畢業(yè)設(shè)計---基于磁懸浮球裝置的控制算法研究

1、<p>　　編 號： </p><p>　　審定成績： </p><p><b>　　xxxx大學(xué)</b></p><p><b>　　畢業(yè)設(shè)計（論文）</b></p><p>　　填表時間：2010年 6 月</p>&l

2、t;p>　　xxxx大學(xué)教務(wù)處制</p><p>　設(shè)計（論文）題目：基于磁懸浮球裝置的控制算法研究</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　磁懸浮系統(tǒng)是一個復(fù)雜的非線性、自然不穩(wěn)定系統(tǒng)，其控制器性能的好壞直接影響磁懸浮技術(shù)的應(yīng)用，其研究涉及控制理論、電磁場理論、電力電子技術(shù)、數(shù)字信號處理以及計算機科學(xué)等眾多領(lǐng)域

3、。由于磁懸浮系統(tǒng)對實時性的要求很高，在很大程度限制了先進控制算法的開發(fā)和應(yīng)用。為了滿足日益復(fù)雜的控制要求和提高控制系統(tǒng)的實時性，本文以單自由度磁懸浮球系統(tǒng)為研究對象，在分析磁懸浮系統(tǒng)構(gòu)成及工作原理的基礎(chǔ)上，建立了數(shù)學(xué)模型并對其控制器進行了研究，以期望達到更好的控制效果。</p><p>　　本文首先分析了磁懸浮系統(tǒng)的工作原理，建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型和線性化模型，并在此基礎(chǔ)上利用MATLAB軟件以及其中的SIMULI

4、NK仿真工具箱對模型開環(huán)和閉環(huán)系統(tǒng)進行了仿真。然后,根據(jù)得出的系統(tǒng)傳遞函數(shù)，在SIMULINK環(huán)境下搭建系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)，并據(jù)此進行PID控制器的設(shè)計和調(diào)節(jié)，以及用根軌跡法和頻率響應(yīng)法控制系統(tǒng)。</p><p>　　【關(guān)鍵詞】磁懸浮球 PID控制器 根軌跡 頻率響應(yīng)</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　

5、　The magnetic levitation system is a complex, nonlinear, naturally unstable system. And the controller’s performance directly influences the wide applications of the magnetic levitation technology. The research on such a

6、 system involves control theory, electromagnetism, electric and electronic technology, digital signal processing, computer science and so on. Because the magnetic levitation system’s real time demand is rigorous, the dev

7、elopment and application of advanced controllers is limited. </p><p>　　This paper analyses the working principle of maglev system, establishing the mathematic model of the system and the linear model, and on

8、 the basis of using the software MATLAB, and SIMULINK tool to model and the closed-loop system is simulated. Then, according to the system transfer function in building system under the environment of SIMULINK open-loop

9、transfer function, the design and adjustment of the PID controller, and with the root locus method and the method of frequency response controll</p><p>　　【key words】Magnetic levitation ball PID controller

10、Root locus Frequency response</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前 言1</b></p><p>　　第一章 磁懸浮系統(tǒng)的概述2</p><p>　　第一節(jié) 磁懸浮的分類及應(yīng)用前景2</p><p

11、>　　第二節(jié) 磁懸浮技術(shù)的研究現(xiàn)狀3</p><p>　　第三節(jié) 磁懸浮的控制方法和發(fā)展趨勢4</p><p>　　第二章 磁懸浮系統(tǒng)的分析和建模6</p><p>　　第一節(jié) 磁懸浮系統(tǒng)的分析6</p><p>　　第二節(jié) 磁懸浮系統(tǒng)的工作原理6</p><p>　　第三節(jié) 磁懸浮系統(tǒng)的建模7&l

12、t;/p><p>　　一、控制對象的運動方程7</p><p>　　二、電磁鐵中控制電壓與電流的模型8</p><p>　　三、電流控制模型9</p><p>　　四、電壓控制模型11</p><p>　　第三節(jié) 磁懸浮球系統(tǒng)的搭建14</p><p>　　一、開環(huán)系統(tǒng)搭建14</

13、p><p>　　二、閉環(huán)系統(tǒng)搭建15</p><p>　　第四節(jié) 本章小結(jié)17</p><p>　　第三章 控制器的設(shè)計和調(diào)試18</p><p>　　第一節(jié) PID控制器的設(shè)計和調(diào)試18</p><p>　　一、PID控制基礎(chǔ)18</p><p>　　二、PID控制參數(shù)整定19<

14、;/p><p>　　三、磁懸浮系統(tǒng)中的PID控制21</p><p>　　第二節(jié) 根軌跡控制器的設(shè)計和調(diào)試23</p><p>　　一、根軌跡法的基本概念和原理23</p><p>　　二、磁懸浮系統(tǒng)的根軌跡校正24</p><p>　　第三節(jié) 頻率響應(yīng)控制器的設(shè)計和調(diào)試27</p><p&g

15、t;　　一、頻率響應(yīng)法的基本概念和分析27</p><p>　　二、磁懸浮系統(tǒng)中的頻率響應(yīng)29</p><p>　　第四節(jié) 本章小結(jié)33</p><p><b>　　結(jié) 論34</b></p><p><b>　　致 謝35</b></p><p><b&

16、gt;　　參考文獻36</b></p><p><b>　　附 錄38</b></p><p><b>　　一、英文原文38</b></p><p><b>　　二、英文翻譯47</b></p><p><b>　　三、源程序54</b&

17、gt;</p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　磁懸浮技術(shù)是將電磁學(xué)、機械學(xué)、動力學(xué)、電子技術(shù)、自動控制技術(shù)、傳感技術(shù)、檢測技術(shù)和計算機科學(xué)等高新技術(shù)有機結(jié)合在一起，成為典型的機電一體化技術(shù)。磁懸浮技術(shù)是利用磁場力使一物體沿著或繞著某一基準框架的一軸或者幾軸保持固定位置，由于懸浮體和支撐之間無任何接觸，克服了由摩擦帶來的能量消耗和速度限制，具

18、有壽命長，能耗低，安全可靠等優(yōu)點。目前，各國已廣泛開展了對磁懸浮控制系統(tǒng)的研究隨著控制理論的不斷完善和發(fā)展，采用先進的控制方法對磁懸浮系統(tǒng)進行的控制和設(shè)計，使系統(tǒng)具有更好的魯棒性。在我國，磁懸浮技術(shù)研究起步較晚，水平相對落后。</p><p>　　隨著電子技術(shù)的發(fā)展，特別是電子計算機的發(fā)展，帶來了磁懸浮控制系統(tǒng)向智能化方向的快速發(fā)展。近年來，磁懸浮技術(shù)開始由宇航、軍事等領(lǐng)域向一般工業(yè)應(yīng)用方面發(fā)展，廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)

19、域，如：磁懸浮列車、磁懸浮隔振器、磁懸浮軸承、高速機床進給平臺、磁懸浮硬盤、飛輪電池等。</p><p>　　磁懸浮球是一種典型的單自由度磁懸浮系統(tǒng)，只需一個自由度控制即可實現(xiàn)球的穩(wěn)定懸浮。磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)結(jié)構(gòu)簡單、系統(tǒng)評判容易，在研究磁懸浮現(xiàn)象，實施和驗證各種控制算法方面具有重要的作用。同時，對單自由度磁懸浮球進行研究是研究磁懸浮技術(shù)的一個有效方法，它是多自由度磁懸浮裝置簡化和去耦，在研究各種控制器算法，運用新

