基于等價(jià)觀測站的穩(wěn)健估計(jì)研究畢業(yè)設(shè)計(jì)論文

1、<p>　　本科學(xué)生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）</p><p>　　基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)研究</p><p><b>　　學(xué) 生：</b></p><p><b>　　學(xué) 號：</b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師：</b></p><

2、;p><b>　　專 業(yè)：</b></p><p><b>　　大學(xué)學(xué)院</b></p><p><b>　　二O一四年六月</b></p><p>　　Graduation Design (Thesis) of </p><p>　　Robust estimati

3、on research based on equivalent observations</p><p>　　Undergraduate:</p><p>　　Supervisor: </p><p><b>　　Major: </b></p><p><b>　　June 2014</b><

4、;/p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　測量數(shù)據(jù)可能存在著粗差，而經(jīng)典最小二乘平差方法對粗差敏感，為了減弱粗差的影響，許多學(xué)者基于統(tǒng)計(jì)學(xué)中穩(wěn)健估計(jì)的理論，提出了各種穩(wěn)健估計(jì)方法。注意到，經(jīng)典的穩(wěn)健估計(jì)理論是基于獨(dú)立同分布（iid）樣本，然而測量中的各個(gè)觀測值常常是相關(guān)的。適用于獨(dú)立樣本的理論和方法，推廣到相關(guān)觀測，不可避免會遇到困難。目前流行

5、的是基于等價(jià)權(quán)的方法和基于等價(jià)方差-協(xié)方差陣的穩(wěn)健估計(jì)方法。但這些方法仍在一定程度上有缺陷。</p><p>　　本文提出了等價(jià)觀測值的概念，基于經(jīng)典的穩(wěn)健估計(jì)理論，通過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)變換，調(diào)整相關(guān)觀測條件下的平差模型，建立了一種全新的穩(wěn)健最小二乘估計(jì)理論，使不等價(jià)權(quán)函數(shù)最終在形式上又回歸到等價(jià)權(quán)函數(shù)的嚴(yán)密數(shù)學(xué)運(yùn)算中，避免了測量界與數(shù)學(xué)界間的不一致性。并且，這一理論還將通過具體算例，與基于等價(jià)方差-協(xié)方差陣的穩(wěn)健最小

6、二乘估計(jì)理論在思想、模型和精度方面進(jìn)行比較，從而嚴(yán)格證明其正確性和可行性。</p><p>　　關(guān)鍵詞：穩(wěn)健最小二乘估計(jì)，等價(jià)權(quán)，等價(jià)方差-協(xié)方差，等價(jià)觀測值</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　As we know, measured data necessarily has error, but the

7、 classical least squares theory has’t resistant to it. Thus, many academics proposed a series of robust estim-</p><p>　　ation methods based on the theory of robust estimation in Statistics to weaken the infl

8、uence of gross error. Attention, classical robust estimation theory based on inde- </p><p>　　pendent identical distribution, but the observations are not completely independent of each other and often have

9、some correlation. So, the theory and method being suitable for independent samples will inevitably encounter difficulties to extend to correlated observations. Currently, robust estimation based on equivalent weight and

10、robust estimation based on equivalent variance- covariance matrix is popular. However, they still have some defect.</p><p>　　This thesis proposes a new theory which calls equivalent observation. We adjust th

11、e classical adjustment models to structure a new robust estimation based on classical robust estimation theory by strict mathematical transform, which avoids inconsistency between math and survey. Besides, the theory wil

12、l be compared with the robust estimation based on variance-covariance by concrete example in theory, model and accuracy to strictly prove its rightness and feasibility. </p><p>　　Key words：robust estimation,

13、 equivalent weight, equivalent variance-covariance, equivalent observation</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘 要3</b></p><p>　　ABSTRACT4</p><p&

14、gt;<b>　　1緒論7</b></p><p>　　1.1課題產(chǎn)生背景7</p><p>　　1.2課題主要內(nèi)容7</p><p><b>　　1.3實(shí)現(xiàn)途徑8</b></p><p><b>　　2穩(wěn)健估計(jì)9</b></p><p>　　

15、2.1穩(wěn)健估計(jì)概述9</p><p>　　2.1.1產(chǎn)生背景9</p><p>　　2.1.2穩(wěn)健估計(jì)9</p><p>　　2.2穩(wěn)健估計(jì)原理10</p><p>　　2.2.1概述10</p><p>　　2.2.2常用估計(jì)準(zhǔn)則10</p><p>　　2.3基于選權(quán)迭代法的穩(wěn)健

16、估計(jì)方法12</p><p>　　2.3.1概述12</p><p>　　2.3.2等權(quán)獨(dú)立觀測的選權(quán)迭代法12</p><p>　　2.3.2不等權(quán)獨(dú)立觀測的選權(quán)迭代法13</p><p>　　2.3.3穩(wěn)健M估計(jì)算法14</p><p>　　2.4相關(guān)觀測的穩(wěn)健估計(jì)方法15</p><

17、;p><b>　　2.5算例16</b></p><p>　　3基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)18</p><p><b>　　3.1概述18</b></p><p>　　3.1.1背景18</p><p>　　3.1.2概述18</p><p>　　3.1.

