、00p </p><p>　　R(p) =pq = p(2000-4p)= 2000p-4p 2 </p><p>　　利潤函數(shù)L(p) = R(p) - C(p) =2400p-4p 2 -250000，且令 </p><p>　　=2400 – 8p = 0</p><p>　

22、　得p =300，該問題確實存在最大值. 所以，當價格為p =300元時，利潤最大. </p><p>　?。?）最大利潤 （元）．</p><p>　　4．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品q件時的總成本函數(shù)為C(q) = 20+4q+0.01q2（元），單位銷售價格為p = 14-0.01q（元/件），試求：（1）產(chǎn)量為多少時可使利潤達到最大？（2）最大利潤是多少？</p><p

23、>　　4．解 （1）由已知</p><p><b>　　利潤函數(shù) </b></p><p>　　則，令，解出唯一駐點.</p><p>　　因為利潤函數(shù)存在著最大值，所以當產(chǎn)量為250件時可使利潤達到最大， </p><p><b>　?。?）最大利潤為</b></p>

24、<p><b>　?。ㄔ?lt;/b></p><p>　　5．某廠每天生產(chǎn)某種產(chǎn)品件的成本函數(shù)為（元）.為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為多少？此時，每件產(chǎn)品平均成本為多少？</p><p>　　5. 解 因為 == （） </p><p>　　== </p>

25、<p>　　令=0，即=0，得=140，= -140（舍去）.</p><p>　　=140是在其定義域內(nèi)的唯一駐點，且該問題確實存在最小值. </p><p>　　所以=140是平均成本函數(shù)的最小值點，即為使平均成本最低，每天產(chǎn)量應為140件. 此時的平均成本為</p><p>　　==176 （元/件）</p><p>　

26、　6．已知某廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本為（萬元）．問：要使平均成本最少，應生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？</p><p>　　6．解 （1） 因為 == </p><p>　　== </p><p>　　令=0，即，得=50，=-50（舍去），</p><p>　　=50是在其定義域內(nèi)的唯一駐點．</p>&

27、lt;p>　　所以，=50是的最小值點，即要使平均成本最少，應生產(chǎn)50件產(chǎn)品．</p><p>　　第二部分　 積分學</p><p><b>　　一、單項選擇題</b></p><p>　　1．在切線斜率為2x的積分曲線族中，通過點（1, 4）的曲線為（y = x2 + 3 ）．</p><p>　　2. 若=

28、 2，則k =（1）． </p><p>　　3．下列等式不成立的是（ ）． </p><p><b>　　4．若，則=（）.</b></p><p>　　5. （ ）． </p><p>　　6. 若，則f (x) =（ ）．</p><p>　　7

29、. 若是的一個原函數(shù)，則下列等式成立的是()． </p><p>　　8．下列定積分中積分值為0的是（）</p><p>　　9．下列無窮積分中收斂的是（）．</p><p>　　10．設(q)=100-4q ，若銷售量由10單位減少到5單位，則收入R的改變量是（350 ）．</p><p>　　11．下列微分方程中，（ ）是線性微分方

30、程．</p><p>　　12．微分方程的階是（1）.</p><p><b>　　二、填空題</b></p><p><b>　　1．</b></p><p>　　2．函數(shù)的原函數(shù)是-cos2x + c (c 是任意常數(shù))</p><p><b>　　3．若，則&

31、lt;/b></p><p><b>　　4．若，則=</b></p><p><b>　　5．0 </b></p><p><b>　　6．0</b></p><p>　　7．無窮積分是收斂的（判別其斂散性）</p><p>　　8．設邊際收入函

32、數(shù)為(q) = 2 + 3q，且R (0) = 0，則平均收入函數(shù)為2 + ．</p><p>　　9. 是　　2 階微分方程.</p><p>　　10．微分方程的通解是</p><p><b>　　三、計算題</b></p><p><b>　?、?解 </b></p>

33、<p><b>　　2．解 </b></p><p><b>　　3．解 </b></p><p><b>　　4．解 = </b></p><p><b>　　= </b></p><p>　　5．解 == = </p&

