關(guān)于.聲波和電磁波的類比模型(翻譯)

1、<p>　　關(guān)于聲波—電磁波的類比模型</p><p>　　Jose M. Carcione，F(xiàn)abio Cavallini</p><p>　　1994.07.01收到；1994.11.02修改</p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　我們通過研究波傳播的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征及能量平衡，對電磁波和

2、聲波進(jìn)行了類比。研究表明，從理論上來看，TEM（橫向）模式的電磁波的傳播與在單斜晶系介質(zhì)的對稱面中的粘彈性SH波的傳播完全類似。與電磁方程式相對應(yīng)的粘彈性模型是三維的Maxwell基本定律。類比模型把質(zhì)點(diǎn)速度類比于磁場，把應(yīng)力類比于電場，柔度類比于介電常數(shù)，黏度的倒數(shù)類比于電導(dǎo)率，密度類比于磁導(dǎo)率。所以，用相同的方法計(jì)算兩種波的相速、慢度、衰減量、品質(zhì)因子和能速是可行的。因?yàn)橛形锢砩⒑透飨虍愋缘暮纳r(shí)，精確性是很重要的，所以在做數(shù)值實(shí)

3、驗(yàn)時(shí)我們選用了時(shí)域譜技術(shù)，從而證實(shí)了由于黏度和電導(dǎo)率的各向異性而產(chǎn)生的耗散效應(yīng)。針對各向異性的彈性介質(zhì)，找到了一種解析方法，并運(yùn)用對應(yīng)原則將其擴(kuò)展到粘彈性介質(zhì)和電磁領(lǐng)域。最后，用數(shù)值方法解決了兩個(gè)對應(yīng)的問題，并用原本為解決粘彈性介質(zhì)中波的傳播問題而設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)代碼解決了一個(gè)電磁問題。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　電磁波已經(jīng)被廣泛用于研

4、究地球電氣特性的探測技術(shù)。我們知道，傳導(dǎo)性嚴(yán)重依賴于巖石特性如孔隙幾何形狀、黏土含量和水的電導(dǎo)率等。特別是在煤礦開采中，電磁波可用于定位地質(zhì)擾動(dòng)的區(qū)域，如沙道和斷層等。另一方面，聲波是地球物理學(xué)中對碳?xì)浠衔锟辈榈闹饕ぞ?。地震勘探法是以不均勻地質(zhì)層和界面對聲波的反射為基礎(chǔ)的。</p><p>　　早在17世紀(jì)，人們就知道光波和聲波具有相似性。Hooke認(rèn)為光是介質(zhì)中的質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)位移，它以無限的速度傳播。后來，在1

5、9世紀(jì)，Maxwell和Lord Kelvin廣泛地運(yùn)用物理和數(shù)學(xué)上的類比來研究聲學(xué)和電磁學(xué)中的現(xiàn)象。實(shí)際上，Maxwell正是通過與彈性位移的類比，才把位移電流的概念引入到電磁方程中。重新改造粘彈性動(dòng)力學(xué)方程組，使其格式上與Maxwell方程組嚴(yán)格對應(yīng)，這是有可能的。很多情況下，這種格式上的類比可以變成數(shù)學(xué)上的等價(jià)，例如兩個(gè)領(lǐng)域中的問題可以用相同的解析（或數(shù)值）方法解決。</p><p>　　本論文闡釋了描述各

6、向異性介質(zhì)中TEM波傳播的二維Maxwell方程組與在Maxwell各向異性的粘彈性固體中傳播的SH波的波動(dòng)方程組是完全相似的。Maxwell很有可能知道這種等價(jià)，他意識到了導(dǎo)電過程（絕緣體的靜電感應(yīng)）和介質(zhì)黏性（彈性）的相似。事實(shí)上，Maxwell在他分別于1861年和1862年分兩期發(fā)表的論文《On physical lines of force》中，已經(jīng)完成了光的電磁理論工作，其中包括傳導(dǎo)電流和位移電流的概念。另一方面，他于186