18、3觀測量的相關(guān)系數(shù)19</p><p>　　3.2基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)原理19</p><p>　　3.2.1模型的建立19</p><p>　　3.2.2方差-協(xié)方差調(diào)整因子的確定20</p><p>　　3.2.3等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型及其特點(diǎn)21</p><p>　　3.2.4相關(guān)函數(shù)21

19、</p><p>　　3.2.5相關(guān)等價(jià)方差-協(xié)方差因子22</p><p>　　3.2.6相關(guān)函數(shù)22</p><p>　　3.2.7崩潰污染率[6]23</p><p>　　3.3基于等價(jià)方差-協(xié)方差理論的優(yōu)點(diǎn)23</p><p><b>　　3.4算例23</b></p>

20、;<p>　　4基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)28</p><p><b>　　4.1概述28</b></p><p>　　4.2基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)原理28</p><p>　　4.2.1等價(jià)觀測值28</p><p>　　4.2.2計(jì)算原理28</p><p>　　4.3

21、基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)算法29</p><p>　　5穩(wěn)健估計(jì)方法的比較31</p><p>　　5.1經(jīng)典最小二乘平差與選權(quán)迭代法的比較31</p><p>　　5.1.1經(jīng)典最小二乘平差算法31</p><p>　　5.2選權(quán)迭代法和基于等價(jià)觀測值在獨(dú)立觀測領(lǐng)域的穩(wěn)健估計(jì)33</p><p>　　5.2

22、.1選權(quán)迭代法的計(jì)算：33</p><p>　　5.2.2基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)計(jì)算：36</p><p>　　5.3基于等價(jià)方差-協(xié)方差和基于等價(jià)觀測值在相關(guān)觀測領(lǐng)域的穩(wěn)健估計(jì)39</p><p>　　5.3.1基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)40</p><p>　　5.3.2基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)42</p>

23、<p>　　5.4算例分析總結(jié)：44</p><p><b>　　6結(jié)論46</b></p><p><b>　　6.1優(yōu)點(diǎn)46</b></p><p><b>　　致 謝47</b></p><p>　　參 考 文 獻(xiàn)48</p><p

24、><b>　　附錄一49</b></p><p>　　例題（P16）49</p><p><b>　　附錄二50</b></p><p><b>　　附錄三51</b></p><p><b>　　附錄四52</b></p>

25、<p><b>　　附錄五54</b></p><p><b>　　1緒論</b></p><p><b>　　1.1課題產(chǎn)生背景</b></p><p>　　對于測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，是測量的主要工作之一。理論上最為我們熟悉的最小二乘理論，但其僅僅在數(shù)學(xué)界是嚴(yán)密的。因?yàn)闇y量數(shù)據(jù)總會不可避免的

26、伴隨著粗差，而最小二乘平差模型對粗差的抵抗性較差，會使觀測值偏離其真值，嚴(yán)重影響平差結(jié)果?；谝陨显?，專家們又?jǐn)U展出了多種穩(wěn)健估計(jì)方法，而穩(wěn)健估計(jì)中被廣泛應(yīng)用并且便于程序?qū)崿F(xiàn)的是選權(quán)迭代法。</p><p>　　現(xiàn)階段，雖然在數(shù)學(xué)界，選權(quán)迭代法是完全嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模珜⑵鋺?yīng)用到測量界，卻存在其局限性。我們現(xiàn)在在測量界應(yīng)用的選權(quán)迭代法是建立在等價(jià)權(quán)的基礎(chǔ)上，即觀測量是相互獨(dú)立的。但在真實(shí)生活中，由于觀測數(shù)據(jù)間具有相關(guān)性，

27、即所需要的權(quán)并不一定是方陣，這就使選權(quán)迭代法不能應(yīng)用。雖然，后面陸續(xù)有專家提出解決方案，但大多運(yùn)算過程比較復(fù)雜，其中，最為優(yōu)良的是姚宜斌提出的基于等價(jià)方差協(xié)方差陣的新理論，不是迭代傳統(tǒng)意義上的權(quán)，而是迭代方差協(xié)方差陣。雖然這一理論克服了傳統(tǒng)意義上的選權(quán)迭代法在測量界應(yīng)用的局限性，但其自身依然存在著一些問題。為此，基于以前的理論，本課題提出了一種新的穩(wěn)健估計(jì)方法-基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)，這理論定義了新的概念-等價(jià)觀測，后面會詳細(xì)介紹其原

28、理及處理數(shù)據(jù)的一般過程和步驟，并通過具體案例與前兩種方法進(jìn)行數(shù)據(jù)質(zhì)量分析，比較各自的優(yōu)劣。</p><p><b>　　1.2課題主要內(nèi)容</b></p><p>　　本論文主將介紹一種新的處理相關(guān)觀測量的穩(wěn)健估計(jì)方法-基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)研究。</p><p>　　詳細(xì)介紹穩(wěn)健估計(jì)的思想，重點(diǎn)研究基于等價(jià)權(quán)的穩(wěn)健估計(jì)方法，并且還會涉及到處

29、理相關(guān)觀測值的一些方法，并且會通過案例來驗(yàn)證選權(quán)迭代法的可行性，在理論上介紹數(shù)據(jù)處理理論研究的一般過程及具體步驟；</p><p>　　對相關(guān)觀測的數(shù)據(jù)處理方法中，最為突出的是基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)研究，由武漢大學(xué)的姚宜斌教授提出，因現(xiàn)階段只有其自己一個(gè)人有關(guān)這方面的著作，故本文將大量引用他的研究內(nèi)容，并通過算例來證明其可行性，使讀者對相關(guān)觀測的處理方法有一個(gè)大致的了解。</p><p

