基于等價觀測站的穩(wěn)健估計研究畢業(yè)設計論文

1、<p>　　本科學生畢業(yè)設計（論文）</p><p>　　基于等價觀測值的穩(wěn)健估計研究</p><p><b>　　學 生：</b></p><p><b>　　學 號：</b></p><p><b>　　指導教師：</b></p><

2、;p><b>　　專 業(yè)：</b></p><p><b>　　大學學院</b></p><p><b>　　二O一四年六月</b></p><p>　　Graduation Design (Thesis) of </p><p>　　Robust estimati

3、on research based on equivalent observations</p><p>　　Undergraduate:</p><p>　　Supervisor: </p><p><b>　　Major: </b></p><p><b>　　June 2014</b><

4、;/p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　測量數據可能存在著粗差，而經典最小二乘平差方法對粗差敏感，為了減弱粗差的影響，許多學者基于統(tǒng)計學中穩(wěn)健估計的理論，提出了各種穩(wěn)健估計方法。注意到，經典的穩(wěn)健估計理論是基于獨立同分布（iid）樣本，然而測量中的各個觀測值常常是相關的。適用于獨立樣本的理論和方法，推廣到相關觀測，不可避免會遇到困難。目前流行

5、的是基于等價權的方法和基于等價方差-協(xié)方差陣的穩(wěn)健估計方法。但這些方法仍在一定程度上有缺陷。</p><p>　　本文提出了等價觀測值的概念，基于經典的穩(wěn)健估計理論，通過嚴密的數學變換，調整相關觀測條件下的平差模型，建立了一種全新的穩(wěn)健最小二乘估計理論，使不等價權函數最終在形式上又回歸到等價權函數的嚴密數學運算中，避免了測量界與數學界間的不一致性。并且，這一理論還將通過具體算例，與基于等價方差-協(xié)方差陣的穩(wěn)健最小

6、二乘估計理論在思想、模型和精度方面進行比較，從而嚴格證明其正確性和可行性。</p><p>　　關鍵詞：穩(wěn)健最小二乘估計，等價權，等價方差-協(xié)方差，等價觀測值</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　As we know, measured data necessarily has error, but the

7、 classical least squares theory has’t resistant to it. Thus, many academics proposed a series of robust estim-</p><p>　　ation methods based on the theory of robust estimation in Statistics to weaken the infl

8、uence of gross error. Attention, classical robust estimation theory based on inde- </p><p>　　pendent identical distribution, but the observations are not completely independent of each other and often have

9、some correlation. So, the theory and method being suitable for independent samples will inevitably encounter difficulties to extend to correlated observations. Currently, robust estimation based on equivalent weight and

10、robust estimation based on equivalent variance- covariance matrix is popular. However, they still have some defect.</p><p>　　This thesis proposes a new theory which calls equivalent observation. We adjust th

11、e classical adjustment models to structure a new robust estimation based on classical robust estimation theory by strict mathematical transform, which avoids inconsistency between math and survey. Besides, the theory wil

12、l be compared with the robust estimation based on variance-covariance by concrete example in theory, model and accuracy to strictly prove its rightness and feasibility. </p><p>　　Key words：robust estimation,

13、 equivalent weight, equivalent variance-covariance, equivalent observation</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要3</b></p><p>　　ABSTRACT4</p><p&

14、gt;<b>　　1緒論7</b></p><p>　　1.1課題產生背景7</p><p>　　1.2課題主要內容7</p><p><b>　　1.3實現途徑8</b></p><p><b>　　2穩(wěn)健估計9</b></p><p>　　

15、2.1穩(wěn)健估計概述9</p><p>　　2.1.1產生背景9</p><p>　　2.1.2穩(wěn)健估計9</p><p>　　2.2穩(wěn)健估計原理10</p><p>　　2.2.1概述10</p><p>　　2.2.2常用估計準則10</p><p>　　2.3基于選權迭代法的穩(wěn)健

16、估計方法12</p><p>　　2.3.1概述12</p><p>　　2.3.2等權獨立觀測的選權迭代法12</p><p>　　2.3.2不等權獨立觀測的選權迭代法13</p><p>　　2.3.3穩(wěn)健M估計算法14</p><p>　　2.4相關觀測的穩(wěn)健估計方法15</p><

17、;p><b>　　2.5算例16</b></p><p>　　3基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計18</p><p><b>　　3.1概述18</b></p><p>　　3.1.1背景18</p><p>　　3.1.2概述18</p><p>　　3.1.

18、3觀測量的相關系數19</p><p>　　3.2基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計原理19</p><p>　　3.2.1模型的建立19</p><p>　　3.2.2方差-協(xié)方差調整因子的確定20</p><p>　　3.2.3等價方差-協(xié)方差函數模型及其特點21</p><p>　　3.2.4相關函數21

19、</p><p>　　3.2.5相關等價方差-協(xié)方差因子22</p><p>　　3.2.6相關函數22</p><p>　　3.2.7崩潰污染率[6]23</p><p>　　3.3基于等價方差-協(xié)方差理論的優(yōu)點23</p><p><b>　　3.4算例23</b></p>

20、;<p>　　4基于等價觀測值的穩(wěn)健估計28</p><p><b>　　4.1概述28</b></p><p>　　4.2基于等價觀測值的穩(wěn)健估計原理28</p><p>　　4.2.1等價觀測值28</p><p>　　4.2.2計算原理28</p><p>　　4.3

21、基于等價觀測值的穩(wěn)健估計算法29</p><p>　　5穩(wěn)健估計方法的比較31</p><p>　　5.1經典最小二乘平差與選權迭代法的比較31</p><p>　　5.1.1經典最小二乘平差算法31</p><p>　　5.2選權迭代法和基于等價觀測值在獨立觀測領域的穩(wěn)健估計33</p><p>　　5.2

