畢業(yè)設計--基于模糊算法的倒立擺控制算法設計

1、<p><b>　　倒立擺系統(tǒng)的自調式</b></p><p><b>　　模糊算法設計</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。倒立擺系統(tǒng)涉及到多變量，非線性

2、，強耦合的自然不穩(wěn)定性問題。對于倒立擺系統(tǒng)的研究對于火箭發(fā)射姿態(tài)保持以及直升機飛行控制領域都有著現(xiàn)實意義，相關領域的研究成果已經應用于多種現(xiàn)實控制問題的領域當中。</p><p>　　本文主要針對于一級倒立擺模型（即平衡車），以及二級倒立擺系統(tǒng)的控制系統(tǒng)算法設計及應用分析。在針對于倒立擺控制系統(tǒng)的算法設計過程中，采用PID以及模糊控制算法的交叉結合運用，以期對該系統(tǒng)的控制有良好的穩(wěn)定性，魯棒性和適應性。</

3、p><p>　　在針對于算法設計的過程中，將在控制器中設計恰當的自調因子，來提高控制器的適應程度。主要研究工作如下：</p><p>　　給出倒立擺系統(tǒng)模型，并定性分析。對倒立擺系統(tǒng)的能控性以及能觀性進行分析，并計算相對能控性，說明倒立擺系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近時能控能觀的。</p><p>　　2. 設計普通模糊控制器以及帶有自適應因子的模糊控制器。倒立擺系統(tǒng)控制算法主要設

4、計到PID，模糊控制，擬神經網絡控制以及最優(yōu)控制等算法，本研究主要集中于設計基本的模糊控制器，并設計線性自調因子，提高控制器的適應性，并在最后以仿真的形式說明控制器的實用性。</p><p>　　3．對控制方案進行討論并進行控制仿真。目前對于二級倒立擺的控制主要是平衡狀態(tài)下的倒立，以及二級倒立擺的自擺起功能，本研究主要涉及到前者，但提出兩種不同的控制方案，并與所設計的控制算法相結合，最后得到仿真結果。</p

5、><p>　　4.在本研究中設計完成控制算法后，將所設計的算法應用到平衡車上。平衡車車體采用MPU6050（加速度計與陀螺儀）為角度傳感器，STM32RBT6為微控制器實現(xiàn)平衡功能。 </p><p>　　關鍵詞： 倒立擺 模糊控制器 PID 平衡</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　

6、　Inverted pendulum control system is a complex, unstable, nonlinear systems, theoretical teaching and conduct all kinds of control control is the ideal platform for experiments. Inverted pendulum system involves many var

7、iables, nonlinear, the natural instability of strongly coupled. Research for inverted pendulum system for rocket launch posture to maintain as well as helicopter flight control fields have significance, related fields of

8、 research results have been applied to a variety of reality-c</p><p>　　This article primarily focuses on an inverted pendulum model, and the double inverted pendulum control system design and application ana

9、lysis of algorithms. For inverted pendulum control system design process, cross-combination of PID and fuzzy control algorithm used in order to control the system has good stability, robustness and adaptability.</p>

10、;<p>　　For algorithm design process, design the appropriate adjusting factor in your controller, to increase the controller's comfort level. Main jobs are as follows:</p><p>　　1. pendulum model is

11、 presented and qualitative analysis. Inverted pendulum system controllability and observability analysis and calculate relative controllability, indicating when the pendulum near the equilibrium of controllability and ob

12、servability.</p><p>　　2. the ordinary fuzzy controller design and fuzzy controller with Adaptive factor. Inverted pendulum system control algorithm design to PID, fuzzy control and neural network control and

13、 optimal control algorithms, this research focuses on the design of basic fuzzy controller design of linear self-regulating factor, improving the adaptability of the controller, and finally to the simulation of the contr

14、oller in the form of practicality.</p><p>　　3. Discussion of control programmes and control simulation. Current control for double inverted pendulum is a balance inverted pendulum, as well as the double inve

15、rted pendulum's swing function, this study relates to the former, but proposes two different control schemes, and combined with the control algorithms, and finally the simulation results.</p><p>　　4. In

16、this study design after completing the control algorithms, the algorithm is applied to the balance of the car, designed by. Balanced vehicle MPU6050 (accelerometers and gyroscopes) for the angle sensor,STM32RBT6 for micr

17、o-controller to achieve balance.</p><p>　　Keywords: Balance Inverted pendulum Fuzzy controller PID</p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　電子科技大學中山學院1</p><p><b

18、>　　畢業(yè)設計論文1</b></p><p>　　倒立擺系統(tǒng)的自調式1</p><p><b>　　模糊算法設計1</b></p><p><b>　　摘要2</b></p><p>　　Abstract3</p><p><b>　　目

19、錄5</b></p><p><b>　　第一章緒論6</b></p><p>　　1.1.本設計的目的和意義6</p><p><b>　　1.2.概況7</b></p><p>　　1.3.本設計的要求8</p><p>　　1.4.擬采用

20、的方法及技術8</p><p>　　第二章倒立擺系統(tǒng)數學模型與分析11</p><p>　　2.1.二級倒立擺的基本結構11</p><p>　　2.2.二級倒立擺系統(tǒng)數學模型12</p><p>　　2.3.二級倒立擺系統(tǒng)的定性分析14</p><p>　　2.3.1系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析15</

21、p><p>　　2.3.2系統(tǒng)的能控能觀性判斷15</p><p>　　2.3.3 系統(tǒng)參數矩陣的離散化16</p><p>　　2.4.本章小結17</p><p>　　第三章模糊控制器算法設計17</p><p>　　3.1.模糊控制理論簡介17</p><p>　　3.2.模

22、糊控制器的設計18</p><p>　　3.2.1 輸入模糊化18</p><p>　　3.2.2模糊推理機及知識庫18</p><p>　　3.2.3輸出清晰化20</p><p>　　3.2.4 模糊控制器推理過程21</p><p>　　3.3.融合函數的設計23</p><p&

23、gt;　　3.4.建立在上述算法上的二級倒立擺系統(tǒng)仿真24</p><p>　　3.5.本章小結27</p><p>　　第四章變論域模糊控制器算法設計28</p><p>　　4.1.變論域的提出28</p><p>　　4.2.變論域算法的設計28</p><p>　　4.3.變論域模糊控制器