7、7年提出了粘彈性模型。他似乎通過與描述電能在電纜中傳導(dǎo)和耗散過程的Thomson的電報(bào)方程組的對比，總結(jié)出了粘彈性流變學(xué)。</p><p>　　可以將這種類比關(guān)系應(yīng)用于以下幾個(gè)方面。第一，可以簡單地修改現(xiàn)存的粘彈性動(dòng)力學(xué)模型代碼，來模擬電磁波傳播；第二，根據(jù)對應(yīng)原則獲得的一組解決粘彈性SH波問題的方法，可用于測試電磁方面的代碼；再者，各向異性的粘彈性介質(zhì)中平面諧波的傳播理論也可用于各向異性的電磁波的傳播。尤其是，

8、各向異性效應(yīng)的引入與關(guān)于儲存有石油和天然氣的沉積結(jié)構(gòu)有關(guān)。確實(shí)，人們都知道，聲波在嵌入在各向異性的頁巖中的裂紋石灰?guī)r和薄層飽和砂巖層中傳播，其速度和衰減量的各向異性特征是很重要的。此外，電導(dǎo)率的值跨度很大（可能從，這可能意味著各向異性程度很高。在某些情況下，像在頁巖和砂巖的夾層間，縱向傳導(dǎo)率是橫向傳導(dǎo)率的9倍之多。從這個(gè)意義上講，電磁衰減效應(yīng)在碳?xì)浠衔锏闹甘旧戏浅Ｖ匾?lt;/p><p>　　本論文的結(jié)構(gòu)如下：第

9、2、3節(jié)介紹了電磁波和聲波的方程組；第4節(jié)確立了類比模型，包括和電路的對應(yīng)關(guān)系；第5節(jié)分析了描述波的傳播過程的運(yùn)動(dòng)和能量方面的問題。最后，在第6節(jié)，我們用數(shù)值方法求解了場方程組，并將結(jié)果與理論預(yù)測進(jìn)行了對比。另外，用關(guān)于各向異性的電磁波傳播的問題對數(shù)值模型的計(jì)算程序進(jìn)行了測試。</p><p>　　Maxwell方程組</p><p>　　Maxwell方程組用三維矢量符號表示如下：<

10、;/p><p><b>　　(1)</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　其中，、、、分別是電場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度、磁場強(qiáng)度、電位移矢量，和分別是電流密度和磁流密度。</p><p>　　一般而言，以上矢量是在笛卡爾坐標(biāo)系和時(shí)間變量之上設(shè)立的。假設(shè)已知和是由后文的方程(5

11、)明確給出的電場已知函數(shù)，則方程(1)和(2)由6個(gè)標(biāo)量方程和12個(gè)未知標(biāo)量組成。另外六個(gè)標(biāo)量方程是本構(gòu)關(guān)系，在各向同性介質(zhì)中，可表示如下：</p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　(4)</b></p><p>　　其中和分別是介電常數(shù)和磁導(dǎo)率矩陣，圓點(diǎn)表示普通矩陣乘法。</p>

12、;<p>　　此外，電流密度表示如下：</p><p><b>　　(5)</b></p><p>　　其中，是電導(dǎo)率矩陣，是已知的源基準(zhǔn)值（在第四節(jié)中值為0）。</p><p>　　將方程(3)、(4)、(5)代入到方程(1)、(2)中得：</p><p><b>　　(6)</b>

13、</p><p><b>　　(7)</b></p><p><b>　　聲場方程組</b></p><p>　　聲場的基本方程組可用質(zhì)點(diǎn)速度和應(yīng)力的一階時(shí)間導(dǎo)數(shù)來表示。根據(jù)Auld[8]，柯西方程組可表示如下：</p><p><b>　　(8)</b></p>

14、<p><b>　　其中，</b></p><p><b>　　(9)</b></p><p>　　是應(yīng)力矢量，是質(zhì)點(diǎn)速度矢量，是密度，是體力矢量。而且，本文規(guī)定微分算子</p><p><b>　　(10)</b></p><p><b>　　應(yīng)變可由位

15、移給出：</b></p><p><b>　　(11)</b></p><p><b>　　其中，，，等等。</b></p><p>　　應(yīng)變和質(zhì)點(diǎn)速度關(guān)系如下：</p><p><b>　　(12)</b></p><p>　　Auld（見

16、參考文獻(xiàn)[8,p.101]）在建立聲波—電磁波類比模型時(shí)使用了三維Kelvin-Voigt模型：</p><p><b>　　(13)</b></p><p>　　其中，和分別是（Kelvin-Voigt）彈性和黏性矩陣。</p><p>　　將此關(guān)系與一維Kelvin-Voigt應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系進(jìn)行對比，參考文獻(xiàn)[9,公式(10.43)]。用方