22、.1選權迭代法的計算：33</p><p>　　5.2.2基于等價觀測值的穩(wěn)健估計計算：36</p><p>　　5.3基于等價方差-協(xié)方差和基于等價觀測值在相關觀測領域的穩(wěn)健估計39</p><p>　　5.3.1基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計40</p><p>　　5.3.2基于等價觀測值的穩(wěn)健估計42</p>

23、<p>　　5.4算例分析總結：44</p><p><b>　　6結論46</b></p><p><b>　　6.1優(yōu)點46</b></p><p><b>　　致 謝47</b></p><p>　　參 考 文 獻48</p><p

24、><b>　　附錄一49</b></p><p>　　例題（P16）49</p><p><b>　　附錄二50</b></p><p><b>　　附錄三51</b></p><p><b>　　附錄四52</b></p>

25、<p><b>　　附錄五54</b></p><p><b>　　1緒論</b></p><p><b>　　1.1課題產生背景</b></p><p>　　對于測量數據進行處理，是測量的主要工作之一。理論上最為我們熟悉的最小二乘理論，但其僅僅在數學界是嚴密的。因為測量數據總會不可避免的

26、伴隨著粗差，而最小二乘平差模型對粗差的抵抗性較差，會使觀測值偏離其真值，嚴重影響平差結果?；谝陨显?，專家們又擴展出了多種穩(wěn)健估計方法，而穩(wěn)健估計中被廣泛應用并且便于程序實現的是選權迭代法。</p><p>　　現階段，雖然在數學界，選權迭代法是完全嚴謹的，但將其應用到測量界，卻存在其局限性。我們現在在測量界應用的選權迭代法是建立在等價權的基礎上，即觀測量是相互獨立的。但在真實生活中，由于觀測數據間具有相關性，

27、即所需要的權并不一定是方陣，這就使選權迭代法不能應用。雖然，后面陸續(xù)有專家提出解決方案，但大多運算過程比較復雜，其中，最為優(yōu)良的是姚宜斌提出的基于等價方差協(xié)方差陣的新理論，不是迭代傳統(tǒng)意義上的權，而是迭代方差協(xié)方差陣。雖然這一理論克服了傳統(tǒng)意義上的選權迭代法在測量界應用的局限性，但其自身依然存在著一些問題。為此，基于以前的理論，本課題提出了一種新的穩(wěn)健估計方法-基于等價觀測值的穩(wěn)健估計，這理論定義了新的概念-等價觀測，后面會詳細介紹其原

28、理及處理數據的一般過程和步驟，并通過具體案例與前兩種方法進行數據質量分析，比較各自的優(yōu)劣。</p><p><b>　　1.2課題主要內容</b></p><p>　　本論文主將介紹一種新的處理相關觀測量的穩(wěn)健估計方法-基于等價觀測值的穩(wěn)健估計研究。</p><p>　　詳細介紹穩(wěn)健估計的思想，重點研究基于等價權的穩(wěn)健估計方法，并且還會涉及到處

29、理相關觀測值的一些方法，并且會通過案例來驗證選權迭代法的可行性，在理論上介紹數據處理理論研究的一般過程及具體步驟；</p><p>　　對相關觀測的數據處理方法中，最為突出的是基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計研究，由武漢大學的姚宜斌教授提出，因現階段只有其自己一個人有關這方面的著作，故本文將大量引用他的研究內容，并通過算例來證明其可行性，使讀者對相關觀測的處理方法有一個大致的了解。</p><p

30、>　　本文的核心內容是基于等價觀測值的穩(wěn)健估計研究，由于這是一個創(chuàng)新，故會在文中定義什么是等價觀測值，以及其平差模型，并且介紹其處理相關觀測的一般過程及具體步驟。并通過算例來證明其可行性。</p><p>　　在文章最后，本文會系統(tǒng)性地介紹這三種方法各自的優(yōu)劣性，通過定性、定量比較來選出最好的處理方法，并通過算例來證明研究結果的正確性。</p><p><b>　　1.3實

31、現途徑</b></p><p>　　由于本文中介紹的等價權的理論已相當成熟，故主要是通過閱讀相關文獻及書籍來學習；</p><p>　　基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計理論是通過網上下載期刊、論文等來闡述其原理；</p><p>　　本文中的算例都是用數據處理軟件matlab來處理，通過自學matlab軟件，編寫小程序來處理數據，由數據處理結果來驗證三種方

32、法的優(yōu)劣性。</p><p><b>　　2穩(wěn)健估計</b></p><p><b>　　2.1穩(wěn)健估計概述</b></p><p><b>　　2.1.1產生背景</b></p><p>　　測量數據處理是對一組含有誤差的觀測值，按一定的數學模型，包括函數模型和隨機模型，按某

33、種估計準則，求出未知參數的最優(yōu)估值，并評定其精度。當觀測值中僅包含偶然誤差時，按最小二乘準則估計平差模型的參數，將具有最優(yōu)的統(tǒng)計性質，亦即所估參數為最優(yōu)線性無偏估計。</p><p>　　統(tǒng)計學家根據大量觀測數據分析指出，在生產實踐和科學實驗所采集的數據中，粗差出現的概率約為（Huber《Robust Statistics》）[1]。粗差被定義為比最大偶然誤差還要大的誤差，如果平差模型中包含了這種粗差，即使為數不

34、多，仍將嚴重歪曲參數的最小二乘估計，影響成果的質量，造成極為不良的后果。隨著全球定位系統(tǒng)（GPS）、地理信息系統(tǒng)（GIS）、遙感（RS）等先進測量技術的發(fā)展，測量數據采集的現代化和自動化，在某種意義上而言，粗差也不可避免地被包含在平差模型之中。因此，如何處理同時存在偶然誤差和粗差的觀測數據，以達到減弱或消除其對成果的影響，是近二十年來現代測量平差所注意研究的理論課題。</p><p><b>　　2.1