20、技術(shù)方面具有很重要的作用，可以為較為復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計與調(diào)試提供硬件和軟件的準備。</p><p>　　第一章 磁懸浮系統(tǒng)的概述</p><p>　　第一節(jié) 磁懸浮的分類及應(yīng)用前景</p><p>　　磁懸浮可分為以下3種主要應(yīng)用方式：</p><p>　?、匐姶盼刂茟腋》绞?lt;/p><p>　　這種控制方式利用了導(dǎo)

21、磁材料與電磁鐵之間的引力，絕大部分磁懸浮技術(shù)采用這種方式。雖然原理上這種吸引力是一種不穩(wěn)定的力，但通過控制電磁鐵的電流，可以將懸浮氣隙保持在一定數(shù)值上。隨著現(xiàn)代控制理論和驅(qū)動元器件的發(fā)展，方式在工業(yè)領(lǐng)域得到了廣泛運用。在此基礎(chǔ)上也有研究人員將需要大電流勵磁的電磁鐵部分換成可控型永久磁鐵，這樣可以大幅度降低勵磁損耗。</p><p>　　②永久磁鐵斥力懸浮方式</p><p>　　這種控制方

22、式利用永久磁體之間的斥力，根據(jù)所用的磁材料的不同，其產(chǎn)</p><p>　　生的斥力也有所差別。由于橫向位移的不穩(wěn)定因素，需要從力學(xué)角度來安排磁</p><p>　　鐵的位置。近年來隨著稀土材料的普及，該方式將會更多的應(yīng)用于各個領(lǐng)域。</p><p><b>　?、鄹袘?yīng)斥力方式</b></p><p>　　這種控制方式利

23、用了磁鐵或勵磁線圈和短路線圈之間的斥力，簡稱感應(yīng)斥</p><p>　　力方式。為了得到斥力，勵磁線圈和短路線圈之間必須有相對的運動。這種方</p><p>　　式主要運動于超導(dǎo)磁懸浮列車的懸浮裝置上。但是，在低速時由于得不到足夠</p><p>　　的懸浮力，限制了這種方式的廣泛應(yīng)用[1]。</p><p>　　近年來，磁懸浮技術(shù)作為新興機

24、電一體化技術(shù)發(fā)展迅速，與其它技術(shù)相比，磁懸浮技術(shù)具有如下優(yōu)點：</p><p>　　①能夠?qū)崿F(xiàn)非接觸式的運動控制，避免了機械接觸，減少損耗，延長設(shè)備</p><p><b>　　使用壽命；</b></p><p>　?、跓o需潤滑，可以省去泵、管道、過濾器、密封元件；</p><p>　　③功耗低，減少了損耗；</p

25、><p>　　④定位、控制精度高，其上限取決于位移傳感器的精度；</p><p>　?、萸鍧崯o污染[2]。</p><p>　　目前，各國都在大力發(fā)展磁懸浮技術(shù)的多方面應(yīng)用，以期適應(yīng)生產(chǎn)發(fā)展要求。磁懸浮列車以其在經(jīng)濟、環(huán)保等方面的優(yōu)勢被認為是二十一世紀交通工具的發(fā)展方向，德國和日本在這方面已經(jīng)取得很大的進展，技術(shù)逐漸成熟[3]。磁懸浮軸承有著一般傳統(tǒng)軸承和支撐技術(shù)所無法

26、比擬的優(yōu)越性，并且已取得工業(yè)的廣泛應(yīng)用。另外，磁懸浮隔振器、磁懸浮電機等相關(guān)技術(shù)也都發(fā)展迅速，進入了工業(yè)應(yīng)用領(lǐng)域[4]。</p><p>　　第二節(jié) 磁懸浮技術(shù)的研究現(xiàn)狀</p><p>　　20世紀60年代，世界上出現(xiàn)了3個載人的氣墊車實驗系統(tǒng)，它是最早對磁懸浮列車進行研究的系統(tǒng)。隨著技術(shù)的發(fā)展，，特別是固體電學(xué)的出現(xiàn)，使原來是十分龐大的控制設(shè)備變得十分輕巧，這就是給磁懸浮列車技術(shù)提供了

27、實現(xiàn)的可能。1969年，德國牽引機車公司的馬法伊研制出小型磁懸浮列車系統(tǒng)模型[6]，以后命名為TR01型，該車在1km軌道上時速達到165km，這事磁懸浮列車發(fā)展的第一個里程碑。在制造磁懸浮列車的角逐中，日本和德國是兩大競爭對手。1994年2月24日，日本的電動懸浮式磁懸浮列車，在宮琦一段74km長的實驗線上，創(chuàng)造了時速431km的日本最高記錄。1999年4月日本研制的超導(dǎo)磁懸浮列車在實驗線上達到時速552km，德國經(jīng)過20年的努力技術(shù)

28、上已趨成熟，已具有建筑哦運營線路的水平。原計劃在漢堡和柏林之間修建第一條時速為400km的磁懸浮鐵路，總長度為248km，預(yù)計2003年正式投入運營。但由于資金計劃穩(wěn)態(tài)，2002年宣布停止了這一計劃。我國對磁懸浮列車的研究工作比較晚，1989年3月，國防科技大學(xué)研制出我國第一臺磁懸浮實驗樣車。1995年，我國第一條磁懸浮實驗線在西南交通大學(xué)建成，并且成功進行</p><p>　　高速磁懸浮電機高速磁懸浮電機是近年

29、提出的一個新研究方向，它集磁懸浮軸承和電動機于一體，具有自懸浮和餐動能力，不需要任何獨立的軸承支撐，且具有體積小、臨界轉(zhuǎn)速高等特點，更適合于超高速運行的場合，也適合小型乃至超小型結(jié)構(gòu)。國外自90年代中期開始對其進行了研究，相繼出現(xiàn)了永磁同步型磁懸浮電機、開關(guān)磁阻型磁懸浮電機、感應(yīng)型磁懸浮電機等各種結(jié)構(gòu)。其中感應(yīng)型磁懸浮電機具有結(jié)構(gòu)簡單，成本低，可靠性高，氣隙均勻，易于弱磁升速，是最有前途的方案之一傳統(tǒng)的電機是由定子和轉(zhuǎn)子組成，定子與轉(zhuǎn)子

30、之間通過機械軸承連接，在轉(zhuǎn)子運動過程中存在機械摩擦，增加了轉(zhuǎn)子的摩擦阻力，使得運動部件磨損，產(chǎn)生機械振動和噪聲，使運動部件發(fā)熱，潤滑劑性能變差，嚴重的會使電機氣隙不均勻，繞組發(fā)熱，溫升增大，從而降低電機效能，最終縮短電機使用壽命。磁懸浮電機利用定子和轉(zhuǎn)子勵磁磁場間“同性相斥，異性相吸”的原理使轉(zhuǎn)子懸浮起來，同時產(chǎn)生推進力驅(qū)使轉(zhuǎn)子在懸浮狀態(tài)下運動。磁懸浮電機的研究越來越受到重視，并有一些成功的報道。如磁懸浮電機應(yīng)用在生命科學(xué)領(lǐng)域，現(xiàn)在國外