17、程(12)消去應(yīng)力的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，并定義如下矩陣：</p><p><b>　　可得下面的方程：</b></p><p><b>　　(14)</b></p><p>　　Auld確立了方程(8)、(14)與(6) 、(7)的類比關(guān)系，其中，對應(yīng)于，對應(yīng)于。</p><p>　　為獲得更好的對應(yīng)關(guān)系，我

18、們引入三維Maxwell本構(gòu)關(guān)系[10]來代替方程(13):</p><p><b>　　(15)</b></p><p>　　其中，和分別是（Maxwell）彈性和黏性矩陣。</p><p>　　將上面的關(guān)系和一維Maxwell應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系（[9,方程(10.34)]）作對比。用方程(12)消去應(yīng)變，可得類比于(7)的方程：</p&g

19、t;<p><b>　　(16)</b></p><p><b>　　定義兼容矩陣：</b></p><p><b>　　(17)</b></p><p><b>　　和矩陣：</b></p><p><b>　　(18)</

20、b></p><p><b>　　方程(16)變?yōu)椋?lt;/b></p><p><b>　　(19)</b></p><p>　　一般而言，這種類比并不意味著聲波方程和電磁波方程能解決相同的數(shù)學(xué)問題。事實(shí)上，是一個(gè)六維的矢量，是一個(gè)三維矢量。此外，聲波方程涉及到的是的矩陣（介質(zhì)特性），而電磁波方程涉及的是矩陣。然而，在

21、二維情況下，通過使用Maxwell模型能建立兩者之間的完全等價(jià)，這將在下一節(jié)中討論。</p><p>　　聲波—電磁波的類比模型</p><p>　　一般而言，現(xiàn)實(shí)存在的介質(zhì)的特性可由對稱的各向異性的介電常數(shù)張量和電導(dǎo)率張量描述。例如，假設(shè)：</p><p><b>　　(20)</b></p><p><b>

22、;　　(21)</b></p><p>　　張量(20)和(21)對應(yīng)于一種單斜晶體，它的對稱面垂直于y軸。通過坐標(biāo)變換，這些對稱矩陣總可以對角化。這種變換被稱為介質(zhì)的主系，并給出了這兩個(gè)張量矩陣的三個(gè)主元素。在各向同性的立方體介質(zhì)中，三個(gè)主元素相等。在四方和六方物質(zhì)中，這三個(gè)參數(shù)中的兩個(gè)是相等的。在斜方晶系、單斜晶系和三斜晶系介質(zhì)中，這三個(gè)參數(shù)均不相等。對大多數(shù)物質(zhì)來說，磁導(dǎo)率張量是各向同性的。在這

23、種情況下，我們設(shè)磁導(dǎo)率張量，其中，是磁導(dǎo)率，是的單位矩陣。</p><p>　　現(xiàn)在，假設(shè)電磁波在(x,z)面?zhèn)鞑ィ趛軸方向上物質(zhì)的特性保持不變。那么，分量、、和分量、、是不相關(guān)的。不考慮電源電流，前面的三個(gè)場分量遵循TEM波（橫向的電場和磁場）微分方程：</p><p><b>　　(22)</b></p><p><b>　　(

24、23)</b></p><p><b>　　(24)</b></p><p>　　這些各向異性方程可推廣到Greenfield和Wu[1]使用的各向同性模型。一方面，在聲波傳播過程中，如果介質(zhì)在y軸方向的特性相同，則SH波有它自身的（不相關(guān)的）微分方程，在文獻(xiàn)中被稱為SH波動(dòng)方程（參考文獻(xiàn)[11]）。在單斜晶系介質(zhì)的鏡面對稱面中，這是完全正確的。在這種平面

25、上的傳播是純粹的反平面應(yīng)變運(yùn)動(dòng)，而且這是在所有傳播角度上有純SH波存在的最普遍的狀態(tài)。另一方面，純SH波在六方介質(zhì)中的傳播是一個(gè)衰減的過程。一組嵌入在橫向上各向同性的結(jié)構(gòu)中的平行斷裂可由單斜晶系介質(zhì)代替。當(dāng)這種介質(zhì)的鏡面對稱面是垂直的，純粹的反平面應(yīng)變波是SH波。此外，單斜晶系介質(zhì)還包括很多其他的對稱性更高的介質(zhì)。弱四方介質(zhì)、強(qiáng)三方介質(zhì)和斜方晶系介質(zhì)都包含于單斜晶系集。</p><p>　　在一種單斜晶系介質(zhì)中，