24、的仿真30</p><p>　　4.4.本章小結33</p><p>　　第五章模糊神經網絡控制器設計33</p><p>　　5.1.模糊神經網絡的提出33</p><p>　　5.2.模糊神經網絡的推導34</p><p>　　5.2.1 模糊神經網絡的前向算法34</p>&l

25、t;p>　　5.2.2 模糊神經網絡的學習算法36</p><p>　　5.3.模糊神經網絡的仿真39</p><p>　　5.4.本章小結41</p><p><b>　　緒論</b></p><p><b>　　本設計的目的和意義</b></p><p>

26、;　　倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控制實驗的理想實驗平臺。倒立擺系統(tǒng)涉及到多變量，非線性，強耦合的自然不穩(wěn)定性問題。倒立擺系統(tǒng)成本廉價，建模容易，是研究經典控制算法，最優(yōu)控制算法以及智能控制算法的理想實驗平臺。</p><p>　　研究倒立擺控制系統(tǒng)，對于控制算法的研究有著深遠的意義。在面對適應性，</p><p>　　魯棒性，快速性等控制

27、器特性抽象的理論概念，能夠更加直觀，更加清晰的反應</p><p>　　出其抽象特性。目前國內外的倒立擺系統(tǒng)主要有以下幾種</p><p>　　1.1各類倒立擺系統(tǒng)</p><p>　　由于倒立擺系統(tǒng)與機器人行走，火箭發(fā)射姿態(tài)等實際應用問題都有一定的相似性，因此倒立擺系統(tǒng)的控制算法被廣泛應用到各個領域當中。對倒立擺這樣的一個典型被控對象進行研究，無論在理論上和方法上

28、都具有重要意義。不僅由于其級數增加而產生的控制難度是對人類控制能力的有力挑戰(zhàn)，更重要的是實現(xiàn)其控制穩(wěn)定的過程中不斷發(fā)現(xiàn)新的控制方法，探索新的控制理論，并進而將新的控制方法應用到更廣泛的受控對象中。各種控制理論和方法都可以在這里得以充分實踐，并且可以促成相互間的有機結合。</p><p><b>　　概況</b></p><p>　　早在20世紀60年代，人們就開始了對

29、倒立擺系統(tǒng)的研究。1966年Schacfer和Cannon應用Bang-Bang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。到了20世紀60年代后期，倒立擺作為一個典型不穩(wěn)定、非線性的例證被提出。自此，對于倒立擺系統(tǒng)的研究便成了控制界關注的焦點。倒立擺的種類很多，有懸掛式倒立擺、平行倒立擺、環(huán)形倒立擺、平面倒立擺；倒立擺的級數可以是一級、二級、三級、四級乃至多級；倒立擺的運動軌道可以是水平的，還可以是傾斜的(這對實際機器人的步行穩(wěn)定控制研究更有

30、意義)；控制電機可以是單電機，也可以是多級電機。 目前有關倒立擺的研究主要集中在亞洲，如中國的北京師范大學、北京航空航天大學、中國科技大學；日本的東京工業(yè)大學、東京電機大學、東京大學；韓國的釜山大學、忠南大學，此外，俄羅斯的圣彼得堡大學、美國的東佛羅里達大學、俄羅斯科學院、波蘭的波茲南技術大學、意大利的佛羅倫薩大學也對這個領域有持續(xù)的研究。近年來，雖然各種新型倒立擺不斷問世，但是可自主研發(fā)并生產倒立擺裝置的廠家并不多。目前，國

31、內各高校基本上都采用香港固高公司和加拿大Quanser公司生產的系統(tǒng)；其它一些生產廠家還包括（</p><p>　　倒立擺的研究具有重要的工程背景： </p><p>　　(1)機器人的站立與行走類似雙倒立擺系統(tǒng)，盡管第一臺機器人在美國問世至今已有三十年的歷史，機器人的關鍵技術——機器人的行走控制至今仍未能很好解決。 </p><p>　　(2)

32、在火箭等飛行器的飛行過程中，為了保持其正確的姿態(tài)，要不斷進行實時、控制。 </p><p>　　(3)通信衛(wèi)星在預先計算好的軌道和確定的位置上運行的同時，要保持其穩(wěn)定的姿態(tài)，使衛(wèi)星天線一直指向地球，使它的太陽能電池板一直指向太陽。 </p><p>　　(4)偵察衛(wèi)星中攝像機的輕微抖動會對攝像的圖像質量產生很大的影響，為了提高攝像的質量，必須能自動地保持伺服云臺的穩(wěn)定，

33、消除震動。 </p><p>　　(5)為防止單級火箭在拐彎時斷裂而誕生的柔性火箭(多級火箭)，其飛行姿態(tài)的控制也可以用多級倒立擺系統(tǒng)進行研究。由于倒立擺系統(tǒng)與雙足機器人，火箭飛行控制和各類伺服云臺穩(wěn)定有很大相似性，因此對倒立擺控制機理的研究具有重要的理論和實踐意義。 </p><p>　　倒立擺控制系統(tǒng)是一個復雜的、不穩(wěn)定的、非線性系統(tǒng)，是進行控制理論教學及開展各種控

34、制實驗的理想實驗平臺。對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如非線性問題、魯棒性問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗新的控制方法是否有較強的處理非線性和不穩(wěn)定性問題的能力。同時，其控制方法在軍工、航天、機器人和一般工業(yè)過程領域中都有著廣泛的用途，如機器人行走過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等。 </p><p><b>

35、;　　本設計的要求</b></p><p>　　由于在實際生活中控制器參數難整定，針對這種情況，控制領域的很多學者設計了很多自適應控制器以實現(xiàn)參數的自整定。本項目利用模糊控制的參數易調整，構架清晰的特點，設計出參數自整定的控制器，以提高系統(tǒng)控制的快速性和準確性。本項目的特點在于1.自適應性參數非線性整定，2.控制器可適用于非線性和線性系統(tǒng)。</p><p>　　目前工業(yè)界普遍采