35、.2穩(wěn)健估計</b></p><p>　　現代測量平差理論中，考慮粗差產生的原因和影響，在數據處理時可將粗差歸為函數模型，或歸為隨機模型。將粗差歸為函數模型，粗差即表現為觀測量誤差絕對值較大且偏離群體；將粗差歸為隨機模型，粗差即表現為先驗隨機模型和實際隨機模型的差異過大。</p><p>　　將粗差歸為函數模型，可解釋為均值漂移模型，其處理的思想是在正式進行最小二乘平差之前探測

36、和定位粗差，然后剔除含粗差的觀測值，得到一組比較凈化的觀測值，以便符合最小二乘平差觀測值只具有偶然誤差的條件；而將粗差歸為隨機模型，可解釋為方差膨脹模型，其處理的思想是根據逐次迭代平差的結果來不斷地改變觀測值的權或方差，最終使粗差觀測值的權趨于零或方差趨于無窮大，這種方法可以保證所估計的參數少受模型誤差，特別是粗差的影響。</p><p>　　前已指出，在測量數據服從正態(tài)分布情況下，最小二乘估計具有最優(yōu)統(tǒng)計性質。

37、但最小二乘法對含粗差的觀測量相當敏感，個別粗差就會對參數的估值產生較大的影響。下面是一個簡單的例子：</p><p>　　設某量的真值為10，對其進行了8次觀測得：</p><p>　　采用最小二乘估計，即取其平均值得。</p><p>　　由上例可以看出，由于受粗差觀測值的干擾，使最小二乘估計結果失實，與真值偏差較大。</p><p>　　

38、穩(wěn)健估計（Robust Estimation），測量中也稱為抗差估計，正是針對最小二乘法抗粗差的干擾差這一缺陷提出的，其目的在于構造某種估計方法，使其對于粗差具有較強的抵抗能力。自1953年G.E.P.BOX首先提出穩(wěn)健性（Robustness）的概念，Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人對參數的穩(wěn)健估計進行了卓有成效的研究，經過眾多數理統(tǒng)計學家?guī)资甑拈_拓和耕耘，至今穩(wěn)健估計已發(fā)展成為一門受到多學科關注的分支學

39、科。</p><p>　　本章結合測量數據和平差模型的特點，闡述穩(wěn)健估計的原理以及實用的平差方法。</p><p><b>　　2.2穩(wěn)健估計原理</b></p><p><b>　　2.2.1概述</b></p><p>　　穩(wěn)健估計討論問題的方式是:對于實際問題有一個假定模型，同時又認為這個模型

40、并不準確，而只是實際問題理論模型的一個近似。它要求解決這類問題的估計方法應達到以下目標：</p><p>　　1）假定的觀測分布模型下，估值應是最優(yōu)的或接近最優(yōu)的。</p><p>　　2）當假設的分布模型與實際的理論分布模型有較小差異時，估值受到粗差的影響較小。</p><p>　　3）當假設的分布模型與實際的理論分布模型有較大偏離時，估值不至于受到破壞性影響。&

41、lt;/p><p>　　穩(wěn)健估計的基本思想是：在粗差不可避免的情況下，選擇適當的估計方法，使參數的估值盡可能避免粗差的影響，得到正常模式下的最佳估值。穩(wěn)健估計的原則是要充分利用觀測數據（或樣本）中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大準確知道觀測數據中有效信息和有害信息所占比例以及它們具體包含在哪些觀測中，從抗差的主要目標著眼是要冒損失一些效率的風險，去獲得較可靠的、具有實際意義的、較有效的估值。&

42、lt;/p><p>　　2.2.2常用估計準則</p><p>　　一、極大似然估計準則[2]</p><p>　　設獨立觀測樣本，為待估參數，的分布密度為，其極大似然估計準則為</p><p><b>　?。?-2-1）</b></p><p><b>　　或</b></

43、p><p><b>　?。?-2-2） </b></p><p>　　二、正態(tài)分布密度下的極大似然估計準則</p><p>　　設獨立觀測樣本，其密度函數為</p><p>　　參數的極大似然估計準則由（1-2-1）式得</p><p>　　或 （1-2-3）

44、</p><p>　　亦即正態(tài)分布密度下的極大似然估計準則就是最小二乘估計準則。</p><p>　　三、穩(wěn)健估計的極大似然估計準則</p><p>　　穩(wěn)健估計基本可以分為三大類型，即</p><p>　　[4]估計：又稱為極大似然估計，基于1964年Huber所提出的估計理論，丹麥的Krarup和Kubik等人于1980年將穩(wěn)健估計理論引

45、入測量界。</p><p>　　估計：又稱為排序線性組合估計，在測繪界也有一定范圍應用。</p><p>　　估計：又稱秩估計，目前在測繪界應用還很少。</p><p>　　由于估計是測量平差中最主要的抗差準則，下面著重對估計加以討論。</p><p>　　設觀測樣本，為待估參數，觀測值的分布密度為，按(1-2-2)極大似然估計準則為<

46、/p><p><b>　?。?-2-4）</b></p><p>　　若以代替，則極大似然估計準則可改寫為</p><p><b>　?。?-2-5）</b></p><p><b>　　對上式求導，得</b></p><p><b>　?。?-2

47、-6）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　由此可見，有一個（或）函數，就定義了一個估計，所以估計是指由（1-2-4）或（1-2-5）定義的一大類估計。常用的函數是對稱、連續(xù)、嚴凸或者在正半軸上非降的函數，而且函數常取成滿足上述條件的函數之導函數。</p><p>　　采用估計的關鍵是確定(或)函