26、彈性和黏性矩陣及它們的逆矩陣有以下形式[8]：</p><p><b>　　(25)</b></p><p>　　衰減所具有的任何對稱性都遵循物質(zhì)的晶體形態(tài)對稱性。被稱為諾依曼原理的經(jīng)驗(yàn)法則可證明這種論斷[12]。</p><p>　　描述SH波運(yùn)動(dòng)的相關(guān)元素為：</p><p><b>　　(26)</

27、b></p><p>　　然后，可由方程組(8)的第二行和(19)的第四、六行得出微分方程：</p><p><b>　　(27)</b></p><p><b>　　(28)</b></p><p><b>　　(29)</b></p><p>

28、<b>　　其中，</b></p><p>　　，，， (30)</p><p>　　，，， (31)</p><p>　　硬度和黏度(I,J=4,6)分別是矩陣和的(I,J)元素。</p><p>　　通過下面的替換，可將方程(22)-(24)轉(zhuǎn)化為方程(27)-(29)，反之亦然。</p>

29、<p><b>　　(32)</b></p><p><b>　　(35)</b></p><p><b>　　(34)</b></p><p><b>　　(35)</b></p><p><b>　　(36)</b>&l

30、t;/p><p>　　其中，為簡單起見，和被重新定義為的矩陣。</p><p>　　引入的硬度和黏性矩陣：</p><p>　　， (37)</p><p>　　我們可得到二維等式和，這兩個(gè)等式分別與三維方程(17)和(18)相類似。因此，基于Maxwell流變學(xué)的各向異性SH波動(dòng)方程在數(shù)學(xué)上等價(jià)于強(qiáng)迫項(xiàng)是磁流的各向異性

31、的Maxwell方程。</p><p>　　為了對場方程有一個(gè)直觀的概念，并引入品質(zhì)因子的概念，我們進(jìn)行了下面的研究（可由圖1和圖2表示）。眾所周知，Maxwell流變模型的機(jī)械表示是一個(gè)彈簧和一個(gè)阻尼器的串聯(lián)。例如，圖1表示的模型可構(gòu)建出的方程(29)，其中和分別是阻尼器和彈簧的應(yīng)變。事實(shí)上，和及表明方程(29)成立；確實(shí)，如果，那么、。</p><p>　　圖1. 對應(yīng)于應(yīng)力-應(yīng)變本構(gòu)

32、關(guān)系中xy分量的Maxwell粘彈性模型，</p><p>　　其中，阻尼器和彈簧產(chǎn)生的應(yīng)變分別是和。</p><p>　　圖2. 等價(jià)于圖1所示的粘彈性模型的電路圖，其中R和C分別是電阻和電容，</p><p>　　V是電壓，和是電流。其類比關(guān)系是電阻損耗的能量等價(jià)于阻尼器失去的</p><p>　　能量，貯存在電容器中的能量等價(jià)于貯存在彈

33、簧中的勢能。另一方面，磁能等</p><p><b>　　價(jià)于彈性動(dòng)能。</b></p><p>　　用圖表示電磁場方程并不容易。然而，如果我們用相應(yīng)的集總參數(shù)系統(tǒng)來代替分布參數(shù)系統(tǒng)，那么這樣的解釋將會(huì)變得更直觀。確實(shí)，若我們考慮一下方程(23)，并為簡單起見，假定，那么方程的等號右邊變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　參考電路方程：

34、</b></p><p>　　正如圖2所表示的，它對應(yīng)于一個(gè)電容器和一個(gè)電阻器的并聯(lián)，其中和分別是電阻值和電容值，是電壓（也就是電場的積分），和是電流值（V/R對應(yīng)于）。圖1所示的串聯(lián)線路可能類比于圖2所示的并聯(lián)電路。這咋一看讓人很驚訝，但這是體現(xiàn)在場方程和對應(yīng)關(guān)系(32)-(36)的數(shù)學(xué)原理的結(jié)果。圖2所示的電路圖的一個(gè)重要參數(shù)是電容的損耗因數(shù)。該電路可被認(rèn)作電阻消耗了電容貯存的能量。在角頻率為的諧