36、用PID控制器，但是PID控制器有一定的局限性，需要經驗豐富的工程師對PID三個參數進行整定，所以造成了控制器參數難以整定的局面。對于控制器而言，主要要求是“快，準，穩(wěn)”，對于類神經網絡的自適應性控制器而言，可以達到參數自整定的目的，并提高控制器的性能，可以用于工業(yè)生產和各種需要高性能控制器的場所。</p><p>　　本研究將設計的模糊控制器應用于倒立擺系統(tǒng)當中，通過仿真及實物研究對控制器的實用性進行分析。&l

37、t;/p><p><b>　　擬采用的方法及技術</b></p><p>　　1.運用lagrange方程建立二級倒立擺的數學模型</p><p>　　在lagrange方程的基礎上建立數學模型，在線性化以后，得到最后的狀態(tài)方程，并定性分析系統(tǒng)的能控能觀性。</p><p>　　2.建立以誤差與誤差變化量為輸入的模糊控制器&

38、lt;/p><p>　　模糊控制理論是建立在模糊集合論，模糊語言變量以及模糊邏輯推理基礎上的一種計算機數字控制理論。它因在設計系統(tǒng)時不需要建立被控對象的精確數學模型而得到了廣泛應用。所以模糊控制在研究像倒立擺這類系統(tǒng)中有著很大的優(yōu)勢。從線性控制與非線性控制的角度分類，模糊控制是一種非線性控制；從控制器的智能性來看，模糊控制屬于智能控制的范疇，而且它已經成為目前智能控制的一種重要而有效的實現(xiàn)形式。</p>

39、<p>　　圖1.4 模糊控制器基本結構</p><p>　　本研究擬采用兩變量輸入的模糊控制器，對倒立擺系統(tǒng)進行調控。以期對該系統(tǒng)的控制有良好的穩(wěn)定性，魯棒性和適應性。</p><p><b>　　3.設計控制方案</b></p><p>　　控制方案一如圖1.5，采用三路模糊控制器分別控制倒立擺的角度1，角度2，以及相對位

40、移r。這種控制方法對于數據融合的處理有嚴重的缺陷，三路控制對倒立擺系統(tǒng)控制量的直接相加對于參數的整定非常困難。</p><p>　　圖1.5 控制方案一</p><p>　　控制方案二如圖1.6，在查閱大量的相關資料后發(fā)現(xiàn)，應用最優(yōu)控制的線性二次型調節(jié)器LQR作為融合函數，最后給模糊控制器傳送誤差及誤差變化量，來對系統(tǒng)進行調節(jié)。通過Q,R矩陣的定義，采用試湊法確定相對應的Q,R矩陣。這樣

41、可以大大減少控制算法的計算時間，提高了算法效率，而且為數據融合提供了依據。本研究同樣也將對此種控制方案進行討論。</p><p>　　圖1.6 控制方案二</p><p>　　4.采用STM32微處理器搭建平衡小車平臺，將設計的算法應用于平衡小車的平衡問題上。</p><p>　　倒立擺系統(tǒng)數學模型與分析</p><p>　　由于倒立擺系統(tǒng)

42、的復雜性，強耦合性，導致倒立擺系統(tǒng)的精確模型難以建立。在建立倒立擺模型的過程中，經常采用忽略一定的因素來建立數學模型，比如忽略電機的黏性摩擦，空氣阻力等等。并在建立數學模型后認為擺角的范圍相對較小，對數學模型進行線性化，最終得到倒立擺的數學模型。</p><p>　　在建立數學模型的過程中，通常采用的有兩種方法：1.牛頓力學分析法，2. 歐拉拉格朗日原理（lagrange方程）。在運用牛頓力學分析法的時候，通常要

43、考慮到系統(tǒng)中的各個部分以及整體的受力情況，并計算以x,y坐標為參考下的力矩平衡，最后得到系統(tǒng)的微分方程。可見，牛頓力學分析法相對來說較為復雜。</p><p>　　二級倒立擺的基本結構</p><p>　　本研究所采用的二級倒立擺由車輪，一級車體，二級擺桿，及控制電路組成。力矩電機為二級倒立擺提供動力，使導軌上的小車在導軌上來回運動，使兩根擺桿豎立平衡，</p><p&

44、gt;　　并保持平衡狀態(tài)如圖2.1。</p><p>　　圖2.二級倒立擺基本結構</p><p>　　二級倒立擺的控制環(huán)節(jié)有計算機，功放驅動電路，伺服電機，以及擺桿和傳感器組成。在控制回路中，光電編碼器作為傳感器測量擺桿1與擺桿2的相對角度，并傳送回計算機，計算出相應的控制數據，再由功放驅動電路放大信號控制伺服電機，并最終達到平衡狀態(tài)。如圖2.2。</p><p>

45、;　　圖2.2 二級倒立擺控制系統(tǒng)組成框圖</p><p>　　二級倒立擺系統(tǒng)數學模型</p><p>　　本處將基于歐拉拉格朗日原理（lagrange方程）對標準的二級倒立擺系統(tǒng)建立數學模型。在分析力學中，動力系統(tǒng)的拉格郎日量即拉格朗日函數，通常是描述了整個物理系統(tǒng)中的動力部分的函數。對于經典物理系統(tǒng)中，通常將朗格朗日量定義為系統(tǒng)的主動能減去系統(tǒng)的勢能。下表為模型中涉及符號說明</

46、p><p>　　在建立數學模型的時候，我們從系統(tǒng)的總動能和系統(tǒng)的總勢能量方面卻考慮，由上知除車輪與地板的摩擦因數較大外，其余摩擦因數很小，所以在此忽略耗散能（即摩擦阻力的作用）。</p><p>　　取狀態(tài)變量 輸出變量為</p><p>　　可以得知系統(tǒng)的狀態(tài)方程應該為</p><p><b>　　(2.1)</b>&l

47、t;/p><p>　　在這里我們直接給出二級倒立擺的狀態(tài)方程的參數矩陣如下：</p><p><b>　　(2.2)</b></p><p><b>　　(2.3)</b></p><p><b>　　(2.4)</b></p><p><b>　

48、　(2.5)</b></p><p>　　由以上給出的各矩陣可以計算出參數矩陣如下：</p><p><b>　　(2.6)</b></p><p><b>　　(2.7)</b></p><p><b>　　(2.8)</b></p><p&g