31、已研制成功的離心式和振動式磁懸浮人工心臟血泵，采用無機械接觸式磁懸浮結(jié)構(gòu)不僅效率高，而</p><p>　　當前，國際上對磁懸浮技術(shù)的研究工作已經(jīng)非?；钴S。1988年召開了第一屆國際磁懸浮軸承會議，此后兩年一次[7]。1991年，美國航天管理局還召開了第一次磁懸浮技術(shù)在航天中應(yīng)用的研討會。另外，磁懸浮技術(shù)在其他方面也有著突出的進展，例如：磁懸浮主軸系統(tǒng)、磁懸浮隔振系統(tǒng)、磁懸浮研磨技術(shù)等等?，F(xiàn)在，美國、法國、日本、

32、瑞士和我國都在大力支持開展磁懸浮技術(shù)的研究工作，國際上的這些努力，推動了磁懸浮技術(shù)在工業(yè)的廣泛應(yīng)用。</p><p>　　第三節(jié) 磁懸浮的控制方法和發(fā)展趨勢</p><p>　　磁懸浮從技術(shù)實現(xiàn)的角度可以分為三類，即主動式、被動式與混合式磁懸浮技術(shù)[8]。主動磁懸浮技術(shù)即通過電磁力實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的可控懸?。槐粍邮降难芯恐饕性谟谰么盆F低溫超導(dǎo)的研究。就目前工業(yè)應(yīng)用角度而言，主動式磁懸浮技術(shù)與混

33、合式磁懸浮技術(shù)占主體地位，主動式磁懸浮技術(shù)和混合式磁懸浮技術(shù)中的控制方法是其技術(shù)的核心，控制器的性能直接決定了懸浮體的性能指標，例如精度、剛度、阻尼特性、抗干擾能力等。所以在這類磁懸浮產(chǎn)品的設(shè)計中，高性能控制器的研究與設(shè)計成為生產(chǎn)高品質(zhì)磁懸浮產(chǎn)品的關(guān)鍵。以上問題都對磁懸浮系統(tǒng)的控制器提出了很高的要求，為此大量的研究集中在控制方法和控制手段上。近年來，一些先進的現(xiàn)代控制理論方法在磁懸浮軸承上應(yīng)用的研究也逐漸開展起來，但因為磁懸浮軸承的參數(shù)

34、不確定性和非線性使得一些現(xiàn)代控制算法如最優(yōu)控制無法達到預(yù)期的控制精度[9]。同時由于磁懸浮系統(tǒng)的實時性要求很高，對于很復(fù)雜的控制算法無法在工程上實現(xiàn)。</p><p>　　傳統(tǒng)的工業(yè)控制較多采用應(yīng)用成熟的 PID 控制器，通過對參數(shù)的選取，還可構(gòu)成PI、PD 控制器，PID 控制器結(jié)構(gòu)簡單，調(diào)節(jié)方便，應(yīng)用成熟，但是在高精度的磁懸浮技術(shù)中，由于系統(tǒng)的復(fù)雜性和磁場本身的非線性使得傳統(tǒng)的PID控制器不能完全滿足工程需要

35、。近年來，隨著工業(yè)水平的提高，很多先進控制方法應(yīng)用到自動化領(lǐng)域：</p><p>　?、俜蔷€性控制：非線性控制是復(fù)雜控制系統(tǒng)理論中的一個難點，對于磁懸浮系統(tǒng)在本質(zhì)上是非線性的，目前大多數(shù)的控制方法是在平衡點附近線性化得到近似的系統(tǒng)模型，再根據(jù)此模型設(shè)計控制器，但這樣的控制方法并不能完全達到工程需要，有學(xué)者采用非線性狀態(tài)反饋線性化的方法進行控制器的設(shè)計，國外有學(xué)者通過簡化非線性電磁力學(xué)方程設(shè)計非線性控制器，并通過試

36、驗驗證了控制器的可行性[10]。</p><p>　　②智能控制系統(tǒng)：智能控制器具有在線學(xué)習(xí)、修正的能力，它可以根據(jù)系統(tǒng)獲取的信息來分析系統(tǒng)特性，從而使系統(tǒng)性能達到預(yù)期要求。鑒于智能控制器的眾多優(yōu)點，國內(nèi)外很多學(xué)者都開始了磁懸浮系統(tǒng)智能控制器的設(shè)計，現(xiàn)階段已經(jīng)實現(xiàn)了模糊控制器的設(shè)計并已經(jīng)在實驗中得到了驗證[11]。</p><p>　?、巯到y(tǒng)辨識：系統(tǒng)辨識是在輸入輸出觀測值的基礎(chǔ)上，在指定

37、的一類系統(tǒng)中，確定一個與被識別系統(tǒng)等價的系統(tǒng)。辨識、狀態(tài)估計和控制理論是現(xiàn)代控制理論三個相互滲透的領(lǐng)域。辨識和狀態(tài)估計離不開控制理論的支持，實際的控制系統(tǒng)離不開被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，但實際的被控系統(tǒng)往往都是未知的，并且建立復(fù)雜的被控對象的精確的數(shù)學(xué)模型一般是很難做到的。近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)辨識，模糊邏輯理論，在非線性系統(tǒng)辨識中的應(yīng)用以及在基礎(chǔ)理論方面的研究工作，使得有關(guān)磁懸浮系統(tǒng)的辨識研究也逐漸深入，但由于磁懸浮的系統(tǒng)的實時性要求較高，系統(tǒng)辨

38、識一般需要耗費大量的計算時間，目前在磁懸浮系統(tǒng)的辨識研究還沒有應(yīng)用于實際控制系統(tǒng)中[12]。</p><p><b>　　第四節(jié) 本章小結(jié)</b></p><p>　　本章對磁懸浮系統(tǒng)進行了概述，介紹了磁懸浮技術(shù)的分類和應(yīng)用背景以及在國內(nèi)外的發(fā)展狀況，同時，對磁懸浮控制方法現(xiàn)狀進行了總結(jié)以及對其未來趨勢進行展望。</p><p>　　第二章

39、 磁懸浮系統(tǒng)的分析和建模</p><p>　　第一節(jié) 磁懸浮系統(tǒng)的分析</p><p>　　磁懸浮球裝置是研究磁懸浮技術(shù)的平臺,它主要由電磁鐵、位置敏感傳感器、放大及補償裝置、數(shù)字控制器和控制對象鋼球等元件組成[13]。它是一個典型的吸浮式懸浮系統(tǒng)。</p><p>　　磁懸浮實驗本體主要由以下幾部分組成：支柱、電磁鐵、傳感器、LED光源發(fā)生器和懸浮體（鋼球）。傳感

40、器是磁懸浮系統(tǒng)的重要部件之一，它的性能對系統(tǒng)的控制精度起決定作用，因為控制系統(tǒng)的精度不可能超過傳感器的精度。本論文所用的磁懸浮試驗平臺采用的是渦流傳感器，鋼球相對于平衡位置的距離經(jīng)過渦流傳感器檢測后轉(zhuǎn)換為電壓量，再由信號放大器放大輸出。為了消除傳感器電路中的高頻噪音，在傳感器電路中還帶有低通濾波器，其時間常數(shù)很小，對系統(tǒng)的影響可以忽略不計。功率放大器的作用是根據(jù)控制器的輸出向電磁鐵線圈提供電流。由于電磁鐵線圈是一個由電感和電阻組成的負載