35、波電壓的作用下，總電流并不和電壓正交，而是兩者的相角相差（）。結(jié)果，損耗因數(shù)為：</p><p><b>　　(38)</b></p><p>　　使上述式子的分子和分母分別都乘以電壓，可得出電阻的耗散功率和電容的無功功率之間的關(guān)系：</p><p><b>　　(39)</b></p><p>　

36、　電路的品質(zhì)因子是損耗因數(shù)的倒數(shù)。用介電常數(shù)和電導(dǎo)率分別替換電容和電阻，可得到電磁場的品質(zhì)因子為：</p><p><b>　　(40)</b></p><p>　　在下節(jié)結(jié)束，上述的品質(zhì)因子公式將會(huì)從聲波和電磁波的類比模型中得到。</p><p>　　運(yùn)動(dòng)和能量問題的研究</p><p>　　描述波運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)量有慢度、

37、相速度和衰減矢量。本節(jié)首先對聲波進(jìn)行了分析，然后通過等價(jià)關(guān)系(32)-(36)將分析結(jié)果應(yīng)用于電磁波。對于角頻率為的簡諧平面波，在不考慮體力的情況下，柯西方程(8)變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(41)</b></p><p>　　另一方面，廣義的Maxwell應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系(15)有下面的形式：</p><p><b>　　(

38、42)</b></p><p>　　其中，是復(fù)硬度矩陣，表示如下：</p><p><b>　　(43)</b></p><p>　　上述方程的所有矩陣都是六維的。然而，由于只存在SH模式，通過(21)形式的矩陣，可以得到一個(gè)相似的方程。在這種情況下，應(yīng)力和應(yīng)變分別簡化為：</p><p>　　，

39、 (44)</p><p><b>　　其中是位移場。</b></p><p>　　在均勻的粘彈性SH平面波中，位移有下面的形式：</p><p><b>　　，</b></p><p>　　， (45)</p><p><b>　　

40、其中，是位置矢量，</b></p><p><b>　　(46)</b></p><p><b>　　是復(fù)波矢量，</b></p><p><b>　　(47)</b></p><p>　　通過方向余弦和定義了波的傳播方向。將應(yīng)力—應(yīng)變方程(42)代入到柯西方程(4

41、1)，得到下列所示的色散關(guān)系：</p><p><b>　　(48)</b></p><p>　　這個(gè)關(guān)系明確了復(fù)速度表示如下：</p><p><b>　　(49)</b></p><p>　　結(jié)合復(fù)速度，實(shí)的慢度和衰減矢量表示如下：</p><p><b>　　

42、(50)</b></p><p><b>　　(51)</b></p><p>　　然而，相速度是慢度的倒數(shù)，下面給出了它的矢量形式：</p><p><b>　　(52)</b></p><p>　　運(yùn)算符和分別表示取實(shí)部和取虛部。能速（波前）被定義為平均能量密度除以平均能流密度。能流

43、是坡印廷矢量的實(shí)部，而平均能量是動(dòng)能和勢能密度峰值之和的二分之一（參考[13]）。附錄B對這些量進(jìn)行了計(jì)算。因此，能速表示為：</p><p><b>　　(53)</b></p><p>　　其中，和分別是沿著x軸和z軸方向的單位矢量。附錄B給出了品質(zhì)因子如下：</p><p><b>　　(54)</b></p&

44、gt;<p>　　根據(jù)聲波—電磁波的對應(yīng)關(guān)系(32)-(36)，從方程(43)可以知道復(fù)硬度矩陣對應(yīng)于復(fù)介電常數(shù)矩陣的逆，即：</p><p><b>　　(55)</b></p><p>　　然后，將此等價(jià)關(guān)系及密度與磁導(dǎo)率的對應(yīng)關(guān)系(36)應(yīng)用到方程(49)，即可通過方程(50)、(51)、(52)、(53)、(54)計(jì)算出電磁波的慢度、衰減量、相速

45、、能速和品質(zhì)因子。</p><p>　　在斜方晶系介質(zhì)，格式為的所有元素都不存在。所以復(fù)硬度矩陣是對角化的，其元素為</p><p><b>　　(56)</b></p><p>　　其中，在聲波的情況下，，且上式變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(57)</b></p><p