48、數。作為一種穩(wěn)健估計方法，函數的選取必須滿足上述的穩(wěn)健估計基本思想和參數穩(wěn)健估計的三個目標。</p><p><b>　　如果將函數選為</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　此為最小二乘準則，它不具有抗差性，就不能認為它是一種穩(wěn)健的估計方法。</p><p>　　2

49、.3基于選權迭代法的穩(wěn)健估計方法</p><p><b>　　2.3.1概述</b></p><p>　　估計的估計方法有許多種，在測量平差中應用最廣泛、計算簡單、算法類似于最小二乘平差、易于程序實現的是選權迭代法。</p><p>　　設獨立觀測值為，未知參數向量為，誤差方程及權陣為</p><p><b>

50、　?。?-3-1）</b></p><p><b>　　式中為的系數向量。</b></p><p>　　考慮誤差方程，估計的函數可表述為</p><p><b>　?。?-3-2）</b></p><p>　　2.3.2等權獨立觀測的選權迭代法</p><p>　

51、　設（1-3-1）式中的權陣，即，按估計極大似然估計準則并取函數為（1-3-2）式，則為</p><p><b>　　（1-3-3）</b></p><p>　　上式對求導，同時記，可得 </p><p><b>　　對</b></p><p><b>　　上式進行轉置，得</b&g

52、t;</p><p>　　或 （1-3-4）</p><p>　　再令，并將（1-3-4）寫成矩陣形式，得</p><p><b>　　（1-3-5）</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b&g

53、t;　　（1-3-6）</b></p><p>　　稱為穩(wěn)健權矩陣，其元素稱為穩(wěn)健權因子，簡稱權因子，是相應殘差的函數。</p><p>　　將誤差方程（1-3-1）代入所得估計的法方程式為</p><p><b>　　（1-3-7）</b></p><p>　　當選定函數后，穩(wěn)健權陣可以確定，但是的函數，故

54、穩(wěn)健估計需要對權進行迭代求解。</p><p>　　2.3.2不等權獨立觀測的選權迭代法</p><p>　　誤差方程及權陣為（1-3-1）式，Huber于1964提出的估計準則[4]（1-3-3）沒有考慮測量中不等精度觀測情況，但這種情況在測量平差中是普遍情形，為此，周江文教授于1989年提出了不等權獨立觀測情況下的估計準則[2]為</p><p><b&g

55、t;　　（1-3-8）</b></p><p>　　與第一節(jié)推導類似，將上式對求導，同時記，可得</p><p><b>　　（1-3-9）</b></p><p><b>　　令，，則有</b></p><p>　　或 （1-3-10）

56、</p><p>　　將代入，可得估計的法方程為</p><p><b>　?。?-3-11）</b></p><p>　　式中為等價權陣，為等價權元素，是觀測權與權因子之積，其定義由周江文給出。當時，則，準則（1-3-8）就是（1-3-3）式，可見后者是前者的特殊情況。</p><p>　　上式與最小二乘估計中的法方程

57、形式完全一致，僅用權函數矩陣代替觀測權陣。由于權函數矩陣是殘差的函數，計算前未知，只能通過給其賦予一定的初值，采用迭代方法估計參數。由此得參數的穩(wěn)健估計估值為：</p><p><b>　?。?-3-12）</b></p><p>　　用選權迭代法進行穩(wěn)健估計，測繪界也稱為抗差最小二乘法。</p><p>　　2.3.3穩(wěn)健M估計算法</

58、p><p><b>　　其計算過程為：</b></p><p>　　(1) 列立誤差方程，令各權因子初值均為1，即令，，則，為觀測權陣；</p><p>　　(2) 解算法方程（1-3-11），得出參數和殘差的第一次估值：</p><p>　　(3) 由按確定各觀測值新的權因子，按構造新的等價權，再解算法方程（1-3-11）

59、，得出參數和殘差的第二次估值：</p><p>　　(4) 由構造新的等價權，再解算法方程，類似迭代計算，直至前后兩次解的差值符合限差要求為止；</p><p><b>　　(5) 最后結果為</b></p><p>　　由于，而，，故隨著函數的選取不同，構成了權函數的多種不同形式，但權函數總是一個在平差過程中隨改正數變化的量，其中與的大小成反

60、比，愈大，、就愈小，因此經過多次迭代，從而使含有粗差的觀測值的權函數為零（或接近為零），使其在平差中不起作用，而相應的觀測值殘差在很大程度上反映了其粗差值。這樣一種通過在平差過程中變權實現參數估計的穩(wěn)健性的方法，稱之為選權迭代法。</p><p>　　2.4相關觀測的穩(wěn)健估計方法</p><p>　　現代測量手段趨向于向數據采集的自動化和快速化發(fā)展，其觀測量及觀測量的誤差都具有一定的特殊性

61、和復雜性。首先，大規(guī)模集成化的數據采集手段可同時獲取大批量的多類觀測數據，對這些數據需進行綜合的數據處理和分析，這樣的觀測量之間大多存在著比較強的相關性，并且觀測量中還同時包含了粗差、系統(tǒng)誤差及偶然誤差，其中粗差和系統(tǒng)誤差成為影響最終平差精度的主要因素。在平差處理中，如何發(fā)現和區(qū)分相關粗差觀測量，并消除其影響，是提高大規(guī)模整體平差成果精度的一個關鍵問題。統(tǒng)計學界對相關隨機變量的抗差估計幾乎沒有什么討論。在測繪界，針對測繪工作的實際情況，

62、我國學者楊元喜、劉經南等提出了一些實用的方法和模型。</p><p>　　估計是穩(wěn)健估計的基本估計類型之一，且在測繪界廣泛應用，從估計著手，許多學者推導了許多的相關等價權函數，其中應用最為廣泛的是IGGIII方案,IGGIII方案的相關等價權函數為:</p><p><b>　?。?-4-1）</b></p><p><b>　　式中