41、，如果功放輸出的是電壓，則流過負載的控制電流會由于電感的影響而產(chǎn)生滯后作用，這對于提高系統(tǒng)的動態(tài)性能很不利。為了避免電感的滯后作用，磁懸浮試驗平臺采用的是電壓－電流功率放大器，功率放大器的輸出與電磁鐵線圈相連，直接控制線圈的電流。為控制功率管散熱問題，采用開關(guān)功率放大器。磁懸浮試驗平臺采用的電磁鐵是單繞組結(jié)構(gòu)，當無任何外力干擾時，激勵線圈內(nèi)有一定的偏置電流，由功放提供偏電流，當有外力干擾或重力干擾時，通過改變線圈的電流來保證鋼球的穩(wěn)定懸

42、浮。此系統(tǒng)是一開環(huán)不穩(wěn)定</p><p>　　第二節(jié) 磁懸浮系統(tǒng)的工作原理</p><p>　　磁懸浮球?qū)嶒炏到y(tǒng)是一個典型的吸浮式懸浮系統(tǒng)，其工作原理如圖2.1所示。</p><p>　　圖2.1 磁懸浮球系統(tǒng)原理圖</p><p>　　電磁鐵繞組中通以一定的電流就會產(chǎn)生電磁力F，控制電磁鐵繞組中的電流，使之產(chǎn)生的電磁力與鋼球的重力mg相平衡

43、，鋼球就可以懸浮于空中而處于平衡狀態(tài)。但是這種平衡是一種不穩(wěn)定平衡，因為電磁鐵與鋼球之間的電磁力的大小與它們之間的距離X成反比，只要平衡狀態(tài)稍微受到擾動(如：加在電磁鐵線圈上的電壓產(chǎn)生脈動，周圍的振動、風(fēng)等)，就會導(dǎo)致鋼球掉下來或被電磁鐵吸住。因此必須對系統(tǒng)實現(xiàn)閉環(huán)控制。用光電源和傳感器組成的測量裝置檢測鋼球與電磁鐵之間的距離變化，當鋼球受到擾動下降，鋼球與電磁鐵之間的距離x增大，傳感器輸出電壓增大，經(jīng)控制器計算、功率放大器放大處理后，

44、使電磁鐵繞組中的控制電流相應(yīng)增大，電磁力增大，鋼球被吸回平衡位置，反之亦然。</p><p>　　第三節(jié) 磁懸浮系統(tǒng)的建模</p><p>　　一、控制對象的運動方程</p><p>　　忽略小球受到的其他干擾力，則受控對象小鋼球在此系統(tǒng)中只受電磁力F和自身重力mg，由于電磁力F與i和x有關(guān)。球在豎直方向的動力學(xué)方程可以描述為：</p><p&g

45、t;<b>　?。?.1）</b></p><p>　　式中：x—磁極到小球的氣隙，單位：m；</p><p>　　m—小球的質(zhì)量，單位：Kg；</p><p>　　F(i，x)—電磁力，單位：N;</p><p>　　g—重力加速度，單位：m/</p><p>　　當小球處于平衡狀態(tài)，其加速度為

46、零，即所受合力為零，小球的重力等于小球受到的向上的電磁力，即：</p><p><b>　　（2.2）</b></p><p>　　二、電磁鐵中控制電壓與電流的模型</p><p>　　電磁鐵繞組上的瞬時電感與氣隙間的關(guān)系如圖2.2所示。</p><p>　　圖2.2 電磁鐵電感曲線</p><p&g

47、t;　　電磁鐵通電后所產(chǎn)生的電感與小球到磁極面積的氣隙有如下關(guān)系：</p><p><b>　　（2.3)</b></p><p>　　由式(2.3)可知：</p><p><b>　　(2.4)</b></p><p><b>　　又因為</b></p><

48、;p><b>　　故有：</b></p><p><b>　　(2.5)</b></p><p>　　根據(jù)基爾霍夫電壓定律有：</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p>　　式中:—為線圈自身的電感，單位H</p><p>　

49、　—為平衡點處的電感，單位H</p><p>　　—小球到磁極面積的氣隙，單位m</p><p>　　—電磁鐵中通過的瞬時電流，單位A</p><p>　　R—電磁鐵的等效電阻，單位Ω</p><p><b>　　三、電流控制模型</b></p><p>　　在磁懸浮系統(tǒng)中，對電磁力采用兩種控制策

50、略：電流控制控制方式和電壓控制方式。</p><p>　　建立系統(tǒng)模型就是分析執(zhí)行機構(gòu)，根據(jù)物理規(guī)律，運用數(shù)學(xué)方法將其規(guī)律準確表達。根據(jù)電磁場能量公式可得：</p><p><b>　　(2.7)</b></p><p>　　將式(2.3)代入式(2.7)并取偏導(dǎo)得到電磁力表達式如下：</p><p><b>

51、　　(2.8)</b></p><p>　　假設(shè)鋼球重力方向為正方向，根據(jù)受力平衡有：</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p>　　將式(2.8)代入式(2.9)得：</p><p><b>　　(2.10)</b></p><p>　　假

52、設(shè)鋼球在平衡位置時x＝X，i＝I，則有如下關(guān)系成立：</p><p><b>　　(2.11)</b></p><p>　　由式(2.11)可以看出，對于給定的電流，鋼球的懸浮位置X也為一確定值，整理式(2.11)可得偏置電流：</p><p><b>　　(2.12)</b></p><p>　　

53、已知x＝15.5mm，I＝1.2A</p><p>　　將電磁力方程在平衡位置處泰勒展開，略去高階項得到線性化方程如下</p><p><b>　　(2.13)</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　　(2.14)</b></p&g

54、t;<p>　　將電磁力方程式(2.11)代入式(2.13)可得：</p><p><b>　　(2.15)</b></p><p>　　從而有以下方程成立：</p><p><b>　　(2.16)</b></p><p>　　把式(2.11)代入式(2.19)得出線性化以后的方程：

55、</p><p><b>　　(2.17)</b></p><p>　　根據(jù)平衡方程 ，可得到：</p><p><b>　　(2.18)</b></p><p>　　將式(2.18)代入式(2.17)得：</p><p><b>　　(2.19)</b>

56、;</p><p>　　該式即為磁懸浮開環(huán)系統(tǒng)的電流控制模型。</p><p>　　將式(2.19)作拉氏變換，得：</p><p><b>　　(2.20)</b></p><p>　　整理得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　(2.21)</b></p

57、><p><b>　　其中，</b></p><p><b>　　(2.22)</b></p><p>　　則有開環(huán)系統(tǒng)的特征方程為;</p><p><b>　　(2.23)</b></p><p><b>　　那么開環(huán)極點為：</b>

58、;</p><p><b>　　(2.24)</b></p><p>　　可以看出系統(tǒng)必有一個開環(huán)極點位于復(fù)平面的右半平面，根據(jù)系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)，即系統(tǒng)的開環(huán)極點必須位于復(fù)平面的左半平面時系統(tǒng)穩(wěn)定，可知單自由度磁懸浮球系統(tǒng)的本質(zhì)不穩(wěn)定的。</p><p><b>　　四、電壓控制模型</b></p><