34、gt;<p><b>　　6．解 </b></p><p>　　7．解 === </p><p><b>　　8．解 =-==</b></p><p>　　9．解法一 = </p><p>　　=＝=1

35、 </p><p>　　解法二 令，則</p><p><b>　　= </b></p><p>　　10．解 因為 ， </p><p><b>　　用公式 </b></p><p><b>　　由 ， 得 </b

36、></p><p>　　所以，特解為 </p><p>　　11．解 將方程分離變量： </p><p>　　等式兩端積分得 </p><p>　　將初始條件代入，得 ，c = </p><p>　　所以，特解為： </p>

37、<p>　　12．解：方程兩端乘以，得 </p><p><b>　　即</b></p><p>　　兩邊求積分，得 </p><p><b>　　通解為： </b></p><p><b>　　由，得</b></p><p>　

38、　所以，滿足初始條件的特解為： </p><p>　　13．解 將原方程分離變量 </p><p>　　兩端積分得 lnlny = lnC sinx </p><p>　　通解為 y = eC sinx </p><p>　　

39、14. 解 將原方程化為：，它是一階線性微分方程，</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　用公式 </b></p><p>　　15．解 在微分方程中，</p><p><b>　　由通解公式 </b></p><p&g

40、t;　　16．解：因為，，由通解公式得</p><p><b>　　= =</b></p><p><b>　　= </b></p><p><b>　　四、應用題</b></p><p>　　1．投產(chǎn)某產(chǎn)品的固定成本為36(萬元)，且邊際成本為=2x + 40(萬元

41、/百臺). 試求產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時總成本的增量，及產(chǎn)量為多少時，可使平均成本達到最低.</p><p>　　1．解 當產(chǎn)量由4百臺增至6百臺時，總成本的增量為</p><p>　　== 100（萬元） </p><p>　　又 = = </p><p><b>　　令 ， 解得.</b&

42、gt;</p><p>　　x = 6是惟一的駐點，而該問題確實存在使平均成本達到最小的值. 所以產(chǎn)量為6百臺時可使平均成本達到最小. </p><p>　　2．已知某產(chǎn)品的邊際成本(x)=2（元/件），固定成本為0，邊際收益(x)=12-0.02x，問產(chǎn)量為多少時利潤最大？在最大利潤產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn)50件，利潤將會發(fā)生什么變化？</p><p>　　2．解 因

43、為邊際利潤</p><p>　　=12-0.02x –2 = 10-0.02x </p><p>　　令= 0，得x = 500 </p><p>　　x = 500是惟一駐點，而該問題確實存在最大值. 所以，當產(chǎn)量為500件時，利潤最大.</p><p>　　當產(chǎn)量由500件增加至550件時，

44、利潤改變量為</p><p>　　=500 - 525 = - 25 （元）</p><p>　　即利潤將減少25元. </p><p>　　3．生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為(x)=8x(萬元/百臺)，邊際收入為(x)=100-2x（萬元/百臺），其中x為產(chǎn)量，問產(chǎn)量為多少時，利潤最大？從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤有什么變化？ </p>

45、;<p>　　3. 解 (x) =(x) -(x) = (100 – 2x) – 8x =100 – 10x </p><p>　　令(x)=0, 得 x = 10（百臺）</p><p>　　又x = 10是L(x)的唯一駐點，該問題確實存在最大值，故x = 10是L(x)的最大值點，即當產(chǎn)量為10（百臺）時，利潤最大. <

46、/p><p><b>　　又 </b></p><p>　　即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤將減少20萬元. </p><p>　　4．已知某產(chǎn)品的邊際成本為(萬元/百臺)，x為產(chǎn)量(百臺)，固定成本為18(萬元)，求最低平均成本.</p><p>　　4．解：因為總成本函數(shù)為</p><p&g

47、t;　　= </p><p>　　當x = 0時，C(0) = 18，得 c =18</p><p>　　即 C(x)= </p><p>　　又平均成本函數(shù)為 </p><p>　　令 ， 解得x = 3 (百臺)</p><p>　　該題確實存在使平均成