63、，。</b></p><p>　　需要說明的是，楊元喜等（2002）對等價權函數進行了擴展，構造了雙因子等價權模型[13]，其構造的雙因子等價權元素為：</p><p><b>　　（1-4-2）</b></p><p>　　式中，和為自適應降權因子和收縮因子，可采用Huber函數，即</p><p><

64、;b>　?。?-4-3）</b></p><p>　　式中為標準化殘差，為常量，可取，和相似。而也可采用其他降權因子，如Hampel權函數等。</p><p><b>　　2.5算例</b></p><p>　　如下圖所示水準網，A和B是已知高程的水準點，并設這些點已知高程無誤差。圖中P1、P2為待定點，A和B點高程、觀測高差

65、和相應的水準路線長度列于表1。試求各點的平差高度（在水準路線h2中人為加入2dm的粗差）。</p><p>　　表1 觀測數據</p><p><b>　　解（1）列誤差方程</b></p><p>　　設P1，P2點高程平差值為x1，x2，相應的近似值取

66、為</p><p>　　X1=HA+h1 , X2=HA+h2</p><p>　　按圖列出平差值方程后，將觀測數據代入即得誤差方程</p><p><b>　　V=Bx-L</b></p><p><b>　　（2）定權</b></p><p>　　以1km的觀測高差為

67、單位權觀測值，觀測值相互獨立，定權為pi=1/Si,得到權P，設初始值w為單位矩陣，則P1=Pw，組成法方程，得 B’*P1*B*x- B’*P1*L=0</p><p>　?。?）解法方程，得x</p><p><b>　?。?）計算改正數：</b></p><p><b>　　V=Bx-L</b></p>

68、<p>　　（5）取k=10^-10，根據定權得各觀測值的一組新權因子。</p><p>　?。?）重復計算（2）-（5）步，直到改正數收斂為止。</p><p>　　matlab實現程序現附錄A</p><p>　　下面是25次迭代之后的結果（由于matlab程序本身的四舍五入等，計算結果與課本計算結果有稍許偏差）。</p><p&

69、gt;　　表2 結果</p><p>　　從上面的結果中，可以很容易的看出h2中存在粗差。</p><p>　　3基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計</p><p><b>　　3.1概述</b></p><p&g

70、t;<b>　　3.1.1背景</b></p><p>　　穩(wěn)健估計在測量應用中具有重要進展。1964年Huber所提出的M估計理論, 丹麥的Krarup和Kubik等人于1980年將穩(wěn)健估計理論引入測量界, 并提出了著名的“丹麥法”。德國的Caspary和Borutta也作了一系列的應用研究, 如穩(wěn)健估計在形變模型中的應用, 位置參數和標準差因子同時求解的穩(wěn)健估計問題等。我國學者李德仁教授

71、、周江文教授、黃幼才教授、楊元喜教授、王新洲教授等對這種方法進行了大量的深入研究。</p><p>　　但需要指出的是, 對于獨立觀測的穩(wěn)健估計,目前的研究從理論到實踐都很完備, 而對于相關觀測量的穩(wěn)健估計, 目前的研究才剛剛起步, 完備的理論框架尚未建立, 應用的技術方法有待進一步探討, 因此還有大量的理論和方向問題需要我們去探索解決。</p><p>　　常用的相關等價權函數都是基于反

72、映了觀測量間的相關性這一前提，而且在構造相關等價權函數時沒有顧及觀測量間相關性的不變性，因此現有的相關等價權函數一般會存在下面的幾點問題：</p><p>　　(1)滿足穩(wěn)健估計規(guī)則的相關等價權通常都是非對稱的，這種非對稱性會給平差計算帶來困難而且與實際情況不符。</p><p>　　(2)并不能直觀地反映觀測量之間的相關性,反映觀測量之間相關性的是相關系數,而由方差-協(xié)方差陣確定。<

73、;/p><p>　　(3)若不考慮相關系數，則對的調整反過來會直接改變觀測量的相關性,而觀測值的相關性僅取決于觀測量本身的幾何物理結構,不能隨意更改。</p><p><b>　　3.1.2概述</b></p><p>　　實際上,如果將粗差歸為隨機模型,它表現為粗差觀測量的先驗方差與其實際方差之間有較大的差異,則可以解釋為方差膨脹模型（見圖1所示

74、）,此時可以通過擴大異常觀測的方差來控制粗差的影響?；谶@種考慮，劉經南、姚宜斌等（2000）提出基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健最小二乘估計方法,具體是根據逐次迭代平差的結果來不斷的擴大觀測值的方差-協(xié)方差[11],使粗差觀測量的先驗方差與其實際方差相匹配,以減少粗差的影響。</p><p>　　圖1方差膨脹模型（粗差歸為隨機模型）</p><p>　　3.1.3觀測量的相關系數</p&

75、gt;<p>　　某隨機向量中任意兩個分量ξi和ξj之間的相關系數ρij定義為</p><p>　　這里D、Q分別表示分量的方差、協(xié)因數。為無量綱的量, 它準確地反映了兩隨機變量間的相關程度。</p><p>　　觀測量的協(xié)因數陣只與觀測量本身的幾何物理結構有關, 與觀測量本身無關, 不管觀測量是否含有粗差, 觀測量的不變, 觀測量間的相關系數也不變。通常, 如果說隨機模型有

76、誤差, 是指先驗方差因子有誤差, 或其對應的某個觀測值的方差因子分量有誤差, 不是指有誤差。</p><p>　　3.2基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計原理</p><p>　　3.2.1模型的建立</p><p>　　我們知道, 對于基于等價權的穩(wěn)健估計而言, 其核心是等價權函數的設計, 同樣地, 對于基于等價方差—協(xié)方差的穩(wěn)健估計而言, 其核心是等價方差—協(xié)方差函