49、t;　　其中與分別為三階零矩陣與三階單位矩陣。忽略一級車體的轉軸摩擦阻力和二級擺桿的轉軸摩擦阻力，即</p><p><b>　　(2.9)</b></p><p>　　得到在連續(xù)系統(tǒng)下的參數矩陣如下：</p><p><b>　　(2.10)</b></p><p><b>　　(2.1

50、1)</b></p><p><b>　　(2.12)</b></p><p>　　在以下的研究分析中，我們將以以上參數矩陣確立的狀態(tài)方程為標準來對控制算法進行分析與討論。</p><p>　　二級倒立擺系統(tǒng)的定性分析</p><p>　　在20世紀50年代的航天技術飛速發(fā)展的條件下，控制理論在1960年左

51、右得到了飛速發(fā)展?？柭到y(tǒng)的將狀態(tài)空間法引入到控制理論當中，并提出了能控性，能觀測性的問題。狀態(tài)的能控性問題是指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，而能觀測性問題是指系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量。</p><p>　　總體而言，能控性分析是在說明系統(tǒng)的狀態(tài)能否被輸入量所控制，而能觀性</p><p>　　分析是在說明系統(tǒng)的初始狀態(tài)能否被觀測來得到。</p><p

52、>　　在此處引出能控性判據與能觀性判據。</p><p>　?。芸匦裕┚€性定常系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是矩陣的秩為n。</p><p>　?。苡^性）對于線性定常系統(tǒng) 狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是矩陣的秩為n。·····</p><p>　　在此處引出矩陣條件數的定義，條件數是線性方程組Ax=b的解對b中

53、的誤差或不確定度的敏感性的度量。數學定義為矩陣A的條件數等于A的范數與A的逆的范數的乘積，即</p><p><b>　　(2.13)</b></p><p>　　式（2.13）中表示矩陣的范數。</p><p>　　對于矩陣A的條件數而言，條件數越大說明矩陣A的數值穩(wěn)定性越差，相當于在Ax=b的線性方程組中，當b改變很小時，A的改變很大，反之

54、亦反。</p><p>　　這對于控制系統(tǒng)中的參數矩陣A來說，當參數矩陣A的條件數越大，系統(tǒng)對于外部干擾越敏感，穩(wěn)定性越差；當參數矩陣A的條件數越小，系統(tǒng)對于外部干擾越不敏感，穩(wěn)定性越好。</p><p>　　在判斷參數矩陣A的條件數時，選取矩陣的2范數，即。</p><p>　　可以求得 (2.14)</p>

55、<p>　　式（2.14）中為特征值，為矩陣A的共軛轉置矩陣?？梢缘贸鰠稻仃囋谌?范數下的條件數為</p><p><b>　　(2.15)</b></p><p>　　2.3.1系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析</p><p>　　在此處討論系統(tǒng)的穩(wěn)定性采用李亞普諾夫第一方法，又稱間接法。對于線性系統(tǒng)，求出參數矩陣的特征值就可以判斷其穩(wěn)定性。下

56、面給出李亞普諾夫第一方法定理。</p><p>　　如果式（2.1）中的參數矩陣A的所有特征值都具有負實部，則該系統(tǒng)的平衡狀態(tài)時漸進穩(wěn)定的，且系統(tǒng)的穩(wěn)定性與高階導數項無關。如果在A的特征值中，至少有一個實部為正的特征值，則原非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　由MATLAB計算參數矩陣A（2.10）的特征值為</p><p>　　由上可以看出開環(huán)極

57、點有兩個具有正實部，故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。</p><p>　　2.3.2系統(tǒng)的能控能觀性判斷</p><p>　　在文中已經給出了系統(tǒng)能觀性與能控性的判據，在此處計算得出對于線性系統(tǒng)，定義能控矩陣</p><p>　　由MATLAB計算得出rank=6。</p><p><b>　　故系統(tǒng)是能控的。</b></p&g

58、t;<p>　　同理定義能觀矩陣由MATLAB計算得出</p><p><b>　　，故系統(tǒng)是能觀的。</b></p><p>　　由式（2.15）給出的條件數計算可以求得，</p><p>　　在此可以看出參數矩陣A的條件數很大。對于上文中求得的各參數矩陣，由于忽略了耗散能作用，并且所得到的模型是線性化以后的，實際上二級道理擺系

59、統(tǒng)的非線性非常嚴重，故所得參數矩陣也不非常準確，但從條件數可以看出，該系統(tǒng)的相對能控性較小，換而言之，在實際的控制中，難度較大。</p><p>　　2.3.3 系統(tǒng)參數矩陣的離散化 </p><p>　　由于最終實現(xiàn)方式擬采用微處理器，故在仿真時將參數矩陣離散化，并在離散化以后的參數矩陣下進行系統(tǒng)仿真。</p><p>　　取采樣周期Ts=0.01s，采用零階保持

60、器的方式，最終得到離散化以后的參數矩陣為</p><p><b>　　(2.16)</b></p><p><b>　　(2.17)</b></p><p><b>　　(2.18)</b></p><p>　　由上述參數矩陣可得離散化后的狀態(tài)方程為：</p>&

61、lt;p><b>　　(2.19)</b></p><p>　　以下道理擺系統(tǒng)的仿真將建立在上式基礎上。</p><p><b>　　本章小結</b></p><p>　　在本章中，介紹了本次研究的二級倒立擺系統(tǒng)的基本結構，給出了用拉格朗日方程建立的系統(tǒng)狀態(tài)方程，并根據實驗情況設定了相應的實驗數據。在第三小節(jié)中，根據

62、二級倒立擺系統(tǒng)的模型進行了定性分析，驗證了二級倒立擺系統(tǒng)的能控性和能觀測性，并說明了二級倒立擺形同控制難度。在章節(jié)最后，根據所確定的數學模型進行離散化處理，為下文中的系統(tǒng)仿真做好了準備。</p><p><b>　　模糊控制器算法設計</b></p><p><b>　　模糊控制理論簡介</b></p><p>　　模糊控