48、本最低的產(chǎn)量. 所以當x = 3時，平均成本最低. 最底平均成本為</p><p><b>　　(萬元/百臺) </b></p><p>　　5．設生產(chǎn)某產(chǎn)品的總成本函數(shù)為 (萬元)，其中x為產(chǎn)量，單位：百噸．銷售x百噸時的邊際收入為（萬元/百噸），求：</p><p>　　(1) 利潤最大時的產(chǎn)量；</p><p>

49、　　(2) 在利潤最大時的產(chǎn)量的基礎上再生產(chǎn)1百噸，利潤會發(fā)生什么變化？</p><p>　　5．解：(1) 因為邊際成本為 ，邊際利潤 = 14 – 2x </p><p>　　令，得x = 7 </p><p>　　由該題實際意義可知，x = 7為利潤函數(shù)L(x)的極大值點，也是最大值點. 因此，當產(chǎn)量為7百噸時利潤最大. &l

50、t;/p><p>　　(2) 當產(chǎn)量由7百噸增加至8百噸時，利潤改變量為</p><p>　　=112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （萬元）</p><p>　　即利潤將減少1萬元. </p><p>　　第三部分 線性代數(shù)</p><p><b>　　一、單項選擇題</b><

51、;/p><p>　　1．設A為矩陣，B為矩陣，則下列運算中（AB ）可以進行.</p><p>　　2．設為同階可逆矩陣，則下列等式成立的是（</p><p>　　3．設為同階可逆方陣，則下列說法正確的是（秩秩秩 ）．</p><p>　　4．設均為n階方陣，在下列情況下能推出A是單位矩陣的是（）</p><p>

52、　　5．設是可逆矩陣，且，則（ ）.</p><p>　　6．設，，是單位矩陣，則＝（）</p><p>　　7．設下面矩陣A, B, C能進行乘法運算，那么（AB = AC，A可逆，則B = C ）成立.</p><p>　　8．設是階可逆矩陣，是不為0的常數(shù)，則（）． </p><p>　　9．設，則r(A) =（ 2 ）．</p

53、><p>　　10．設線性方程組的增廣矩陣通過初等行變換化為，則此線性方程組的一般解中自由未知量的個數(shù)為（ 1 ）．</p><p>　　11．線性方程組 解的情況是（無解）．</p><p>　　12．若線性方程組的增廣矩陣為，則當＝（）時線性方程組無解．</p><p>　　13． 線性方程組只有零解，則（可能無解）.</p>

54、<p>　　14．設線性方程組AX=b中，若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則該線性方程組（無解）．</p><p>　　15．設線性方程組有唯一解，則相應的齊次方程組（只有零解）．</p><p><b>　　二、填空題</b></p><p>　　1．兩個矩陣既可相加又可相乘的充分必要條件是與是同階矩陣</p&g

55、t;<p>　　2．計算矩陣乘積= [4]</p><p>　　3．若矩陣A = ，B = ，則ATB=</p><p>　　4．設為矩陣，為矩陣，若AB與BA都可進行運算，則有關(guān)系式</p><p>　　5．設，當0時，是對稱矩陣.</p><p><b>　　6．當時，矩陣可逆</b></p>

56、;<p>　　7．設為兩個已知矩陣，且可逆，則方程的解</p><p>　　8．設為階可逆矩陣，則(A)= </p><p>　　9．若矩陣A =，則r(A) =2</p><p>　　10．若r(A, b) = 4，r(A) = 3，則線性方程組AX = b無解</p><p>　　11．若線性方程組有非零解，則-1</

57、p><p>　　12．設齊次線性方程組，且秩(A) = r < n，則其一般解中的自由未知量的個數(shù)等于n – r</p><p>　　13．齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為則此方程組的一般解為 (其中是自由未知量) </p><p>　　14．線性方程組的增廣矩陣化成階梯形矩陣后為</p><p>　　則當時，方程組有無窮多解.</p&g

58、t;<p>　　15．若線性方程組有唯一解，則只有0解 </p><p><b>　　三、計算題</b></p><p><b>　　1．設矩陣，，求．</b></p><p>　　2．設矩陣 ，，，計算．</p><p>　　3．設矩陣A =，求．</p><p&