46、>　　在電磁波的情況下，。在各向同性的介質(zhì)中，，則在聲波的情況下，復(fù)速度變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(58)</b></p><p>　　在電磁波的情況下，復(fù)速度為：</p><p><b>　　(59)</b></p><p>　　其中，是剛性模量，是黏度，是介電常數(shù)，是電導(dǎo)率。&l

47、t;/p><p>　　很明顯，動(dòng)能和應(yīng)變能密度與磁能和電能密度有聯(lián)系。用電路元器件來做類比，動(dòng)能、應(yīng)變能分別類比于貯存在電感、電容中的能量，耗散能量類比于電阻損失的能量。Maxwell使用過相似的類比，在質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動(dòng)和電路之間也可以確立這種類比關(guān)系。</p><p>　　在各向同性介質(zhì)中，聲波和電磁波的品質(zhì)因子分別為：</p><p><b>　　(60)&l

48、t;/b></p><p><b>　　(61)</b></p><p>　　且這種情況很普遍，但是且卻對應(yīng)彈性極限的情況。需要注意的是，和都是波傳播過程的弛豫時(shí)間。</p><p><b>　　波動(dòng)方程和模擬</b></p><p>　　方程(28)和(29)可寫作如下的緊湊形式：</

49、p><p><b>　　(62)</b></p><p>　　上式也可使用二維表示法從方程(19)推出，其中。用乘以方程(62)，可得：</p><p><b>　　(63)</b></p><p>　　柯西方程(27)變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(64)<

50、;/b></p><p>　　方程(63)和(64)可以推出速度—應(yīng)力公式，從而求解出由(32)定義的未知矢量。波動(dòng)方程有如下形式：</p><p><b>　　(65)</b></p><p>　　其中，是一個(gè)空間微分算子矩陣。為了在時(shí)域內(nèi)求解，用到最多的是一種顯式或隱式的有限差法。這種技術(shù)基于進(jìn)化算子的一種泰勒展開。在這里，可用參考文

51、獻(xiàn)[15]介紹的一種譜時(shí)間集成技術(shù)來解方程(65)，其形式解為：</p><p><b>　　(66)</b></p><p>　　其中，初始條件假設(shè)為0，被稱作系統(tǒng)的演化算符。相應(yīng)的數(shù)值運(yùn)算是基于在算子的特征值的復(fù)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)在一組最優(yōu)插值點(diǎn)上的的一種多項(xiàng)式內(nèi)插法。這些最優(yōu)插值點(diǎn)應(yīng)該都位于由復(fù)頻率平面的虛軸和負(fù)實(shí)半軸形成的T型域上。這樣，內(nèi)插多項(xiàng)式近乎是最優(yōu)的。在

52、各向同性的情況下，算子的特征值（是復(fù)數(shù)）滿足下列特征方程：</p><p><b>　　(67)</b></p><p>　　其中，是真實(shí)的波數(shù)。(67)的解中有一個(gè)為靜態(tài)模式的解，為，另外兩個(gè)為傳播模式的解，位于虛軸附近。需要注意的是，是系統(tǒng)的弛豫時(shí)間，等于高頻相速度的平方。在各向異性情況下，算子的特征值同樣位于T型域上。</p><p>　

53、　為了平衡時(shí)間積分和空間精度，使用了傅里葉偽譜法計(jì)算空間導(dǎo)數(shù)，當(dāng)然也可以用有限差分或有限元來計(jì)算。</p><p>　　表1 介質(zhì)的物質(zhì)屬性</p><p>　　圖3 頻率為600kHz的電磁平面波的慢度(a)，</p><p>　　衰減量(b)，能速(c)和品質(zhì)因子(d)的極坐標(biāo)圖</p><p>　　表1給出了介質(zhì)的物質(zhì)屬性，其中，和分別

54、是自由空間的介電常數(shù)和磁導(dǎo)率。圖3分別展示了頻率為600kHz的均勻電磁平面波的慢度(a)，衰減量(b)，能速(c)和品質(zhì)因子(d)。曲線的方向和形狀依賴于介電張量和電導(dǎo)率張量。從圖中可以看出，衰減量的各向異性程度非常高，在與水平軸夾角為的方向上衰減量最大。類似地，慢度也有各向異性的特征，而能速表明了波前的形狀。</p><p>　　矩形數(shù)值網(wǎng)格的每邊都有個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，在電磁波模擬中統(tǒng)一的網(wǎng)格間距為，而在聲波模擬中網(wǎng)