77、數的設計。</p><p>　　由公式（1-2-5）得到，對于估計而言,所構造的函數應滿足：</p><p><b>　　（2-2-1）</b></p><p>　　顧及先驗方差-協(xié)方差，函數應滿足：</p><p><b>　?。?-2-2）</b></p><p>　　對

78、于多維估計，其極值函數可表述為：</p><p><b>　?。?-2-3）</b></p><p>　　注意這里用的是方差的逆矩陣，主要是考慮到后面利用最小二乘求解的方便。</p><p>　　對（2-2-3）求導，并令為零，同時記，則有</p><p><b>　?。?-2-4）</b><

79、/p><p>　　注意上式中省略了對的求導，主要是考慮到對與對求導形式完全相同，且，，故（2-2-9）式中可省去。</p><p>　?。?-2-4）式的矩陣表達式為</p><p><b>　　（2-2-5）</b></p><p>　　現直接定義函數，令，，則（2-2-4）式可化為：</p><p&g

80、t;<b>　?。?-2-6）</b></p><p>　　為計算的方便，上式兩端乘以，則有：</p><p><b>　　（2-2-7）</b></p><p>　　上式具有最小二乘法的一般形式，可用最小二乘法求解。</p><p>　　3.2.2方差-協(xié)方差調整因子的確定</p>

81、<p>　　所定義的標準化殘差為，并將作為粗差觀測量方差-協(xié)方差的調整因子。這樣若觀測值含有粗差，其調整后的方差-協(xié)方差為：</p><p><b>　?。?-2-8）</b></p><p>　　式中為調整后的方差-協(xié)方差，為先驗的方差-協(xié)方差，為粗差觀測量方差-協(xié)方差的調整因子。</p><p>　　3.2.3等價方差-協(xié)方差函數

82、模型及其特點</p><p>　　等價方差-協(xié)方差函數模型與雙因子等價權模型相似，其區(qū)別在異常段，雙因子等價權的方差膨脹因子呈直線趨于無窮，而等價方差-協(xié)方差函數模型的等價方差-協(xié)方差因子呈二次曲線趨于無窮。</p><p>　　等價方差-協(xié)方差函數模型為：</p><p><b>　?。?-2-9）</b></p><p&

83、gt;　　式中的取值一般在之間，而。</p><p>　　等價方差-協(xié)方差函數模型的特點：</p><p>　　(1)該模型是將粗差歸為隨機模型的方差膨脹模型的直接體現。</p><p>　　(2)對于獨立觀測，該模型與等價權函數模型等價。也就是說，等價權函數模型是等價方差-協(xié)方差函數模型的一種特例。</p><p>　　(3)對于相關觀測，

84、該模型充分利用了相關觀測量間的先驗信息（相關系數），從而保證了相關觀測量間的相關性的不變性，而以前的相關等價權模型很少考慮這一信息，因此該模型更符合實際。</p><p>　　(4)對于相關觀測，本模型所設計的等價方差-協(xié)方差陣是嚴格對稱的，而以前的相關等價權模型所設計出的等價權陣通常是非對稱的。</p><p>　　(5)該模型簡單直觀，便于植入已有的最小二乘程序，易于程序實現。<

85、/p><p><b>　　3.2.4相關函數</b></p><p>　?。?-2-5）中我們用到了</p><p>　　因此等價方差-協(xié)方差函數模型的相關函數為</p><p><b>　　具體為</b></p><p><b>　?。?-2-10）</b>

86、;</p><p><b>　?。?-2-11）</b></p><p>　　式中的取值一般在之間，而、。</p><p>　　3.2.5相關等價方差-協(xié)方差因子</p><p>　　為討論問題的方便，特定義相關等價方差-協(xié)方差因子為，則對于上述模型，其相關等價方差-協(xié)方差因子為：</p><p>

87、;<b>　　（2-2-12）</b></p><p>　　的變化曲線見圖2-2-1。</p><p>　　圖2 相關等價方差-協(xié)方差因子曲線</p><p><b>　　3.2.6相關函數</b></p><p>　　因在實用中,函數常取成滿足對稱、連續(xù)、嚴凸或者在正半軸上非降的函數之導函數，故等

88、價方差-協(xié)方差函數模型的相關函數可表述為：</p><p><b>　?。?-2-13）</b></p><p>　　對應于上述等價方差-協(xié)方差函數模型，其相關函數為：</p><p><b>　　（2-2-14）</b></p><p>　　式中的取值多在之間，而。</p><

89、p>　　3.2.7崩潰污染率[6]</p><p>　　崩潰污染率是整體抗差性測度, 它和影響函數一樣也是定量抗差性的一個重要指標, 粗略的說, 它是使估值完全失去控制的粗差的最小比例。需要注意的是, 估計量崩潰的原因不止一個, 在某些情況下, 無界并不是估計量崩潰的唯一原因。根據污染率的定義, 作者利用下文“西安市變形監(jiān)測及測量控制GPS網”的數據，經反復驗算, 得出本文所提出的基于等價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健

90、估計模型的崩潰污染率為8%～ 10%。至于如何從具體的函數式來研究這一模型的崩潰污染率, 有待進一步研究。</p><p>　　3.3基于等價方差-協(xié)方差理論的優(yōu)點</p><p>　　通過實驗驗證，基于等價方差-協(xié)方差的函數模型具有下列優(yōu)點：</p><p>　　等價方差-協(xié)方差函數模型設計來處理粗差是一種行之有效的方法。</p><p>