63、制是建立在模糊數學理論之上的控制方法。在傳統(tǒng)的控制領域當中，控制器的動態(tài)信息是影響系統(tǒng)的關鍵因素，系統(tǒng)的動態(tài)信息越詳細，就可以達到越精確的控制目的。</p><p>　　1965年，美國L.A.Zadeh創(chuàng)立了模糊集合論，對不明確系統(tǒng)的控制做出了極大的貢獻。在二十世紀七十年代以來，一些實用的模糊控制器的出現(xiàn)，讓人們將目光逐漸投向這一領域。</p><p>　　1974年，英國E.H.Mam

64、dani首次根據模糊控制語句組成了模糊控制器，并應用于鍋爐和蒸汽機的控制，獲得了成功。八十年代以來，其典型應用已經深入生活中的方方面面，例如家用電器設備的智能洗衣機，空調，冰箱等，以及工業(yè)生產中的控制領域，例如水凈化處理，發(fā)酵過程等。</p><p>　　在此之后，模糊控制器得到了廣泛應用，并與人工智能的相關領域，例如神經網絡，基因算法相結合，設計出一系列的智能控制算法，為解決工業(yè)上的控制問題給出了良好的方案。&

65、lt;/p><p>　　模糊控制器主要包括了輸入模糊化，知識庫，解模糊化等部分。如圖3.1。</p><p>　　圖3.1 模糊控制器基本結構</p><p><b>　　模糊控制器的設計</b></p><p>　　3.2.1 輸入模糊化</p><p>　　輸入模糊化一般采用隸屬度函數，隸屬

66、度函數即為輸入變量在論域中對于某一集合的隸屬程度。隸屬的函數的選擇一般有兩種，一種為高斯函數，另一種為三角形函數。對于這兩種隸屬度函數的選擇沒有明顯的差別，為方便計算，在此處選用三角形函數。</p><p>　　取輸入變量誤差E[-1,1]，以及誤差變化量Ec[-1,1]，并將輸入論域劃分為5個集合。最終得到如圖3.2的三角形隸屬度函數。其中NB表示輸入變量為負且大，NS表示輸入變量為負且小，Z表示輸入變量趨近于

67、0，PS表示輸入變量為正且小，PB表示輸入變量為正且大。通過三角形隸屬度函數的模糊化，可將輸入變量模糊化且得到在論域中的隸屬度值。</p><p>　　如圖3.2 三角形隸屬度函數</p><p>　　3.2.2模糊推理機及知識庫</p><p>　　模糊推理機采用IF…THEN…的格式進行模糊推理，即如果輸入變量為某種情況，則輸出應該為某種情況。顯然這是對于單

68、輸入而言的，對于該要設計的</p><p>　　模糊控制器而言，在此必須采用雙輸入，故將輸入變量組成了一種二維的情況。</p><p>　　在此處先給出知識庫的結構以及知識庫中的內容，并在后文中解釋說明。</p><p><b>　　圖3.3 知識庫</b></p><p>　　圖3.3中所示的知識庫為一個二維知識表。

69、該表格中有輸入變量E于Ec，正如輸入模糊化中所述，將輸入變量的論域劃分為NB，NS，Z，PS，PB（其語言意思在上文中已經給出），同理將輸出變量的論域同樣劃分為NB，NS，Z，PS，PB。在這個知識庫表格中，其輸入E與Ec對應的即為輸出變量的語言值。</p><p>　　在此處將簡單的推導知識庫中信息所得到的方法，定義E=Yd-Y，其中Yd為系統(tǒng)輸出的期望值，Y為此刻的系統(tǒng)輸出值，而U控制器的輸出變量，故E為系統(tǒng)

70、的誤差。即一般的閉環(huán)控制系統(tǒng)方框圖如圖3.4。</p><p>　　圖3.4 閉環(huán)控制系統(tǒng)的方框圖</p><p>　　現(xiàn)假設誤差E為NB，Ec為NB，即為E=Yd-Y為負且絕對值很大，而Ec為誤差E的變化量，同樣為負且很大，故誤差在增大，那么對于語言E=NB，Ec=NB可以解讀為系統(tǒng)的輸出大于期望輸出，且系統(tǒng)輸出在增大?？梢员硎緸閳D3.5，更易于理解。</p><

71、p>　　圖3.5 E為NB，Ec為NB時Y的情形</p><p>　　從圖3.5中可以看出k時刻的Y大于Yd，此時E為NB，且在k+1時刻Y在增大，更加偏離與期望輸出Yd。在這種情況下，根據經驗可以讓控制器輸出一個向下的很大的力，將輸出Y拉回期望值附近，故定義此時輸出的力為NB。</p><p>　　將上述推理過程用IF…THEN…語言來描述，即為</p><

72、p>　　IF E=NB AND EC=NB , THEN U=NB.</p><p>　　同理，再假設E=PB，Ec=PB , 此時Y的情形可用圖3.6表示。</p><p>　　圖3.6 E為PB，Ec為PB時Y的情形</p><p>　　即可解讀為系統(tǒng)輸出Y小于期望值并在偏離期望值，故此時輸出一個力將其拉回期望值附近，定義此力的語言值為NB。將

73、上述推理過程用IF…THEN…語言來描述，即為</p><p>　　IF E=PB AND EC=PB , THEN U=PB.</p><p>　　對于圖3.3中給出的知識庫，即有25條此類的規(guī)則，最終組成模糊推理機的知識庫，并給出一個模糊的控制量。</p><p>　　3.2.3輸出清晰化</p><p>　　在上文中我們已經知道

74、了知識庫以及知識庫中輸出力的語言值。在輸出清晰化的過程中，我們將模糊推理機輸出的模糊量，通過輸出清晰化，最終得到輸出清晰量，并將用于執(zhí)行機構。在輸出清晰化的過程中，將輸出論域U規(guī)定在[-1,1],</p><p>　　并將其均分為NB，NS，Z，PS，PB（其語言意思在上文中相同）。故其論域可如圖3.7所示。</p><p>　　圖3.7 輸出論域的劃分</p><

75、p>　　3.2.4 模糊控制器推理過程</p><p>　　在這一小節(jié)中將詳細的解釋從輸入變量到輸出值的一個推理過程。</p><p>　　在此處假設輸入變量E=0.37，Ec=-0.62，即可知改系統(tǒng)的誤差是0.37，誤差的變化量為-0.62。故可知在對應的隸屬度函數中，得到相應的隸屬度值，如圖3.8和圖3.9。</p><p>　　圖3.8 在E=0.