59、p>　　由上節(jié)內(nèi)容可知，電流模型的建立沒有考慮感抗對系統(tǒng)的影響，只是從感性元件儲能的角度加以分析建立。因此為了準確分析磁懸浮系統(tǒng)，從另一方面分析電壓控制模型也很有意義。</p><p>　　同樣根據(jù)上節(jié)內(nèi)容，即式(2.1)有</p><p><b>　　(2.25)</b></p><p>　　電磁鐵與剛體構(gòu)成磁路，磁路的磁阻主要集中在兩

60、者氣隙上，其中有效氣隙磁阻可表示為</p><p><b>　　(2.26)</b></p><p>　　式中，為空氣的導(dǎo)磁率，其中；S為電磁鐵的極面積；x為導(dǎo)軌與磁極表面的瞬時間隙。</p><p>　　由磁路的基爾霍夫定理可知</p><p><b>　　(2.27)</b></p>

61、<p>　　式中，N為電磁鐵線圈匝數(shù)，i為電磁繞組中的瞬時電流，為鐵芯磁通。</p><p>　　將式(2.26)代入式(2.27)，可得到鐵芯磁通為：</p><p><b>　　(2.28)</b></p><p>　　當電磁鐵工作在非飽和狀態(tài)時，電磁鐵的磁鏈為：</p><p><b>　　

62、(2.29)</b></p><p>　　另外，電磁力可由與它磁場同能量的關(guān)系表示為：</p><p><b>　　(2.30)</b></p><p>　　式中，為磁能能量，并且</p><p><b>　　(2.31)</b></p><p>　　將式(2.2

63、8)代入式(2.29)，再代入(2.30)，可得到電磁力為</p><p><b>　　(2.32)</b></p><p><b>　　令，則有</b></p><p><b>　　(2.33)</b></p><p>　　那么由式(2.33)可以得到，電磁吸引力F與氣隙x成

64、非線性的反比關(guān)系，這也是磁懸浮系統(tǒng)會不穩(wěn)定的原因。</p><p>　　綜上所訴，描述磁懸浮系統(tǒng)系統(tǒng)的方程可完全由下面方程確定。</p><p><b>　　動力方程</b></p><p><b>　　電學(xué)方程</b></p><p><b>　　電學(xué)、力學(xué)方程</b><

65、;/p><p><b>　　邊界方程</b></p><p>　　對電、力學(xué)關(guān)聯(lián)方程線性化，</p><p>　　將電磁力在平衡點附近進行泰勒展開，并忽略高階項得：</p><p><b>　　(2.34)</b></p><p>　　式(2.34)中表示在平衡點處(氣隙為、電流

66、為)剛體的電磁力；系數(shù)表示電流變化單位量時電磁力變化的值，表示氣隙變化單位長度時電磁力變化值，則得到</p><p><b>　　(2.35)</b></p><p>　　在電磁鐵繞組中，電壓u的變化為</p><p><b>　　(2.36)</b></p><p>　　式中表示平衡點的電感，&l

67、t;/p><p><b>　　(2.37)</b></p><p><b>　　那么，可以得到</b></p><p><b>　　(2.38)</b></p><p>　　設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)變量為，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程</p><p>　　轉(zhuǎn)化為傳遞函數(shù)形式：&l

68、t;/p><p><b>　　(2.39)</b></p><p><b>　　其中：</b></p><p>　　式中： —小球平衡位置，單位：m</p><p>　　—平很電流，單位：A</p><p>　　系統(tǒng)實際模型參數(shù)為：</p><p>　　那

69、么，由此可得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：</p><p><b>　　(2.40)</b></p><p>　　磁懸浮系統(tǒng)實驗對象的數(shù)學(xué)模型在MATLAB下的編程實現(xiàn)，變量num、den分別為開環(huán)傳遞函數(shù)的分子和分母系數(shù)，A、B、C、D為狀態(tài)空間方程的響應(yīng)矩陣。</p><p>　　數(shù)學(xué)模型求解函數(shù)如圖2.3所示。</p><p>

70、;　　圖2.3 M函數(shù)編輯窗口</p><p>　　第三節(jié) 磁懸浮球系統(tǒng)的搭建</p><p>　　MATLAB是矩陣試驗室（Mtrix Laboratory）的簡稱，是美國MathWorks的商業(yè)數(shù)學(xué)軟件，用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術(shù)計算語言和交互式環(huán)境，包括MATLABH和SIMULINK兩大部分。Simulink是一個用來對動態(tài)系統(tǒng)進行建模、仿真和分析的軟

71、件包它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)也支持具有多種采樣速率的多速率系統(tǒng)[14]。</p><p><b>　　一、開環(huán)系統(tǒng)搭建</b></p><p>　　打開MATLAB軟件，輸入SIMULINK，建立開環(huán)系統(tǒng)仿真新模型如圖2.4所示。</p><p>　　圖2.4 開環(huán)階躍仿真框圖</p><p>　　其

72、中，模塊設(shè)置如圖2.5所示。</p><p>　　圖2.5 傳遞函數(shù)賦值</p><p>　　仿真結(jié)果如圖2.6所示。</p><p>　　圖2.6 開環(huán)階躍響應(yīng)仿真圖</p><p>　　從圖2.6示波器所顯示的特性可以看出，此系統(tǒng)是一開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)，當有一微小擾動時，小球?qū)⑵x平衡位置。因此，我們需要使用某種方法來控制小球的位置。接下來，

73、將使用PID控制器開穩(wěn)定系統(tǒng)。</p><p><b>　　二、閉環(huán)系統(tǒng)搭建</b></p><p>　　進入simulink工作環(huán)境并新建一文件，利用傳遞函數(shù)模塊建立系統(tǒng)的被控對象的傳遞函數(shù)。</p><p>　　圖2.7 閉環(huán)階躍仿真框圖</p><p>　　圖2.7所給模型的模塊分別是傳感器、PID控制器、功率放大

74、器和控制對象。具體模塊參數(shù)設(shè)置如下：</p><p>　　傳感器參數(shù)如圖2.7。即，傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　　(2.41)</b></p><p>　　PID控制器直接選用MATLAB中的給定控制器，參數(shù)如圖2.8所示。</p><p>　　圖2.8 PID控制模塊</p><p>

75、;　　控制對象模塊與開環(huán)時候相同。那么，可以得到其仿真圖如圖2.11所示。</p><p>　　功率放大器的傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　　(2.42)</b></p><p>　　控制對象的參數(shù)設(shè)置如圖2.5所示。</p><p>　　那么得到此時的階躍響應(yīng)曲線如圖2.9。</p><p&

76、gt;　　圖2.9 閉環(huán)階躍響應(yīng)仿真圖</p><p>　　這時所用的參數(shù)為Kp=1.0,Ki=3.0,Kd=0.3。</p><p><b>　　第四節(jié) 本章小結(jié)</b></p><p>　　本章首先對磁懸浮球系統(tǒng)進行分析，介紹了磁懸浮系統(tǒng)的組成，對其工作原理進行介紹。然后，據(jù)此通過電流形式和電壓形式分別進行數(shù)學(xué)建模，并對數(shù)學(xué)模型進行了線性化