30、>　　本文的核心內(nèi)容是基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)研究，由于這是一個(gè)創(chuàng)新，故會在文中定義什么是等價(jià)觀測值，以及其平差模型，并且介紹其處理相關(guān)觀測的一般過程及具體步驟。并通過算例來證明其可行性。</p><p>　　在文章最后，本文會系統(tǒng)性地介紹這三種方法各自的優(yōu)劣性，通過定性、定量比較來選出最好的處理方法，并通過算例來證明研究結(jié)果的正確性。</p><p><b>　　1.3實(shí)

31、現(xiàn)途徑</b></p><p>　　由于本文中介紹的等價(jià)權(quán)的理論已相當(dāng)成熟，故主要是通過閱讀相關(guān)文獻(xiàn)及書籍來學(xué)習(xí)；</p><p>　　基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)理論是通過網(wǎng)上下載期刊、論文等來闡述其原理；</p><p>　　本文中的算例都是用數(shù)據(jù)處理軟件matlab來處理，通過自學(xué)matlab軟件，編寫小程序來處理數(shù)據(jù)，由數(shù)據(jù)處理結(jié)果來驗(yàn)證三種方

32、法的優(yōu)劣性。</p><p><b>　　2穩(wěn)健估計(jì)</b></p><p><b>　　2.1穩(wěn)健估計(jì)概述</b></p><p><b>　　2.1.1產(chǎn)生背景</b></p><p>　　測量數(shù)據(jù)處理是對一組含有誤差的觀測值，按一定的數(shù)學(xué)模型，包括函數(shù)模型和隨機(jī)模型，按某

33、種估計(jì)準(zhǔn)則，求出未知參數(shù)的最優(yōu)估值，并評定其精度。當(dāng)觀測值中僅包含偶然誤差時(shí)，按最小二乘準(zhǔn)則估計(jì)平差模型的參數(shù)，將具有最優(yōu)的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，亦即所估參數(shù)為最優(yōu)線性無偏估計(jì)。</p><p>　　統(tǒng)計(jì)學(xué)家根據(jù)大量觀測數(shù)據(jù)分析指出，在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)所采集的數(shù)據(jù)中，粗差出現(xiàn)的概率約為（Huber《Robust Statistics》）[1]。粗差被定義為比最大偶然誤差還要大的誤差，如果平差模型中包含了這種粗差，即使為數(shù)不

34、多，仍將嚴(yán)重歪曲參數(shù)的最小二乘估計(jì)，影響成果的質(zhì)量，造成極為不良的后果。隨著全球定位系統(tǒng)（GPS）、地理信息系統(tǒng)（GIS）、遙感（RS）等先進(jìn)測量技術(shù)的發(fā)展，測量數(shù)據(jù)采集的現(xiàn)代化和自動(dòng)化，在某種意義上而言，粗差也不可避免地被包含在平差模型之中。因此，如何處理同時(shí)存在偶然誤差和粗差的觀測數(shù)據(jù)，以達(dá)到減弱或消除其對成果的影響，是近二十年來現(xiàn)代測量平差所注意研究的理論課題。</p><p><b>　　2.1

35、.2穩(wěn)健估計(jì)</b></p><p>　　現(xiàn)代測量平差理論中，考慮粗差產(chǎn)生的原因和影響，在數(shù)據(jù)處理時(shí)可將粗差歸為函數(shù)模型，或歸為隨機(jī)模型。將粗差歸為函數(shù)模型，粗差即表現(xiàn)為觀測量誤差絕對值較大且偏離群體；將粗差歸為隨機(jī)模型，粗差即表現(xiàn)為先驗(yàn)隨機(jī)模型和實(shí)際隨機(jī)模型的差異過大。</p><p>　　將粗差歸為函數(shù)模型，可解釋為均值漂移模型，其處理的思想是在正式進(jìn)行最小二乘平差之前探測

36、和定位粗差，然后剔除含粗差的觀測值，得到一組比較凈化的觀測值，以便符合最小二乘平差觀測值只具有偶然誤差的條件；而將粗差歸為隨機(jī)模型，可解釋為方差膨脹模型，其處理的思想是根據(jù)逐次迭代平差的結(jié)果來不斷地改變觀測值的權(quán)或方差，最終使粗差觀測值的權(quán)趨于零或方差趨于無窮大，這種方法可以保證所估計(jì)的參數(shù)少受模型誤差，特別是粗差的影響。</p><p>　　前已指出，在測量數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布情況下，最小二乘估計(jì)具有最優(yōu)統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

37、但最小二乘法對含粗差的觀測量相當(dāng)敏感，個(gè)別粗差就會對參數(shù)的估值產(chǎn)生較大的影響。下面是一個(gè)簡單的例子：</p><p>　　設(shè)某量的真值為10，對其進(jìn)行了8次觀測得：</p><p>　　采用最小二乘估計(jì)，即取其平均值得。</p><p>　　由上例可以看出，由于受粗差觀測值的干擾，使最小二乘估計(jì)結(jié)果失實(shí)，與真值偏差較大。</p><p>　　