91、　　若觀測量中不含粗差，利用此模型求得的參數估值和利用經典最小二乘平差求得的參數估值一致，因而是無偏的、最優(yōu)的。</p><p>　　若觀測量中含有粗差,此模型的參數估值受粗差的影響較小。</p><p>　　此模型能自動地對相關觀測量的粗差和已知數據的粗差進行處理,它對粗差的處理是有效的,對獨立觀測量的粗差,本模型也同樣適用,且處理結果與等價權模型的處理結果一致。</p>

92、<p><b>　　3.4算例</b></p><p>　　一個在已知點上實測的GPS網如圖3.2，網中共有7個點。網中觀測值是基線向量，分為2個同步子網。由于是在已知點上觀測的，因而實際觀測值的真誤差是已知的。</p><p><b>　　圖3.2GPS網圖</b></p><p>　　此網已經過了多項粗差分析

93、和檢驗，可以認為此網中不含粗差。為討論問題的需要，現人為地加入3個粗差,考慮到實際情況中出現的都是一些小粗差，并為檢驗上文所用的粗差識別方法的有效性，這里所加的粗差都比較小，見表3.4.1。</p><p>　　表3.4.1模擬粗差信息 單位：m</p><p>　　由于所加粗差較小，這里不考慮因加粗差所造成的原始觀測量方差-協(xié)方差

94、的微小改變。對此網的數據處理，分別采用如下三種方案：</p><p>　　——在加入粗差前,對此網進行經典最小二乘平差。</p><p>　　——在加入粗差后,對此網進行經典最小二乘平差。</p><p>　　——在加入粗差后,采用等價方差-協(xié)方差函數模型，并取，對此網應用基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計方法進行平差。</p><p>　　

95、平差時以1號點為固定點，其他的點當作未知點，分別采用三種方案進行三維平差，對三種方案所得到的觀測值殘差和坐標真誤差進行比較。</p><p>　　（1）殘差比較。由于是在已知點上設站觀測,故觀測值的真誤差已知。觀測值殘差與觀測值真誤差的接近與否是衡量平差結果質量的依據之一。表3.4.2列出了觀測值加上粗差后經典最小二乘平差法殘差、基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法殘差。不難看出,相對于經典最小二乘平差法殘差,基

96、于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法殘差更能準確反映出粗差的位置和大小。表3.4.2分別計算了兩種方法殘差與中誤差之差的平方和，結果表明基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法殘差從整體上比經典最小二乘平差法殘差更接近真誤差。</p><p>　　經典最小二乘平差法殘差、基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法殘差比較 </p><p>　　表3.4.2

97、 單位：m</p><p>　?。?）真誤差比較。表3.4.3分別給出了基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法和經典最小二乘平差的坐標平差值的真誤差。由表3.4.3可知對含粗差的觀測值，基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法的坐標平差值比經典最小二乘平差法的坐標平差值更接近坐標的真值，說明其具有明顯的抗差能力。另外可知，基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法

98、的坐標平差值真誤差的平方和小于經典最小二乘平差法的坐標平差值真誤差的平方和。這說明基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法的坐標平差值真誤差的平方和從整體上比經典最小二乘平差法的坐標平差值更接近真值。</p><p>　　基于等價方差-協(xié)方差的相關穩(wěn)健估計法與經典最小二乘平差的坐標平差值的真誤差對比。 </p><p>　　表

99、3.4.3 單位：m</p><p>　　4基于等價觀測值的穩(wěn)健估計</p><p><b>　　4.1概述</b></p><p>　　前面一節(jié)，我們對已有的新方法基于方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計作了系統(tǒng)而詳細的說明，并用算例證明了它的可行性，但

100、我認為這種方法還是存在著一些小問題。為此，本文將提出一種新的穩(wěn)健估計方法，并且定義一個新的概念-等價觀測值。</p><p>　　4.2基于等價觀測值的穩(wěn)健估計原理</p><p>　　4.2.1等價觀測值</p><p>　　我們知道，經典最小二乘平差的公式</p><p>　?。?-2-1） </p><p>

101、;　　第一章的時候我們已經了解了選權迭代法的局限性，而基于等價方差-協(xié)方差又在概念上存在不合理性，并且計算過程繁瑣，那有沒有其他的方法呢？</p><p>　　為此，我們提出了一種新的概念，等價觀測值</p><p>　　將式（4-2-1）的前后兩端分別乘以，得到</p><p>　　即 （4-2-2）</p><p>　　其中，

102、稱為觀測值的等價觀測值，它是觀測值的函數。</p><p><b>　　4.2.2計算原理</b></p><p>　　已知觀測值,觀測方程為，權陣為,</p><p>　　由式（4-2-2）可以得到的觀測方程</p><p>　　由觀測方程得到的誤差方程</p><p><b>　　（

103、4-2-3）</b></p><p>　　由于是的函數，，故。即的方差為，由于是單位矩陣，而又知，而為單位權方差，是一個常數，故觀測值的協(xié)方差也是非奇異陣，故可逆，存在權, 且權為獨立觀測權，即觀測值為獨立觀測值。故我們用獨立觀測值的選權迭代法來求出和，最終求得。</p><p>　　為方便運算，我們采用殘差絕對和最小法</p><p><b>

104、;　　函數為 </b></p><p><b>　　相應的權因子為</b></p><p>　　因有可能為0，所以 （4-2-4） ，常取</p><p><b>　　平差準則為 </b></p><p>　　即帶觀測權的殘差絕對和為最小。</p>&

105、lt;p>　　顧及等價權元素，則可得此法的法方程及其解為</p><p><b>　?。?-2-5）</b></p><p>　　4.3基于等價觀測值的穩(wěn)健估計算法</p><p>　　由前面的證明已知，觀測值的等價觀測值的是獨立觀測值，故我們用估計中常用的選權迭代法來推導結果，具體原理見穩(wěn)健估計一章。</p><p&