77、處理，得到了線性化后的傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程，并在MATLAB環(huán)境下進行建模。最后，對所得控制對象的模型進行開環(huán)控制仿真和閉環(huán)控制仿真。</p><p>　　第三章 控制器的設(shè)計和調(diào)試</p><p>　　第一節(jié) PID控制器的設(shè)計和調(diào)試</p><p><b>　　一、PID控制基礎(chǔ)</b></p><p><b&

78、gt;　　1、模擬PID控制</b></p><p>　　PID（Proportional、Integral and Differential）控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值r（t）與實際輸出值c（t）構(gòu)成控制偏差，將偏差的比例（P）、積分（I）和微分（D）通過線性組合構(gòu)成空置量，對被控對象進行控制。其控制規(guī)律為：</p><p><b>　　(3.1)<

79、/b></p><p><b>　　或?qū)懗蓚鬟f函數(shù)形式</b></p><p><b>　　(3.2)</b></p><p>　　式中，，Kp為比例系數(shù)，Ti為積分時間常數(shù)，Td為微分時間常數(shù)[15]。</p><p>　　系統(tǒng)原理圖如圖3.1所示。</p><p>

80、　　圖3.1 PID控制系統(tǒng)原理框圖</p><p>　　在PID控制中，比例項用于糾正偏差，積分項用于消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，微分項用于減少系統(tǒng)的超調(diào)量，增加系統(tǒng)穩(wěn)定性。PID控制器的性能取決于Kp、Ti和Td這三個系數(shù)，如何選用這三個系數(shù)是PID控制的核心。</p><p>　　PID控制器各校正環(huán)節(jié)的作用如下：</p><p>　?、俦壤h(huán)節(jié) 即是成比例地反映

81、控制系統(tǒng)地偏差信號e（t），偏差一旦產(chǎn)生，控制器立即產(chǎn)生控制作用，以減少偏差。</p><p>　?、诜e分環(huán)節(jié) 主要用于消除靜差，提高系統(tǒng)的無差度。積分作用的強弱取決于時間常數(shù)Ti，Ti越大，積分作用越弱，反之越強。</p><p>　　③微分作用 能反映偏差信號的變化趨勢（變化速率），并能在偏差值變得太大之前，在系統(tǒng)中能引入一個有效地早期修正信號，從而加快系統(tǒng)的動作速度，減小調(diào)節(jié)時間

82、[16]。</p><p><b>　　2、數(shù)字PID控制</b></p><p>　　由于數(shù)字處理器只能計算數(shù)字量，無法進行連續(xù)PID運算，所以若使用數(shù)字處理器來實現(xiàn)PID算法，則必須對PID算法進行離散化。數(shù)字PID調(diào)節(jié)器的設(shè)計可以通過首先用經(jīng)典控制理論設(shè)計出性能比較滿意的模擬調(diào)節(jié)器，然后通過離散化方法得到[17]。</p><p>　　P

83、ID算法的離散化有位置式和增量式兩種常用實現(xiàn)方式[18]。</p><p>　　按模擬PID控制算法，一系列的采樣時刻點kT代替連續(xù)時間t，以矩形法數(shù)值積分近似代替積分，以一階向后差分近似代替微分，即可得位置式離散PID表達式為：</p><p><b>　　(3.3)</b></p><p>　　式中，。T為采樣周期，k為采樣序號，k＝1，2

84、，……，e（k－1）和e（k）分別為第（k－1）和k時刻所得的偏差信號。</p><p>　　當執(zhí)行機構(gòu)需要的是控制量的增量時，采用增量式PID控制算法。增量式PID控制算法表達式為：</p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　PID控制是在經(jīng)典控制理論的基礎(chǔ)上，通過長期的工程實踐總結(jié)形成的一種控制方法。由于目前混合磁

85、懸浮系統(tǒng)的動態(tài)特性還不能完全被人們掌握，很難得到系統(tǒng)精確的數(shù)學(xué)模型，難以滿足應(yīng)用控制理論進行分析和綜合的各種要求。而PID控制方案由于它的靈活性和適應(yīng)性很強，在工程上更加易于實現(xiàn)。而且，它在自動調(diào)節(jié)控制的基礎(chǔ)上還保留人工參與管理和參數(shù)便于調(diào)整的特點，所以PID控制仍然是首選的控制策略之一。</p><p>　　在本設(shè)計中，由于是利用MATLAB來是實現(xiàn)PID控制，故直接調(diào)用MATLAB中自帶的PID模塊，僅需要確

86、定PID控制器的參數(shù)就可以設(shè)計數(shù)字PID控制器。</p><p>　　二、PID控制參數(shù)整定</p><p>　　PID控制算法參數(shù)的整定就是選擇Kp、Kd、Ki幾個參數(shù)，使相應(yīng)計算機控制系統(tǒng)輸出的動態(tài)響應(yīng)滿足幾個性能指示。PID參數(shù)整定一般有兩種方法，理論設(shè)計法和實驗確定法。用理論設(shè)計法確定PID控制參數(shù)的前提是要有被控對象準確的數(shù)學(xué)模型，并且理論設(shè)計法都要求系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)，這些是一

87、般工業(yè)很難做到的。磁懸浮系統(tǒng)是強非線性系統(tǒng)，在實際過程中存在很多非線性因素干擾并且在平衡點線性化得到的系統(tǒng)模型是忽慮了很多非線性因素后得的方法[19]。</p><p><b>　　1、工程試驗法簡介</b></p><p>　　工程試驗法是通過仿真和實際運行，觀察系統(tǒng)對典型輸入作用的響應(yīng)曲線，根據(jù)各控制參數(shù)對系統(tǒng)的影響，反復(fù)調(diào)節(jié)實驗，直到滿意為止，從而確定PID參數(shù)

88、。根據(jù)理論可知：</p><p>　　從系統(tǒng)的穩(wěn)定性、響應(yīng)速度、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)精度等各方面來考慮，各參數(shù)的作用如下：</p><p>　　比例系數(shù)Kp的作用是加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度，提高系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。Kp越大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度越快，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度越高，但是容易產(chǎn)生超調(diào)，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kp的值過小，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調(diào)</p><p><b

89、>　　節(jié)精度。</b></p><p>　　積分作用系數(shù)Ki的作用是消除系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。Ki 越大，及積分時間越短，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差消除的越快，但是Ki過大，在響應(yīng)過程的初期會產(chǎn)生積分飽和現(xiàn)象，從而引起響應(yīng)過程的較大超調(diào)；若Ki過小，將使系統(tǒng)的靜態(tài)誤差難以消除，影響系統(tǒng)的調(diào)節(jié)精度。</p><p>　　微分作用系數(shù)Kd的作用是改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，其作用主要是在系統(tǒng)過程中抑制

90、偏差向任何方向的變化，對偏差變化進行響應(yīng)。Kd過大，會使響應(yīng)過程提前制動，從而影響調(diào)節(jié)時間，同時Kd對于噪聲還有放大作用，會降低系統(tǒng)的抗干擾性能。</p><p><b>　　2、工程實驗法步驟</b></p><p>　　在工程實驗時，參考各參數(shù)對控制過程的響應(yīng)趨勢，實行先比例，后積分，在微分的反復(fù)調(diào)整。其具體整定步驟如下：</p><p>