38、穩(wěn)健估計(jì)（Robust Estimation），測量中也稱為抗差估計(jì)，正是針對最小二乘法抗粗差的干擾差這一缺陷提出的，其目的在于構(gòu)造某種估計(jì)方法，使其對于粗差具有較強(qiáng)的抵抗能力。自1953年G.E.P.BOX首先提出穩(wěn)健性（Robustness）的概念，Tukey、Huber、Hampel、Rousseeuw等人對參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行了卓有成效的研究，經(jīng)過眾多數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)家?guī)资甑拈_拓和耕耘，至今穩(wěn)健估計(jì)已發(fā)展成為一門受到多學(xué)科關(guān)注的分支學(xué)

39、科。</p><p>　　本章結(jié)合測量數(shù)據(jù)和平差模型的特點(diǎn)，闡述穩(wěn)健估計(jì)的原理以及實(shí)用的平差方法。</p><p><b>　　2.2穩(wěn)健估計(jì)原理</b></p><p><b>　　2.2.1概述</b></p><p>　　穩(wěn)健估計(jì)討論問題的方式是:對于實(shí)際問題有一個(gè)假定模型，同時(shí)又認(rèn)為這個(gè)模型

40、并不準(zhǔn)確，而只是實(shí)際問題理論模型的一個(gè)近似。它要求解決這類問題的估計(jì)方法應(yīng)達(dá)到以下目標(biāo)：</p><p>　　1）假定的觀測分布模型下，估值應(yīng)是最優(yōu)的或接近最優(yōu)的。</p><p>　　2）當(dāng)假設(shè)的分布模型與實(shí)際的理論分布模型有較小差異時(shí)，估值受到粗差的影響較小。</p><p>　　3）當(dāng)假設(shè)的分布模型與實(shí)際的理論分布模型有較大偏離時(shí)，估值不至于受到破壞性影響。&

41、lt;/p><p>　　穩(wěn)健估計(jì)的基本思想是：在粗差不可避免的情況下，選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)方法，使參數(shù)的估值盡可能避免粗差的影響，得到正常模式下的最佳估值。穩(wěn)健估計(jì)的原則是要充分利用觀測數(shù)據(jù)（或樣本）中的有效信息，限制利用可用信息，排除有害信息。由于事先不大準(zhǔn)確知道觀測數(shù)據(jù)中有效信息和有害信息所占比例以及它們具體包含在哪些觀測中，從抗差的主要目標(biāo)著眼是要冒損失一些效率的風(fēng)險(xiǎn)，去獲得較可靠的、具有實(shí)際意義的、較有效的估值。&

42、lt;/p><p>　　2.2.2常用估計(jì)準(zhǔn)則</p><p>　　一、極大似然估計(jì)準(zhǔn)則[2]</p><p>　　設(shè)獨(dú)立觀測樣本，為待估參數(shù)，的分布密度為，其極大似然估計(jì)準(zhǔn)則為</p><p><b>　?。?-2-1）</b></p><p><b>　　或</b></

43、p><p><b>　?。?-2-2） </b></p><p>　　二、正態(tài)分布密度下的極大似然估計(jì)準(zhǔn)則</p><p>　　設(shè)獨(dú)立觀測樣本，其密度函數(shù)為</p><p>　　參數(shù)的極大似然估計(jì)準(zhǔn)則由（1-2-1）式得</p><p>　　或 （1-2-3）

44、</p><p>　　亦即正態(tài)分布密度下的極大似然估計(jì)準(zhǔn)則就是最小二乘估計(jì)準(zhǔn)則。</p><p>　　三、穩(wěn)健估計(jì)的極大似然估計(jì)準(zhǔn)則</p><p>　　穩(wěn)健估計(jì)基本可以分為三大類型，即</p><p>　　[4]估計(jì)：又稱為極大似然估計(jì)，基于1964年Huber所提出的估計(jì)理論，丹麥的Krarup和Kubik等人于1980年將穩(wěn)健估計(jì)理論引

45、入測量界。</p><p>　　估計(jì)：又稱為排序線性組合估計(jì)，在測繪界也有一定范圍應(yīng)用。</p><p>　　估計(jì)：又稱秩估計(jì)，目前在測繪界應(yīng)用還很少。</p><p>　　由于估計(jì)是測量平差中最主要的抗差準(zhǔn)則，下面著重對估計(jì)加以討論。</p><p>　　設(shè)觀測樣本，為待估參數(shù)，觀測值的分布密度為，按(1-2-2)極大似然估計(jì)準(zhǔn)則為<

46、/p><p><b>　　（1-2-4）</b></p><p>　　若以代替，則極大似然估計(jì)準(zhǔn)則可改寫為</p><p><b>　　（1-2-5）</b></p><p><b>　　對上式求導(dǎo)，得</b></p><p><b>　　（1-2

47、-6）</b></p><p><b>　　其中。</b></p><p>　　由此可見，有一個(gè)（或）函數(shù)，就定義了一個(gè)估計(jì)，所以估計(jì)是指由（1-2-4）或（1-2-5）定義的一大類估計(jì)。常用的函數(shù)是對稱、連續(xù)、嚴(yán)凸或者在正半軸上非降的函數(shù)，而且函數(shù)常取成滿足上述條件的函數(shù)之導(dǎo)函數(shù)。</p><p>　　采用估計(jì)的關(guān)鍵是確定(或)函