55、格間距為。場源初始化為一個(gè)線源，垂直于(x,z)平面。電磁波的源中心頻率為300kHz，聲波的源中心頻率為50Hz。截止頻率都為各自中心頻率的兩倍。</p><p>　　圖4對位于接收機(jī)處的磁場的數(shù)值解和解析解進(jìn)行了比較，其中接收機(jī)相對于場源的位置(x,z)在圖上已標(biāo)出。場源與接收機(jī)之間的距離為600米。正如所料，盡管相速度在低頻的情況下無規(guī)律，但是兩種解幾乎完全一致。</p><p>　

56、　圖4 電磁波的數(shù)值解和解析解之間的比較。源中心</p><p>　　頻率為300kHz，場源和接收機(jī)之間的距離為600米</p><p>　　圖5 彈性(a)聲波和粘彈性(b)聲波的速度在0.44s時(shí)的瞬態(tài)圖。</p><p>　　彈性波前比粘彈性波前稍寬，這是因?yàn)樵贛axwell物質(zhì)中，</p><p>　　頻率為零時(shí)相速度消失，頻率無限

57、大時(shí)相速度接近彈性速度。</p><p>　　圖6 在13.5時(shí)，電磁波場在純絕緣介質(zhì)(a)和導(dǎo)電介質(zhì)(b)中的</p><p>　　瞬態(tài)圖。其各向異性耗散特征與圖3b所描述的衰減曲線一致。</p><p>　　圖5展示了質(zhì)點(diǎn)速度在時(shí)間0.44s時(shí)的瞬態(tài)圖，其中(a)對應(yīng)彈性極限下的情況（），(b)對應(yīng)粘彈性的情況。最后，圖6展示了磁分量在時(shí)間1.35時(shí)的瞬態(tài)圖，其

58、中(a)對應(yīng)彈性極限下的情況（），(b)對應(yīng)在耗散下的情況。圖5和圖6展示的結(jié)果是用相同的計(jì)算機(jī)代碼和不同的輸入數(shù)據(jù)得到的。可以看出，有損耗介質(zhì)的瞬態(tài)圖比無損耗介質(zhì)的瞬態(tài)圖呈現(xiàn)出各向異性程度更高的耗散特性。有損耗的電磁瞬態(tài)圖展示的特性分別與圖3b、圖3c展示的衰減量、能速相一致。</p><p>　　這種數(shù)值模型也可以有效地用于模擬非均勻介質(zhì)中的電磁波[16]。</p><p><b

59、>　　總結(jié)</b></p><p>　　我們已經(jīng)列出了一種可逆的對應(yīng)關(guān)系，它通過轉(zhuǎn)換物理量，將SH（水平剪切）粘彈性方程變換為TEM（橫向電磁）方程。所做的基本假設(shè)是介質(zhì)單斜對稱，并為簡單起見，假設(shè)電源電流為零。類比模型構(gòu)造了一個(gè)數(shù)學(xué)等價(jià)關(guān)系，它允許使用相同的分析方法解決聲波和電磁波問題。所以，對粘彈性平面波的分析能應(yīng)用于電磁情況。類似地，在粘彈性問題中獲得的瞬時(shí)解對應(yīng)于電磁解。從根本上說，這些

60、等價(jià)就是硬度和介電常數(shù)之間的對等，它們都是復(fù)的、頻率相關(guān)的矩陣。這種類比模型最有效的應(yīng)用是用相同的計(jì)算機(jī)代碼解決在一般的非均勻介質(zhì)中聲波和電磁波的傳播問題。未來研究的一個(gè)具有挑戰(zhàn)性的問題是將這些結(jié)果從二維推廣到三維，并且/或者去掉物質(zhì)對稱性這樣的假設(shè)。附錄A 在無界均勻介質(zhì)中的解析解</p><p>　　滯彈性問題的解析解可以通過對等原則得到（參考文獻(xiàn)[9]）。這需要知道在頻域內(nèi)彈性解的明確表述。然后，彈性可由

61、對應(yīng)的復(fù)硬度替代，粘彈性解可通過傅里葉逆變換獲得。</p><p>　　考慮(62)中的彈性情況，即，并使用(64)消去應(yīng)力張量，得到下面的式子：</p><p><b>　　(A.1)</b></p><p>　　其中，變量上面的點(diǎn)表示時(shí)域內(nèi)的微分。因?yàn)樵谶@里我們考慮的是均勻介質(zhì)，所以方程(A.1)變?yōu)椋?lt;/p><p&g