91、<b>　　整定比例系數(shù)</b></p><p>　　先將PID 控制器其中的Kd 為0，Ki為無窮，使之成為比例控制器，再將比例系數(shù)由小變大觀察相應(yīng)的響應(yīng)，使系統(tǒng)的過渡過程達到4：1衰減的響應(yīng)曲線，最優(yōu)比例系數(shù)由此確定。</p><p><b>　　加入積分環(huán)節(jié)</b></p><p>　　如果只用比例控制，系統(tǒng)的靜差不

92、能滿足要求，則只需加入積分環(huán)節(jié)整定時，先將比例系數(shù)減小10％—20％，以補償加入積分環(huán)節(jié)作用而引起的系統(tǒng)穩(wěn)定性下降，然后由大到小調(diào)節(jié)Ki ，在保持系統(tǒng)良好動態(tài)性能的情況下消除靜差。這一步可以反復(fù)進行，直到達到滿意的控制效果。</p><p><b>　　加入微分環(huán)節(jié)</b></p><p>　　經(jīng)上兩步調(diào)整后，若系統(tǒng)動態(tài)性能不能讓人滿意，可以加入積分環(huán)節(jié)，構(gòu)成PID控

93、制器。整定時，先置Kd為0，然后，在第二步的基礎(chǔ)上在加大Kd，同時相應(yīng)的改變比例系數(shù)和積分系數(shù)，最終達到滿意的控制效果。</p><p>　　三、磁懸浮系統(tǒng)中的PID控制</p><p>　　對于磁懸浮試驗系統(tǒng)輸出量為小球的位置x，其平衡位置為x0（在被控范圍內(nèi)可任意設(shè)定）。系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)G（s）為</p><p><b>　　(3.5)</b&

94、gt;</p><p><b>　　式中：</b></p><p>　　——傳感器的傳遞函數(shù)</p><p>　　——PID控制器傳遞函數(shù)</p><p>　　——受控對象的傳遞函數(shù)</p><p>　　——功率放大器的傳遞函數(shù)</p><p>　　被控對象傳遞函數(shù)是：&l

95、t;/p><p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　PID控制器的傳遞函數(shù)是：</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　傳感器和功率放大器的傳遞函數(shù)分別是：</p><p><b>　　(3.8)</b><

96、/p><p><b>　　(3.9)</b></p><p>　　得到的MATLAB仿真圖如圖2.7所示。</p><p>　　運用工程試驗法對PID控制器的三個參數(shù)進行調(diào)節(jié)。如上章內(nèi)容所講，即圖2.11，圖中階躍響應(yīng)圖表現(xiàn)出穩(wěn)定性、超調(diào)量和響應(yīng)速度都不很理想，需進行調(diào)節(jié)。</p><p>　　調(diào)節(jié)比例系數(shù)Kd，使增快系統(tǒng)響

97、應(yīng)速度，減小系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間</p><p>　　Kp=3.0（Ki=3.0,Kd=0.3） Kp=4.0（Ki=3.0,Kd=0.3）</p><p>　　圖3.2 Kp改變的階躍響應(yīng)圖</p><p>　　調(diào)節(jié)參數(shù)Ki，使更快的消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差</p><p>　　Ki=5.0（Kp=3.0,Kd=0.3） Ki=

98、7.0（Kp=3.0,Kd=0.3）</p><p>　　圖3.3 Ki改變的階躍響應(yīng)圖</p><p>　　調(diào)節(jié)參數(shù)Kd，以保證系統(tǒng)的動態(tài)性能</p><p>　　Kd=0.5（Kp=3.0,Ki=5.0 Kd=0.8（Kp=3.0,Ki=5.0）</p><p>　　圖3.4 Kd改變的階躍響應(yīng)圖</p>&l

99、t;p>　　由圖3.3、圖3、4和圖3、5可知，Kp越大，系統(tǒng)響應(yīng)速度越快，可減少系統(tǒng)調(diào)節(jié)時間；Ki越大，系統(tǒng)靜差消除越快；Kd能有效地減少超調(diào)。</p><p>　　結(jié)合以上規(guī)律多次試驗，進一步調(diào)節(jié)PID參數(shù)，當Kp、Ki和Kd分別取3.0、5.0、0.2可得到如圖3.6所示的階躍響應(yīng)曲線，此時系統(tǒng)的上升時間，超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間等動態(tài)性能綜合相對較好。</p><p>　　圖3.5

100、閉環(huán)階躍響應(yīng)曲線</p><p>　　第二節(jié) 根軌跡控制器的設(shè)計和調(diào)試</p><p>　　一、根軌跡法的基本概念和原理</p><p>　　一個控制系統(tǒng)的全部性質(zhì)，取決與系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，因此，可以根據(jù)閉環(huán)傳遞函數(shù)的極、零點間接地研究控制系統(tǒng)的性能。但對于高價系統(tǒng)，采用解析法求取系統(tǒng)的閉環(huán)極點通常是比較困難的。1948年，W.R.Evans提出了一種求特征根的簡

101、單方法，并且在控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計中得到廣泛的應(yīng)用[20]。這一方法不直接求解特征方程，用作圖的方法表示特征方程的根與系統(tǒng)某一參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系，當這一參數(shù)取特定值時，對應(yīng)的特征根可在上述關(guān)系圖中找到。這種方法叫根軌跡法。根軌跡法具有直觀的特點，利用系統(tǒng)的根軌跡可以分析結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和瞬態(tài)響應(yīng)特性，還可分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。在設(shè)計線性控制系統(tǒng)時，可以根據(jù)對系統(tǒng)性能指標的要求確定可調(diào)整參數(shù)以及系統(tǒng)開環(huán)零極點的位置

102、，即根軌跡法可以用于系統(tǒng)的分析和綜合。</p><p>　　任何一個系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)模型描述。傳遞函數(shù)模型表示為：</p><p><b>　　(3.10)</b></p><p>　　將傳遞函數(shù)的分子和分母多項式分解，其特征根分別是系統(tǒng)的零點和極點，系統(tǒng)的增益是。</p><p>　　設(shè) (3.11)&l

103、t;/p><p><b>　　(3.12)</b></p><p><b>　　則得到零點模型：</b></p><p><b>　　(3.13)</b></p><p>　　根軌跡分析方法是分析開環(huán)系統(tǒng)的零極點位置與某一參數(shù)變化時，該參數(shù)變化的軌跡與組成的閉環(huán)系統(tǒng)零極點之間的關(guān)系

104、，并分析閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和其他性能指標的方法。</p><p>　　根軌跡法較正是基于根軌跡分析法，通過增加新的（或者消去原有的）開環(huán)零點或者開環(huán)極點來改正原根軌跡走向，得到新的閉環(huán)極點從而使系統(tǒng)可以實現(xiàn)給定的性能指標來達到系統(tǒng)設(shè)計要求的。</p><p>　?、僭黾娱_環(huán)極點對系統(tǒng)的影響</p><p>　　首先，增加了新的開環(huán)極點，根據(jù)根軌跡實軸分布法則，可以改變

105、原有根軌跡的實軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向右移。其結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性變壞，這與系統(tǒng)的階數(shù)增加，系統(tǒng)穩(wěn)定性變差的結(jié)果是一致的。</p><p>　　②增加開環(huán)零點對系統(tǒng)的影響</p><p>　　增加了新的開環(huán)零點，根據(jù)根軌跡實軸分布法則，也改變了原有根軌跡的實軸分布情況；另外可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向左移。其結(jié)果是系統(tǒng)穩(wěn)定性得到改善，系統(tǒng)的動態(tài)