106、gt;<b>　　故其計算過程為：</b></p><p><b>　　求出觀測值L的</b></p><p>　　假定單位權中誤差，觀測值的權，求得方差</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　再由 ，求得。</b></

107、p><p>　　列立L誤差方程，前后都乘以，最終得到的誤差方程</p><p><b>　?。?-2-6）</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　令各權因子初值均為1，即令，即，則，為觀測值的權陣，因前面已證的方差為，所以；</p><p>　　

108、參照（4-2-5）組成的法方程 （4-2-7） </p><p>　　解算法方程（4-2-7），得出參數和殘差的第一次估值：</p><p>　　由（4-2-4）確定相應的權因子，按構造新的等價權，再解算法方程（4-2-7），得出參數和殘差的第二次估值</p><p>　　由構造新的等價權，再解算法方程，類似迭代計算，直至前后兩次解的差值符合限差要求為止。

109、</p><p><b>　　最后結果為</b></p><p>　　由于，，而，故隨著函數的選取不同，構成了權函數的多種不同形式，但權函數總是一個在平差過程中隨改正數變化的量，其中與的大小成反比，愈大，、就愈小，因此經過多次迭代，從而使含有粗差的觀測值的權函數為零（或接近為零），使其在平差中不起作用，而相應的觀測值殘差在很大程度上反映了其粗差值。</p>

110、<p>　　對于基于等價觀測值的穩(wěn)健估計而言，無論觀測值是獨立的還是相關的，其最終都有一個獨立的等價觀測值與其對應。這樣的好處就可以把一個相關觀測的問題直接變成了一個簡單的獨立問題，這樣就可以利用比較簡單成熟的基于獨立觀測值的方法實現相關觀測的穩(wěn)健估計。</p><p>　　5穩(wěn)健估計方法的比較</p><p>　　前面三章，我們分別介紹了基于選權迭代法的穩(wěn)健估計方法、基于等

111、價方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計方法以及基于等價觀測值的穩(wěn)健估計方法。這一章，我們將定量的來對這三種方法進行比較，并通過具體算例來證明。</p><p>　　5.1經典最小二乘平差與選權迭代法的比較</p><p>　　在下圖5所示的水準網中，A和B是已知高程的水準點，并設這些點已知高程無誤差。圖中、為待定點，A和B點高程、觀測高差和相應的水準路線長度列于下表1中。試求各點的平差高程（在水準路線中

112、認為加入2dm的粗差）。</p><p>　　表4 </p><p>　　5.1.1經典最小二乘平差算法</p><p><b>　　列誤差方程</b></p><p>　　設、點高程平差值為,,相應的近

113、似值取為：</p><p><b>　　按圖列平差方程為：</b></p><p>　　將觀測數據代入上式平差方程后，得到誤差方程為：</p><p><b>　　寫為矩陣形式為：</b></p><p><b>　　，如此,</b></p><p>　

114、　式中，常數項中以mm為單位。</p><p><b>　　定權</b></p><p>　　以1km的觀測高差為單位權觀測值，觀測值互相獨立，定權為,則</p><p><b>　　法方程</b></p><p><b>　　解算法方程</b></p><

115、p><b>　　最終得到結果見表4</b></p><p><b>　　表4</b></p><p>　　由上表，可以看出，雖然仍是可以探測出粗差，但各觀測值偏離真值較大，所以不可用。</p><p>　　5.2選權迭代法和基于等價觀測值在獨立觀測領域的穩(wěn)健估計</p><p>　　5.2.1

116、選權迭代法的計算：</p><p><b>　　1）列誤差方程</b></p><p>　　設、點高程平差值為,,相應的近似值取為：</p><p><b>　　按圖列平差方程為：</b></p><p>　　將觀測數據代入上式平差方程后，得到誤差方程為：</p><p>&

117、lt;b>　　寫為矩陣形式為：</b></p><p><b>　　，如此,</b></p><p>　　式中，常數項中以mm為單位。</p><p><b>　　2）定權</b></p><p>　　以1km的觀測高差為單位權觀測值，觀測值互相獨立，定權為,則</p>

118、<p><b>　　設初始值</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　從而組成法方程 </p><p><b>　　解法方程，得</b></p><p><b>　　計算改正數V:</b></p>

119、<p>　　取，根據定權得各觀測值的一組新權因子。</p><p>　　重復計算（2）-（5）步，直到改正數收斂為止。</p><p>　　在10萬次迭代中取參數兩次差值小于0.0000001mm，最后結果如下表5：</p><p><b>　　表5</b></p><p>　　5.2.2基于等價觀測值的穩(wěn)

120、健估計計算：</p><p><b>　　1）列誤差方程</b></p><p>　　設、點高程平差值為,,相應的近似值取為：</p><p><b>　　按圖列平差方程為：</b></p><p>　　將觀測數據代入上式平差方程后，得到誤差方程為：</p><p><

121、b>　　寫為矩陣形式為：</b></p><p><b>　　，如此,</b></p><p>　　式中，常數項中以mm為單位。</p><p><b>　　計算</b></p><p>　　以1km的觀測高差為單位權觀測值，觀測值互相獨立，定權為,則</p><

122、;p><b>　　則</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　假定，則</b></p><p><b>　　3)求：</b></p><p>　　4)列等價誤差方程：</p><p><

123、;b>　　5）</b></p><p><b>　　設初始值</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　從而組成法方程 </p><p><b>　　解法方程，得</b></p><p><b>

124、;　　計算和的改正數：</b></p><p>　　取，根據定權得各觀測值的一組新權因子。。</p><p>　　重復計算5)到8）步，直到結果收斂為止。</p><p>　　在10萬次迭代中取參數兩次差值小于0.0000001mm，最后結果如下表6：</p><p><b>　　表6</b></p&g