76、37論域上得到的隸屬度值</p><p>　　圖3.9 在Ec=-0.62論域上得到的隸屬度值</p><p>　　在圖3.8與圖3.9中可以得到輸入變量E分別可屬集合PS與Z，且可以得到在Z集合上的隸屬度值=0.74，在PS集合上的隸屬度值。輸入變量Ec分別可屬集合NB和NS，且可以得到在NB集合上的隸屬度值=0.76，在NS集合上的隸屬度值。由上可知如圖3.10中框內啟用的規(guī)則。&l

77、t;/p><p>　　圖3.10 在E=0.37，Ec=-0.62時啟用的規(guī)則庫</p><p>　　用IF…THEN…語言表示即為</p><p>　　IF E=Z AND EC=NB , THEN U=NB</p><p>　　IF E=Z AND EC=NS , THEN U=NS</p><p>

78、　　IF E=PS AND EC=NB , THEN U=NS</p><p>　　IF E=PS AND EC=NS , THEN U=Z</p><p>　　可見在IF…THEN…語言中對于兩個變量的關系用AND，在數學式中AND可取相乘或者去最小兩種算法，在本文中此處取相乘。根據重心法解模糊的方法，可以得到精確的輸出值U。即</p><p>&

79、lt;b>　?。?.1）</b></p><p><b>　　（3.2）</b></p><p><b>　?。?.3）</b></p><p><b>　　（3.4）</b></p><p><b>　　由上式知</b></p&g

80、t;<p><b>　　(3.5)</b></p><p>　　即可計算出U=-0.75。</p><p>　　以上即為模糊控制器計算輸出值U的計算過程，對于不同的輸入變量，以此類推即可。由于模糊控制器在計算中的這種插值特性，故將論域劃分的越精細的時候，計算出的輸出值U也將越精確。</p><p><b>　　融合函數的

81、設計</b></p><p>　　從上文中不難發(fā)現(xiàn)，模糊控制器的輸入變量為二維變量，而對于二級倒立擺系統(tǒng)而言輸入變量有 這六個輸入變量，這對于模糊控制器而言是不可行，如要采用上述模糊控制器，一定要設計融合函數來將六個輸入變量進行整合。</p><p>　　首先要利用最優(yōu)控制理論計算出一個最優(yōu)反饋矩陣K，即令作為最優(yōu)控制器的輸出變量時可以讓二級倒立擺系統(tǒng)基本穩(wěn)定。即</p&

82、gt;<p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　下面介紹利用LQR（線性二次型最優(yōu)控制理論）來設計最優(yōu)反饋矩陣的過程。</p><p>　　已知最優(yōu)性能控制指標函數為</p><p><b>　　(3.7)</b></p><p>　　通過求解Ricatti方程：&l

83、t;/p><p><b>　　（3.8）</b></p><p>　　來求得矩陣P。最終可以為使式3.7中的J最小，可以得到</p><p><b>　?。?.9）</b></p><p>　　在最優(yōu)反饋矩陣設計的過程中，LQR參數的選擇非常重要。矩陣Q與矩陣R對閉環(huán)控制系統(tǒng)的動態(tài)性能非常重要，是用來調

84、節(jié)輸入變量與輸出變量之間權重的。在一般情況下，R增大時，輸出變量減小，動態(tài)波動減小，跟隨速度變慢；Q矩陣中對應于某一項的參數增大，那么其對應項的響應速度變快，而其他項的響應速度將變緩。故矩陣Q與R的參數與狀態(tài)變量時相互耦合的，在選擇時應該綜合選取。</p><p>　　用MATLAB的dlqr函數計算可得到最優(yōu)反饋矩陣</p><p>　　K=[11.7074, -316.6423, 45

85、0.7791, -1.7100, -44.8912, 118.5615] (3.10)</p><p>　　最后利用最優(yōu)反饋矩陣K來構造融合函數F(X)：</p><p><b>　　(3.11)</b></p><p>　　其中為矩陣K的2范數。565.399</p><p>　　由式（3.11）最終計算出 (3

86、.12)</p><p><b>　　故最終得到矩陣</b></p><p><b>　　(3.13)</b></p><p>　　在融合函數設計以后，控制系統(tǒng)的方框圖如圖3.11</p><p>　　圖3.11 通過融合函數后的系統(tǒng)方框圖</p><p>　　建立在上述

87、算法上的二級倒立擺系統(tǒng)仿真</p><p>　　在上文中，已經建立了二級倒立擺的狀態(tài)方程，以及第三章中設計的模糊控制器和最優(yōu)反饋矩陣組成的融合函數，在本小節(jié)中將對二級倒立擺系統(tǒng)進行控制仿真。該仿真在VS2010中編寫模糊控制器的C代碼，并依照系統(tǒng)方框圖的流程建立模型，并仿真得到輸入變量有以及E與Ec的輸出曲線圖。選取初始值為r=0,（角度單位為rad）。</p><p>　　如圖3.12至

88、圖3.14</p><p>　　圖3.12 的仿真曲線</p><p>　　圖3.13 的仿真曲線</p><p>　　圖3.13 的仿真波形</p><p>　　圖3.13 融合后E的仿真曲線</p><p>　　圖3.13 融合后Ec的仿真曲線</p><p>　　從圖3

89、.12至圖3.14來看，整體上模糊控制器和融合函數可以對二級倒立擺系統(tǒng)起到控制作用，但對于控制效果而言，是不盡人意的。在系統(tǒng)輸出曲線在100步后出現(xiàn)高頻振蕩，糾其原因是由于模糊控制器本身帶來的不精確性，在接近平衡點位置時無法輸出一個精確的控制量來對形同進行整定。從和的曲線來看，在初始狀態(tài)偏離平衡位置約6度角時，是可以達到控制效果的。從整體曲線上可以發(fā)現(xiàn)，總體上看系統(tǒng)輸出的超調量很小，是差強人意的。</p><p>