106、性能變好，系統(tǒng)的平穩(wěn)性得到滿足。</p><p>　?、墼黾优紭O子對系統(tǒng)的影響</p><p>　　實軸上有一對距離很近的開環(huán)零點和極點，則把他們稱為偶極子。增加偶極子可以做到：</p><p>　?。?）基本不改變原有根軌跡；</p><p>　?。?）改變開環(huán)增益Ko，改善穩(wěn)態(tài)性能。</p><p>　　二、磁懸浮

107、系統(tǒng)的根軌跡校正</p><p>　　由上節(jié)內(nèi)容已經(jīng)得到，開環(huán)傳遞函數(shù)，即控制對象的傳遞函數(shù)為:</p><p><b>　　(3.14)</b></p><p>　　將其轉(zhuǎn)換為零極點形式為：</p><p><b>　　(3.15)</b></p><p>　　用MATLA

108、B可以繪制其根軌跡圖。其中，三個開環(huán)極點分別為：P1=-110.2，P2=-35.56，P3=35.56，畫出的根軌跡圖如圖3.6所示。</p><p>　　圖3.6 開環(huán)根軌跡圖</p><p>　　由圖3.6可以看出，磁懸浮控制系統(tǒng)有一個極點位于右半平面，同時，也有一根軌跡始終在右面，因此，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的，要實現(xiàn)對磁懸浮控制系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，設(shè)計的控制器必須對根軌跡進行校正。</

109、p><p>　　由理論知識可知，增加開環(huán)極點，可以改變原有根軌跡的實軸分布法則，可以改變原有根軌跡的實軸分布情況；其次，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向右移。增加開環(huán)零點，可以也改變原有根軌跡的實軸分布法則，可以使得原系統(tǒng)根軌跡的整體走向在s平面上向左移，增加系統(tǒng)的平穩(wěn)性。結(jié)合上面所畫圖形，需要使得每條根軌跡都要存在于s左半平面，因此，首先添加一新零點將根軌跡往左移動：</p><p&g

110、t;　　那么，可以增加一補償裝置，其電路圖如圖3.7所示。</p><p>　　圖3.7 補償裝置電路圖</p><p>　　該裝置的傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　　(3.16)</b></p><p><b>　　式中，</b></p><p>　　那么，觀察分析

111、圖3.8的根軌跡，只要將此零點的大小設(shè)為（-35.56,0）區(qū)間的任一數(shù)值，只要去適當?shù)脑鲆鎰t有可能達到要求。</p><p>　　假設(shè)取零點為-20，則新的開環(huán)函數(shù)變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(3.17)</b></p><p>　　則此時的根軌跡如圖3.8所示。</p><p><b>　　圖3.8

112、根軌跡圖</b></p><p>　　此時，我們發(fā)現(xiàn)只要取適當?shù)腒gc，有可能得到較好的效果，通過多次用試驗驗證后，發(fā)現(xiàn)將零點取為=-10時響應(yīng)速度和穩(wěn)態(tài)性能較好些。那么，校正裝置的傳遞函數(shù)為：</p><p><b>　　(3.18)</b></p><p>　　其中，為待定補償增益值。</p><p>　

113、　這樣，帶有微分校正裝置的新的開環(huán)傳遞函數(shù)成為</p><p><b>　　(3.19)</b></p><p>　　校正后的根軌跡如圖3.9所示。</p><p>　　圖3.9 較正后根軌跡圖</p><p>　　經(jīng)過多次試驗，當取時，系統(tǒng)性能相對更好一些，其階躍響應(yīng)曲線如圖3.10所示。</p><

114、;p>　　圖3.10 補償后階躍響應(yīng)圖</p><p>　　由圖3.10可以看出，經(jīng)校正后系統(tǒng)能夠穩(wěn)定，反應(yīng)速度也較快，但存在較大的振蕩，可以再設(shè)計一阻尼系數(shù)比較大的校正裝置使系統(tǒng)性能更好。</p><p>　　第三節(jié) 頻率響應(yīng)控制器的設(shè)計和調(diào)試</p><p>　　一、頻率響應(yīng)法的基本概念和分析</p><p>　　當輸入信號是階躍信

115、號或脈沖信號時，常采用響應(yīng)曲線分析方法對控制系統(tǒng)進行分析。當輸入時正弦周期函數(shù)信號時，改變輸入信號的頻率，可得到系統(tǒng)輸出與輸入振幅之比和頻率的關(guān)系和輸出與輸入相位差和頻率的關(guān)系，這兩種關(guān)系稱為系統(tǒng)的頻率特性。前者稱為幅頻特性，后者稱為相頻特性。在頻率分析法中，以控制系統(tǒng)的頻率特性作為數(shù)學(xué)模型，以伯德圖或者其他圖表作為分析工具，來研究、分析控制系統(tǒng)的動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能。頻率分析法也適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)，由于時間信號在變換域中為無窮多頻譜成分

116、的線性組合，而線性定常系統(tǒng)滿足疊加原理，所以，分析、研究線性系統(tǒng)對于時間信號的所有頻譜成分的響應(yīng)特性，就是頻率分析的應(yīng)用目的。</p><p>　　以傳遞函數(shù)作為線性定常系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，表示為</p><p><b>　　(3.20)</b></p><p>　　這是一個復(fù)自變量的復(fù)變函數(shù)。由于，令s的實部為零時，就可以得到另一個復(fù)變函數(shù)表示為

117、</p><p><b>　　(3.21)</b></p><p>　　復(fù)變函數(shù)的自變量為頻率，因此將其稱為頻率特性。</p><p>　　由于的實部和虛部分別都是的函數(shù)，所以可以表示為：</p><p><b>　　(3.22)</b></p><p><b>　

118、　式中，為的實部；</b></p><p><b>　　為的虛部。</b></p><p>　　另外，還可以用的模和幅值來表示為</p><p><b>　　(3.23)</b></p><p><b>　　式中，，為的幅值；</b></p><

119、p><b>　　，為的相位。</b></p><p>　　線性系統(tǒng)在輸入一個正弦信號時，它的穩(wěn)態(tài)輸出響應(yīng)也是一個同頻率的正弦信號，但是幅值與相位不同。</p><p>　　在式(3.23)中，幅值是頻率的函數(shù)，隨頻率的變化而變化，因此稱為的幅頻特性。幅角也是的函數(shù)，隨頻率的不同有不同的相位角，因此稱為的相頻特特性。這樣，一復(fù)變函數(shù)來表示的頻率特性常常以和來表示。

120、</p><p>　　從直觀上看，可以把頻率特性定義為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號的復(fù)數(shù)符號與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)符號之比，但是，為了研究頻率特性更為廣泛的內(nèi)涵，必須從信號與系統(tǒng)的關(guān)系出發(fā)，研究其更為深刻的實質(zhì)涵義。因此，可以用時間信號在變換域中的表示來確定頻率特性的定義。</p><p>　　頻率法分析是基于頻率特性，借助于各種作圖法來進行系統(tǒng)的分析與綜合的。因此，頻率特性有以下兩種作圖表示方法