48、數(shù)。作為一種穩(wěn)健估計(jì)方法，函數(shù)的選取必須滿足上述的穩(wěn)健估計(jì)基本思想和參數(shù)穩(wěn)健估計(jì)的三個(gè)目標(biāo)。</p><p><b>　　如果將函數(shù)選為</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　此為最小二乘準(zhǔn)則，它不具有抗差性，就不能認(rèn)為它是一種穩(wěn)健的估計(jì)方法。</p><p>　　2

49、.3基于選權(quán)迭代法的穩(wěn)健估計(jì)方法</p><p><b>　　2.3.1概述</b></p><p>　　估計(jì)的估計(jì)方法有許多種，在測量平差中應(yīng)用最廣泛、計(jì)算簡單、算法類似于最小二乘平差、易于程序?qū)崿F(xiàn)的是選權(quán)迭代法。</p><p>　　設(shè)獨(dú)立觀測值為，未知參數(shù)向量為，誤差方程及權(quán)陣為</p><p><b>

50、　　（1-3-1）</b></p><p><b>　　式中為的系數(shù)向量。</b></p><p>　　考慮誤差方程，估計(jì)的函數(shù)可表述為</p><p><b>　?。?-3-2）</b></p><p>　　2.3.2等權(quán)獨(dú)立觀測的選權(quán)迭代法</p><p>　

51、　設(shè)（1-3-1）式中的權(quán)陣，即，按估計(jì)極大似然估計(jì)準(zhǔn)則并取函數(shù)為（1-3-2）式，則為</p><p><b>　?。?-3-3）</b></p><p>　　上式對求導(dǎo)，同時(shí)記，可得 </p><p><b>　　對</b></p><p><b>　　上式進(jìn)行轉(zhuǎn)置，得</b&g

52、t;</p><p>　　或 （1-3-4）</p><p>　　再令，并將（1-3-4）寫成矩陣形式，得</p><p><b>　　（1-3-5）</b></p><p><b>　　式中</b></p><p><b&g

53、t;　?。?-3-6）</b></p><p>　　稱為穩(wěn)健權(quán)矩陣，其元素稱為穩(wěn)健權(quán)因子，簡稱權(quán)因子，是相應(yīng)殘差的函數(shù)。</p><p>　　將誤差方程（1-3-1）代入所得估計(jì)的法方程式為</p><p><b>　　（1-3-7）</b></p><p>　　當(dāng)選定函數(shù)后，穩(wěn)健權(quán)陣可以確定，但是的函數(shù)，故

54、穩(wěn)健估計(jì)需要對權(quán)進(jìn)行迭代求解。</p><p>　　2.3.2不等權(quán)獨(dú)立觀測的選權(quán)迭代法</p><p>　　誤差方程及權(quán)陣為（1-3-1）式，Huber于1964提出的估計(jì)準(zhǔn)則[4]（1-3-3）沒有考慮測量中不等精度觀測情況，但這種情況在測量平差中是普遍情形，為此，周江文教授于1989年提出了不等權(quán)獨(dú)立觀測情況下的估計(jì)準(zhǔn)則[2]為</p><p><b&g

55、t;　　（1-3-8）</b></p><p>　　與第一節(jié)推導(dǎo)類似，將上式對求導(dǎo)，同時(shí)記，可得</p><p><b>　?。?-3-9）</b></p><p><b>　　令，，則有</b></p><p>　　或 （1-3-10）

56、</p><p>　　將代入，可得估計(jì)的法方程為</p><p><b>　?。?-3-11）</b></p><p>　　式中為等價(jià)權(quán)陣，為等價(jià)權(quán)元素，是觀測權(quán)與權(quán)因子之積，其定義由周江文給出。當(dāng)時(shí)，則，準(zhǔn)則（1-3-8）就是（1-3-3）式，可見后者是前者的特殊情況。</p><p>　　上式與最小二乘估計(jì)中的法方程

57、形式完全一致，僅用權(quán)函數(shù)矩陣代替觀測權(quán)陣。由于權(quán)函數(shù)矩陣是殘差的函數(shù)，計(jì)算前未知，只能通過給其賦予一定的初值，采用迭代方法估計(jì)參數(shù)。由此得參數(shù)的穩(wěn)健估計(jì)估值為：</p><p><b>　　（1-3-12）</b></p><p>　　用選權(quán)迭代法進(jìn)行穩(wěn)健估計(jì)，測繪界也稱為抗差最小二乘法。</p><p>　　2.3.3穩(wěn)健M估計(jì)算法</

58、p><p><b>　　其計(jì)算過程為：</b></p><p>　　(1) 列立誤差方程，令各權(quán)因子初值均為1，即令，，則，為觀測權(quán)陣；</p><p>　　(2) 解算法方程（1-3-11），得出參數(shù)和殘差的第一次估值：</p><p>　　(3) 由按確定各觀測值新的權(quán)因子，按構(gòu)造新的等價(jià)權(quán)，再解算法方程（1-3-11）

59、，得出參數(shù)和殘差的第二次估值：</p><p>　　(4) 由構(gòu)造新的等價(jià)權(quán)，再解算法方程，類似迭代計(jì)算，直至前后兩次解的差值符合限差要求為止；</p><p><b>　　(5) 最后結(jié)果為</b></p><p>　　由于，而，，故隨著函數(shù)的選取不同，構(gòu)成了權(quán)函數(shù)的多種不同形式，但權(quán)函數(shù)總是一個(gè)在平差過程中隨改正數(shù)變化的量，其中與的大小成反