90、;<b>　　本章小結</b></p><p>　　在本章中，利用模糊算法的理論，設計出模糊控制器，并為了降低輸入變量的維度，結合了最優(yōu)控制理論，設計了基于最優(yōu)反饋矩陣的融合函數。在這些算法的理論基礎上，畫出控制系統(tǒng)的方框圖，并在VS2010建立模型，最終輸出系統(tǒng)仿真曲線。仿真結果證明，模糊控制器以及融合函數對二級倒立擺系統(tǒng)有一定的整定作用，為下一章節(jié)中設計的自適應性算法奠定了基礎。<

91、/p><p>　　變論域模糊控制器算法設計</p><p><b>　　變論域的提出</b></p><p>　　在20世紀90年代，對于倒立擺系統(tǒng)的控制，人們仍停留在一級或者二級之上，對于三級倒立擺系統(tǒng)的控制，世界上還沒有得到完全解決，在此時我國李洪興教授首次提出變論域的模糊控制器，并在20世紀末完成了四級倒立擺系統(tǒng)的仿真，在20世紀初期，李洪興

92、教授帶領的團隊成功應用變論域理論設計出四級倒立擺系統(tǒng)。變論域理論的提出很好的解決了模糊算法的不精確性，并能在最終輸出變量更加智能化。</p><p>　　變論域模糊控制器是一種建立在模糊控制器基礎之上，并相應的設計出自適應性算法的控制器，其自適應性主要表現(xiàn)在輸入論域隨著誤差的改變而改變，輸出論域隨著誤差的累積而改變。根據上一章節(jié)中的推導不難發(fā)現(xiàn)，經典模糊控制器相當于PD控制器，但其智能性是由于PD控制器的。而在變

93、論域模糊控制器當中，就相當于在原有的PD控制器當中引入了變量I，是誤差得到累積，并最終達到良好的控制效果。</p><p><b>　　變論域算法的設計</b></p><p>　　變論域算法的設計是基于以下兩個準則的：第一，對于E與Ec的論域，將隨著輸入變量E與Ec的大小變化而變化；第二，對于輸出變量的論域，其變化速度應與系統(tǒng)誤差E成正比。這是兩條設計變論域算法的準

94、則，下文中也將利用這兩條準則來設計變論域因子?，F(xiàn)假設E的論域為[]，Ec的論域為[]，輸出變量U=。</p><p>　　對于第一條規(guī)則E與Ec的論域將隨著輸入變量E與Ec的大小變化而變化。從經驗的角度出發(fā)，當輸入變量增大時，為了得到相應的準確值，應該要增加輸入變量的論域，以期能將輸入變量包含在論域中，這樣才可以得到相對準確的輸出值；當輸入變量減小時，為了得到相應的準確值，應該要減小輸入變量的論域，以期能夠在論域

95、中得到更加精確的輸出值。從圖4.1中即可發(fā)現(xiàn)這種變化帶來的自適應不僅有利于擴展論域，并在某種程度上提高了控制器的適應性。</p><p>　　圖4.1 輸入變量的論域變化</p><p>　　對于自適應性因子α，一般選取為</p><p><b>　　（4.1）</b></p><p>　　其中，k > 0。在選

96、取，k=1時，的圖像如圖4.2，</p><p><b>　　圖4.2 的圖像</b></p><p>　　可見圖4.2中，輸入變量的論域是非線性變化的，當輸入變量越小時，論域越小，當輸入變量越大時，論域越大。通過調整k值可以改變函數的非線性程度，改變的大小，可以改變輸出論域的最小值。</p><p>　　對于第二條規(guī)則，輸出變量的論域的變化速

97、度應與系統(tǒng)誤差E成正比。即=kE,其中k>0。由于是調整最終輸出變量的大小，正如位置式PID的計算式</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p>　　中對輸入變量誤差E的累積，Ki量對于消除系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有著非常重要的意義。</p><p>　　在此處根據規(guī)則二，可以設計出變量因子的計算式，</p><

98、;p><b>　　(4.3)</b></p><p>　　其中Ki>0，k>0，>0。</p><p>　　變論域模糊控制器的仿真</p><p>　　在此處選用變論域模糊控制器對二級倒立擺控制系統(tǒng)進行仿真，其中選取E的論域為[]，Ec的論域為[]，輸出變量U=。對于的參數選擇，選取，k1=1。對于的參數選擇，選取，k2

99、=1。對于的參數選擇，選取，k3=1。選取初始值為r=0,（角度單位為rad）。仿真曲線如圖4.3至圖4.7，其中藍色曲線為直接用模糊控制器輸出的仿真曲線，紅色曲線為變論域模糊控制器輸出的仿真曲線。</p><p>　　圖4.3 的仿真曲線</p><p>　　圖4.4 的仿真曲線</p><p>　　圖4.5 的仿真曲線</p><p>　

100、　圖4.6 融合后E的仿真曲線</p><p>　　圖4.7 融合后Ec的仿真曲線</p><p>　　從如圖4.3至圖4.7中紅色曲線的動態(tài)性能可以看出明顯優(yōu)于藍色曲線。首先從100步輸出后的曲線看，模糊控制器輸出的曲線有高頻振蕩，而變論域模糊控制器輸出的曲線明顯沒有高頻振蕩，這對于控制系統(tǒng)來說非常有意義。再從系統(tǒng)的超調量來看，模糊控制器帶來的超調量明顯大于變論域模糊控制器所帶來

101、的超調。從穩(wěn)定時間來看，由于不論是模糊控制器還是變論域模糊控制器都表現(xiàn)良好。這也充分證明了變論域自適應性因子設計的合理性。</p><p><b>　　本章小結</b></p><p>　　在本章中給出了變論域模糊控制器的自適應性因子的設計過程，當然這一自適應性因子的數學證明相對復雜，但是李洪興教授已經在論文中給出詳細的證明，根據李洪興教授論文中給出的推導可以設計出不

102、同的自適應性因子，在這里也不再仿真比較。對于變論域模糊控制器的表現(xiàn)還是很令人滿意的，無論是相對于普通模糊控制器的穩(wěn)態(tài)還是動態(tài)性能都有明顯的提高。</p><p>　　變論域模糊控制器自適應性因子的設計帶給模糊控制器很大的發(fā)展空間，這也為下一章節(jié)中的內容提供了條件。</p><p>　　模糊神經網絡控制器設計</p><p><b>　　模糊神經網絡的提出&