59、gt;　　4．設矩陣A =，求逆矩陣．</p><p>　　5．設矩陣 A =，B =，計算(AB)-1．</p><p>　　6．設矩陣 A =，B =，計算(BA)-1．</p><p><b>　　7．解矩陣方程．</b></p><p>　　8．解矩陣方程. </p><p&

60、gt;<b>　　9．設線性方程組</b></p><p>　　討論當a，b為何值時，方程組無解，有唯一解，有無窮多解.</p><p>　　10．設線性方程組 ，求其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩，并判斷其解的情況.</p><p>　　11．求下列線性方程組的一般解：</p><p>　　12．求下列線性方程組的一般解：&l

61、t;/p><p>　　13．設齊次線性方程組</p><p>　　問取何值時方程組有非零解，并求一般解.</p><p>　　14．當取何值時，線性方程組 有解？并求一般解.</p><p>　　15．已知線性方程組的增廣矩陣經(jīng)初等行變換化為</p><p>　　問取何值時，方程組有解？當方程組有解時，求方程組的一般解.&

62、lt;/p><p><b>　　三、計算題</b></p><p>　　1．解 因為 = </p><p><b>　　==</b></p><p>　　所以 == </p><p><b>　　2．解：=</b></p><p

63、><b>　　= = </b></p><p>　　3．解 因為 (A I )= </p><p>　　所以 A-1 = </p><p>　　4．解 因為(A I ) =</p><p>　　所以 A-1= </p><p>　　5．

64、解 因為AB == </p><p>　　(AB I ) = </p><p>　　所以 (AB)-1= </p><p>　　6．解 因為BA== </p><p>　　(BA I )= </p><p>　　所以 (BA)-1= </p><p><

65、;b>　　7．解 因為</b></p><p>　　即 </p><p>　　所以，X == </p><p><b>　　8．解：因為 </b></p><p>　　即 </p><p><b

66、>　　所以，X === </b></p><p><b>　　9．解 因為 </b></p><p>　　所以當且時，方程組無解；</p><p>　　當時，方程組有唯一解；</p><p>　　當且時，方程組有無窮多解. </p><p><b>　

67、　10．解 因為</b></p><p>　　所以 r(A) = 2，r() = 3. </p><p>　　又因為r(A) r()，所以方程組無解. </p><p>　　11．解 因為系數(shù)矩陣</p><p>　　所以一般解為 （其中，是自由未知量） </p>

68、<p>　　12．解 因為增廣矩陣</p><p>　　所以一般解為 （其中是自由未知量） </p><p>　　13．解 因為系數(shù)矩陣</p><p><b>　　A = </b></p><p>　　所以當 = 5時，方程組有非零解. 且一般解為</p><p>　　

69、（其中是自由未知量） </p><p>　　14．解 因為增廣矩陣</p><p>　　所以當=0時，線性方程組有無窮多解，且一般解為：</p><p>　　是自由未知量〕 </p><p>　　15．解：當=3時，，方程組有解. </p><p><b>　　當=3時

70、， </b></p><p>　　一般解為， 其中, 為自由未知量. </p><p><b>　　四、證明題 </b></p><p><b>　　四、證明題</b></p><p>　　1．試證：設A，B，AB均為n階對稱矩陣，則AB =BA．</p>

71、;<p>　　1．證 因為AT = A，BT = B，(AB)T = AB </p><p>　　所以 AB = (AB)T = BT AT = BA</p><p>　　2．試證：設是n階矩陣，若= 0，則．</p><p><b>　　2．證 因為 </b></p><p>&

72、lt;b>　　= == </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p>　　3．已知矩陣 ，且，試證是可逆矩陣，并求 </p><p>　　3. 證 因為，且，即</p><p><b>　　，</b></p><p>

73、;　　得，所以是可逆矩陣，且.</p><p>　　4. 設階矩陣滿足，，證明是對稱矩陣.</p><p><b>　　4. 證 因為</b></p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　所以是對稱矩陣.</b></p><p&g