60、比，愈大，、就愈小，因此經(jīng)過多次迭代，從而使含有粗差的觀測值的權(quán)函數(shù)為零（或接近為零），使其在平差中不起作用，而相應(yīng)的觀測值殘差在很大程度上反映了其粗差值。這樣一種通過在平差過程中變權(quán)實(shí)現(xiàn)參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)健性的方法，稱之為選權(quán)迭代法。</p><p>　　2.4相關(guān)觀測的穩(wěn)健估計(jì)方法</p><p>　　現(xiàn)代測量手段趨向于向數(shù)據(jù)采集的自動(dòng)化和快速化發(fā)展，其觀測量及觀測量的誤差都具有一定的特殊性

61、和復(fù)雜性。首先，大規(guī)模集成化的數(shù)據(jù)采集手段可同時(shí)獲取大批量的多類觀測數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)需進(jìn)行綜合的數(shù)據(jù)處理和分析，這樣的觀測量之間大多存在著比較強(qiáng)的相關(guān)性，并且觀測量中還同時(shí)包含了粗差、系統(tǒng)誤差及偶然誤差，其中粗差和系統(tǒng)誤差成為影響最終平差精度的主要因素。在平差處理中，如何發(fā)現(xiàn)和區(qū)分相關(guān)粗差觀測量，并消除其影響，是提高大規(guī)模整體平差成果精度的一個(gè)關(guān)鍵問題。統(tǒng)計(jì)學(xué)界對相關(guān)隨機(jī)變量的抗差估計(jì)幾乎沒有什么討論。在測繪界，針對測繪工作的實(shí)際情況，

62、我國學(xué)者楊元喜、劉經(jīng)南等提出了一些實(shí)用的方法和模型。</p><p>　　估計(jì)是穩(wěn)健估計(jì)的基本估計(jì)類型之一，且在測繪界廣泛應(yīng)用，從估計(jì)著手，許多學(xué)者推導(dǎo)了許多的相關(guān)等價(jià)權(quán)函數(shù)，其中應(yīng)用最為廣泛的是IGGIII方案,IGGIII方案的相關(guān)等價(jià)權(quán)函數(shù)為:</p><p><b>　?。?-4-1）</b></p><p><b>　　式中

63、，。</b></p><p>　　需要說明的是，楊元喜等（2002）對等價(jià)權(quán)函數(shù)進(jìn)行了擴(kuò)展，構(gòu)造了雙因子等價(jià)權(quán)模型[13]，其構(gòu)造的雙因子等價(jià)權(quán)元素為：</p><p><b>　?。?-4-2）</b></p><p>　　式中，和為自適應(yīng)降權(quán)因子和收縮因子，可采用Huber函數(shù)，即</p><p><

64、;b>　　（1-4-3）</b></p><p>　　式中為標(biāo)準(zhǔn)化殘差，為常量，可取，和相似。而也可采用其他降權(quán)因子，如Hampel權(quán)函數(shù)等。</p><p><b>　　2.5算例</b></p><p>　　如下圖所示水準(zhǔn)網(wǎng)，A和B是已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，并設(shè)這些點(diǎn)已知高程無誤差。圖中P1、P2為待定點(diǎn)，A和B點(diǎn)高程、觀測高差

65、和相應(yīng)的水準(zhǔn)路線長度列于表1。試求各點(diǎn)的平差高度（在水準(zhǔn)路線h2中人為加入2dm的粗差）。</p><p>　　表1 觀測數(shù)據(jù)</p><p><b>　　解（1）列誤差方程</b></p><p>　　設(shè)P1，P2點(diǎn)高程平差值為x1，x2，相應(yīng)的近似值取

66、為</p><p>　　X1=HA+h1 , X2=HA+h2</p><p>　　按圖列出平差值方程后，將觀測數(shù)據(jù)代入即得誤差方程</p><p><b>　　V=Bx-L</b></p><p><b>　?。?）定權(quán)</b></p><p>　　以1km的觀測高差為

67、單位權(quán)觀測值，觀測值相互獨(dú)立，定權(quán)為pi=1/Si,得到權(quán)P，設(shè)初始值w為單位矩陣，則P1=Pw，組成法方程，得 B’*P1*B*x- B’*P1*L=0</p><p>　　（3）解法方程，得x</p><p><b>　?。?）計(jì)算改正數(shù)：</b></p><p><b>　　V=Bx-L</b></p>

68、<p>　?。?）取k=10^-10，根據(jù)定權(quán)得各觀測值的一組新權(quán)因子。</p><p>　?。?）重復(fù)計(jì)算（2）-（5）步，直到改正數(shù)收斂為止。</p><p>　　matlab實(shí)現(xiàn)程序現(xiàn)附錄A</p><p>　　下面是25次迭代之后的結(jié)果（由于matlab程序本身的四舍五入等，計(jì)算結(jié)果與課本計(jì)算結(jié)果有稍許偏差）。</p><p&

69、gt;　　表2 結(jié)果</p><p>　　從上面的結(jié)果中，可以很容易的看出h2中存在粗差。</p><p>　　3基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)</p><p><b>　　3.1概述</b></p><p&g