103、lt;/b></p><p>　　二十世紀后期，隨著模糊算法在工業(yè)領域的廣泛應用和人工智能算法的興起，以及系統(tǒng)對控制器的要求越來越苛刻，控制領域的專家將模糊算法和人工智能相結合，應用于智能控制領域，為解決控制難題找到一個新的突破口。隨之模糊算法和人工智能的相結合在越來越多的場合出現(xiàn)。</p><p>　　人工神經網絡即Artificial Neural Network是模擬人的大腦的

104、推理方式，進行分布式并行算法的數學模型。在神經網絡基礎上的模型，以及各種算法研究的相結合，人工神經網絡已經應用于眾多領域，例如模式識別，系統(tǒng)辨識，信號處理，以及數據分析等。</p><p>　　模糊神經網絡即Fuzzy Neural Network是模糊算法和神經網絡相結合的產物。FNN分為前向算法和學習算法，前向算法的基本推理過程與上文中提到的模糊算法設計的推理過程相類似，而學習算法是運用BP（Back Pro

105、pagation）算法即誤差反向傳播算法來設計對前向算法過程進行監(jiān)督式學習的。簡而言之，前向算法即與模糊算法類似，然而學習算法為這一過程提供了學習依據，來調整模糊算法中的一些靜態(tài)值，使其更具適應性和智能性。這一算法也為眾多領域提供了解決問題的方案。</p><p><b>　　模糊神經網絡的推導</b></p><p>　　5.2.1 模糊神經網絡的前向算法<

106、/p><p>　　模糊神經網絡的基本框架如圖5.1，其分為五層，第一層為輸入層，第五層為輸出層，中間有三層隱藏層，這三層處理信號的方式與模糊算法相類似。模糊神經網絡中的神經元的輸入輸出定義與普通的人工神經網絡神經元的輸入輸出信號定義有所區(qū)別。在這里假設表示第j層的第i個神經元的輸出式，表示第j層的第i個神經元的輸入式。</p><p>　　圖5.1 模糊神經網絡的框架圖</p>

107、<p>　　第一層：輸入層，在這一層中將有兩個輸入信號分別為E與Ec，第一層起到傳遞信號的作用，這一層將把信號傳到下一層進行處理，其表達式為</p><p><b>　　(5.1)</b></p><p>　　第二層：隱藏層，在這一層相當于模糊算法設計中的求隸屬度函數。其中上三個神經元分別對應輸入變量E所對應的三個論域集合的數值，而下三個神經元分別對應輸入

108、變量Ec所對應的論域集合數值。只不過，在此處所選用的隸屬度函數不是上文中所說的三角隸屬度函數，而是高斯隸屬度函數。在這里定義為第二層中，第一層第i個神經元對應的第j個神經元的輸出，同理為第二層中，第一層第i個神經元對應的第j個神經元的輸入。并定義為第一層第i個神經元對應的第j個神經元高斯函數的中心值，而為第一層第i個神經元對應的第j個神經元高斯函數的寬度。其表達式為,</p><p><b>　　(5.

109、2)</b></p><p>　　第三層：隱藏層，這一層相當于模糊算法中推理過程中的一步。在這一層當中</p><p>　　將對第二層輸出信號進行取小或者相乘處理，對于相乘或者是取小沒有統(tǒng)一定論，不同的設計只對設計學習算法時有一定的影響。在這里，將取第二層輸出做相乘處理。可以表示為，</p><p><b>　　(5.3)</b>&

110、lt;/p><p>　　第四層：隱藏層，這一層還稱為歸一化層，相當于模糊算法中的重心法清晰化的過程。這一層中將對第三層的輸出信號歸一化處理，其可以表示為，</p><p><b>　　(5.4)</b></p><p>　　第五層：輸出層，這一層相當于模糊算法中的清晰化的一步。在這一步中將有對應不同輸出因子的不同權值?，F(xiàn)假設輸出的值分別為</

111、p><p>　　分別表示三個不同的輸出量。定義為第i個輸出的第j條神經線的權值，故輸出層的表達式為</p><p><b>　　(5.5)</b></p><p>　　以上即為前向算法的推理過程，在這一推理過程中，與模糊算法的推理過程十分相似，在一些的處理后，最終得到輸出的清晰化結果。</p><p>　　5.2.2 模糊

112、神經網絡的學習算法</p><p>　　上文中已經介紹，模糊神經網絡的學習算法是運用BP算法推導出來的，在此給出每一層的層誤差推導，并最終得到模糊神經網絡中靜態(tài)值的調節(jié)。在這一模糊神經網絡中，最終目的是調節(jié)模糊控制器中論域的大小，即為調節(jié)假設的大小。首先定義系統(tǒng)誤差，將根據這一誤差來推導。</p><p>　　首先計算第五層的層誤差，</p><p>　　由系統(tǒng)誤差

113、的定義是可知</p><p>　　再次即可推導權值的一階梯度，即</p><p>　　又由于式（5.5）得到</p><p><b>　　由上可知</b></p><p>　　再推導第四層的層誤差</p><p>　　又由于式（5.5）得到</p><p><b>

114、;　　故</b></p><p>　　再推導第三層的層誤差</p><p><b>　　由</b></p><p><b>　　故最后可以得到</b></p><p><b>　　再推導，</b></p><p><b>　　由于&

115、lt;/b></p><p>　　故可以寫成矩陣的形式</p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　F= </b></p><p><b>　　即</b></p><p>　　綜上所述，每一層的層誤差的算法已經推導出。故

116、可以寫出需調整學習參數的一階梯度</p><p>　　最后得到參數調整的學習算法為</p><p>　　至此，模糊神經網絡的學習算法已經基本推導完成，但是對于在推導中出現(xiàn)一個量為 ，由于 ， ，，若是要直接推導出的具體表達式，這是很難做到的。在一些論文中，對于該項的推導也給出了相關證明。更多的是給系統(tǒng)的一個信息量，而不需要提供精確值，故采用sgn()函數來取得其信息量</p>