62、t;<b>　　(A.2)</b></p><p>　　下面我們要說明的是，通過坐標(biāo)變換，將(A.2)左邊的空間微分算子轉(zhuǎn)化為一個(gè)純拉普拉斯微分算子，這是有可能的。如果是那樣的話，方程(A.2)變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(A.3)</b></p><p>　　考慮格林函數(shù)的解（也就是，方程(A.3)的等號左邊式子

63、在原點(diǎn)處是一個(gè)時(shí)間和空間上的局部狄拉克函數(shù)），并將波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化到頻率域，得到如下方程：</p><p><b>　　(A.4)</b></p><p>　　其中，是格林函數(shù)的傅里葉變換式。為了方便，引入了常量。(A.4)的解（參考[17]）如下：</p><p><b>　　(A.5)</b></p><

64、;p>　　其中，是第二類漢克爾函數(shù)，并且</p><p><b>　　(A.6)</b></p><p>　　我們必須根據(jù)原始位置矢量來計(jì)算方程(A.5)的右邊式子。將矩陣對角化為，其中是特征矩陣，(A.1)中的拉普拉斯算子變?yōu)椋?lt;/p><p><b>　　(A.7)</b></p><p>

65、;<b>　　其中，，且</b></p><p><b>　　(A.8)</b></p><p>　　上面使用的是對角化的，且，我們可以得到：</p><p><b>　　(A.9)</b></p><p>　　將(A.9)代入到方程(A.6)，可得：</p>&

66、lt;p><b>　　(A.10)</b></p><p>　　但是，因?yàn)椋晕覀冏詈蟮玫剑?lt;/p><p><b>　　(A.11)</b></p><p>　　其中，是方程(31)所給的矩陣的行列式。</p><p>　　將對應(yīng)原理應(yīng)用到彈性格林函數(shù)</p><p&g

67、t;<b>　　(A.12)</b></p><p><b>　　得到粘彈性格林函數(shù)</b></p><p><b>　　(A.13)</b></p><p>　　其中，由等式(43)給出。需要注意的是，在電磁波問題中，通過對等關(guān)系(32)-(36)和方程(55)，可得到其解為：</p>

68、<p><b>　　(A.14)</b></p><p>　　當(dāng)用數(shù)值技術(shù)解決波的傳播問題時(shí)，需要用一個(gè)帶限小波的傅里葉變換式乘以格林函數(shù)。在這種情況下，方程(A.2)中源項(xiàng)的變換是。所以，粘彈性解是</p><p><b>　　(A.15)</b></p><p><b>　　電磁解是：</b

69、></p><p><b>　　(A.16)</b></p><p>　　為了確保得到一個(gè)時(shí)域上的實(shí)數(shù)解，對于，我們采用下面的式子：</p><p><b>　　(A.17)</b></p><p>　　其中，橫杠表示復(fù)共軛。最后，通過基于快速傅里葉變換的一個(gè)逆變換可得到時(shí)域解。</p&

70、gt;<p>　　附錄B 在單斜晶系粘彈性介質(zhì)中，SH波的坡印廷矢量、能量密度和品質(zhì)因子</p><p>　　通過方程(45)，可得到非零的應(yīng)變分量為</p><p><b>　　(B.1)</b></p><p>　　因此，非零應(yīng)力分量為</p><p><b>　　(B.2)</b&g

71、t;</p><p><b>　　和</b></p><p><b>　　(B.3)</b></p><p>　　坡印廷矢量為[13]：</p><p><b>　　(B.4)</b></p><p><b>　　其中，</b>&l

72、t;/p><p><b>　　(B.5)</b></p><p>　　所以，在單斜晶系的情況下，</p><p><b>　　(B.6)</b></p><p>　　峰值能量密度是[18]：</p><p><b>　　(B.7)</b></p>

73、<p><b>　　峰值勢能密度是：</b></p><p><b>　　(B.8)</b></p><p>　　平均耗散能量密度是：</p><p><b>　　(B.9)</b></p><p>　　最后，使用最后兩個(gè)方程，我們可以得到品質(zhì)因子為：</p