70、t;<b>　　3.1.1背景</b></p><p>　　穩(wěn)健估計(jì)在測量應(yīng)用中具有重要進(jìn)展。1964年Huber所提出的M估計(jì)理論, 丹麥的Krarup和Kubik等人于1980年將穩(wěn)健估計(jì)理論引入測量界, 并提出了著名的“丹麥法”。德國的Caspary和Borutta也作了一系列的應(yīng)用研究, 如穩(wěn)健估計(jì)在形變模型中的應(yīng)用, 位置參數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差因子同時(shí)求解的穩(wěn)健估計(jì)問題等。我國學(xué)者李德仁教授

71、、周江文教授、黃幼才教授、楊元喜教授、王新洲教授等對這種方法進(jìn)行了大量的深入研究。</p><p>　　但需要指出的是, 對于獨(dú)立觀測的穩(wěn)健估計(jì),目前的研究從理論到實(shí)踐都很完備, 而對于相關(guān)觀測量的穩(wěn)健估計(jì), 目前的研究才剛剛起步, 完備的理論框架尚未建立, 應(yīng)用的技術(shù)方法有待進(jìn)一步探討, 因此還有大量的理論和方向問題需要我們?nèi)ヌ剿鹘鉀Q。</p><p>　　常用的相關(guān)等價(jià)權(quán)函數(shù)都是基于反

72、映了觀測量間的相關(guān)性這一前提，而且在構(gòu)造相關(guān)等價(jià)權(quán)函數(shù)時(shí)沒有顧及觀測量間相關(guān)性的不變性，因此現(xiàn)有的相關(guān)等價(jià)權(quán)函數(shù)一般會存在下面的幾點(diǎn)問題：</p><p>　　(1)滿足穩(wěn)健估計(jì)規(guī)則的相關(guān)等價(jià)權(quán)通常都是非對稱的，這種非對稱性會給平差計(jì)算帶來困難而且與實(shí)際情況不符。</p><p>　　(2)并不能直觀地反映觀測量之間的相關(guān)性,反映觀測量之間相關(guān)性的是相關(guān)系數(shù),而由方差-協(xié)方差陣確定。<

73、;/p><p>　　(3)若不考慮相關(guān)系數(shù)，則對的調(diào)整反過來會直接改變觀測量的相關(guān)性,而觀測值的相關(guān)性僅取決于觀測量本身的幾何物理結(jié)構(gòu),不能隨意更改。</p><p><b>　　3.1.2概述</b></p><p>　　實(shí)際上,如果將粗差歸為隨機(jī)模型,它表現(xiàn)為粗差觀測量的先驗(yàn)方差與其實(shí)際方差之間有較大的差異,則可以解釋為方差膨脹模型（見圖1所示

74、）,此時(shí)可以通過擴(kuò)大異常觀測的方差來控制粗差的影響。基于這種考慮，劉經(jīng)南、姚宜斌等（2000）提出基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健最小二乘估計(jì)方法,具體是根據(jù)逐次迭代平差的結(jié)果來不斷的擴(kuò)大觀測值的方差-協(xié)方差[11],使粗差觀測量的先驗(yàn)方差與其實(shí)際方差相匹配,以減少粗差的影響。</p><p>　　圖1方差膨脹模型（粗差歸為隨機(jī)模型）</p><p>　　3.1.3觀測量的相關(guān)系數(shù)</p&

75、gt;<p>　　某隨機(jī)向量中任意兩個(gè)分量ξi和ξj之間的相關(guān)系數(shù)ρij定義為</p><p>　　這里D、Q分別表示分量的方差、協(xié)因數(shù)。為無量綱的量, 它準(zhǔn)確地反映了兩隨機(jī)變量間的相關(guān)程度。</p><p>　　觀測量的協(xié)因數(shù)陣只與觀測量本身的幾何物理結(jié)構(gòu)有關(guān), 與觀測量本身無關(guān), 不管觀測量是否含有粗差, 觀測量的不變, 觀測量間的相關(guān)系數(shù)也不變。通常, 如果說隨機(jī)模型有

76、誤差, 是指先驗(yàn)方差因子有誤差, 或其對應(yīng)的某個(gè)觀測值的方差因子分量有誤差, 不是指有誤差。</p><p>　　3.2基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)原理</p><p>　　3.2.1模型的建立</p><p>　　我們知道, 對于基于等價(jià)權(quán)的穩(wěn)健估計(jì)而言, 其核心是等價(jià)權(quán)函數(shù)的設(shè)計(jì), 同樣地, 對于基于等價(jià)方差—協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)而言, 其核心是等價(jià)方差—協(xié)方差函

77、數(shù)的設(shè)計(jì)。</p><p>　　由公式（1-2-5）得到，對于估計(jì)而言,所構(gòu)造的函數(shù)應(yīng)滿足：</p><p><b>　?。?-2-1）</b></p><p>　　顧及先驗(yàn)方差-協(xié)方差，函數(shù)應(yīng)滿足：</p><p><b>　?。?-2-2）</b></p><p>　　對

78、于多維估計(jì)，其極值函數(shù)可表述為：</p><p><b>　?。?-2-3）</b></p><p>　　注意這里用的是方差的逆矩陣，主要是考慮到后面利用最小二乘求解的方便。</p><p>　　對（2-2-3）求導(dǎo)，并令為零，同時(shí)記，則有</p><p><b>　　（2-2-4）</b><

79、/p><p>　　注意上式中省略了對的求導(dǎo)，主要是考慮到對與對求導(dǎo)形式完全相同，且，，故（2-2-9）式中可省去。</p><p>　?。?-2-4）式的矩陣表達(dá)式為</p><p><b>　?。?-2-5）</b></p><p>　　現(xiàn)直接定義函數(shù)，令，，則（2-2-4）式可化為：</p><p&g

80、t;<b>　?。?-2-6）</b></p><p>　　為計(jì)算的方便，上式兩端乘以，則有：</p><p><b>　　（2-2-7）</b></p><p>　　上式具有最小二乘法的一般形式，可用最小二乘法求解。</p><p>　　3.2.2方差-協(xié)方差調(diào)整因子的確定</p>

81、<p>　　所定義的標(biāo)準(zhǔn)化殘差為，并將作為粗差觀測量方差-協(xié)方差的調(diào)整因子。這樣若觀測值含有粗差，其調(diào)整后的方差-協(xié)方差為：</p><p><b>　?。?-2-8）</b></p><p>　　式中為調(diào)整后的方差-協(xié)方差，為先驗(yàn)的方差-協(xié)方差，為粗差觀測量方差-協(xié)方差的調(diào)整因子。</p><p>　　3.2.3等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)

82、模型及其特點(diǎn)</p><p>　　等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型與雙因子等價(jià)權(quán)模型相似，其區(qū)別在異常段，雙因子等價(jià)權(quán)的方差膨脹因子呈直線趨于無窮，而等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型的等價(jià)方差-協(xié)方差因子呈二次曲線趨于無窮。</p><p>　　等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型為：</p><p><b>　?。?-2-9）</b></p><p&

83、gt;　　式中的取值一般在之間，而。</p><p>　　等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型的特點(diǎn)：</p><p>　　(1)該模型是將粗差歸為隨機(jī)模型的方差膨脹模型的直接體現(xiàn)。</p><p>　　(2)對于獨(dú)立觀測，該模型與等價(jià)權(quán)函數(shù)模型等價(jià)。也就是說，等價(jià)權(quán)函數(shù)模型是等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型的一種特例。</p><p>　　(3)對于相關(guān)觀測，

84、該模型充分利用了相關(guān)觀測量間的先驗(yàn)信息（相關(guān)系數(shù)），從而保證了相關(guān)觀測量間的相關(guān)性的不變性，而以前的相關(guān)等價(jià)權(quán)模型很少考慮這一信息，因此該模型更符合實(shí)際。</p><p>　　(4)對于相關(guān)觀測，本模型所設(shè)計(jì)的等價(jià)方差-協(xié)方差陣是嚴(yán)格對稱的，而以前的相關(guān)等價(jià)權(quán)模型所設(shè)計(jì)出的等價(jià)權(quán)陣通常是非對稱的。</p><p>　　(5)該模型簡單直觀，便于植入已有的最小二乘程序，易于程序?qū)崿F(xiàn)。<

85、/p><p><b>　　3.2.4相關(guān)函數(shù)</b></p><p>　?。?-2-5）中我們用到了</p><p>　　因此等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型的相關(guān)函數(shù)為</p><p><b>　　具體為</b></p><p><b>　?。?-2-10）</b>

86、;</p><p><b>　?。?-2-11）</b></p><p>　　式中的取值一般在之間，而、。</p><p>　　3.2.5相關(guān)等價(jià)方差-協(xié)方差因子</p><p>　　為討論問題的方便，特定義相關(guān)等價(jià)方差-協(xié)方差因子為，則對于上述模型，其相關(guān)等價(jià)方差-協(xié)方差因子為：</p><p>

87、;<b>　?。?-2-12）</b></p><p>　　的變化曲線見圖2-2-1。</p><p>　　圖2 相關(guān)等價(jià)方差-協(xié)方差因子曲線</p><p><b>　　3.2.6相關(guān)函數(shù)</b></p><p>　　因在實(shí)用中,函數(shù)常取成滿足對稱、連續(xù)、嚴(yán)凸或者在正半軸上非降的函數(shù)之導(dǎo)函數(shù)，故等

88、價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型的相關(guān)函數(shù)可表述為：</p><p><b>　?。?-2-13）</b></p><p>　　對應(yīng)于上述等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型，其相關(guān)函數(shù)為：</p><p><b>　?。?-2-14）</b></p><p>　　式中的取值多在之間，而。</p><

89、p>　　3.2.7崩潰污染率[6]</p><p>　　崩潰污染率是整體抗差性測度, 它和影響函數(shù)一樣也是定量抗差性的一個(gè)重要指標(biāo), 粗略的說, 它是使估值完全失去控制的粗差的最小比例。需要注意的是, 估計(jì)量崩潰的原因不止一個(gè), 在某些情況下, 無界并不是估計(jì)量崩潰的唯一原因。根據(jù)污染率的定義, 作者利用下文“西安市變形監(jiān)測及測量控制GPS網(wǎng)”的數(shù)據(jù)，經(jīng)反復(fù)驗(yàn)算, 得出本文所提出的基于等價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健

90、估計(jì)模型的崩潰污染率為8%～ 10%。至于如何從具體的函數(shù)式來研究這一模型的崩潰污染率, 有待進(jìn)一步研究。</p><p>　　3.3基于等價(jià)方差-協(xié)方差理論的優(yōu)點(diǎn)</p><p>　　通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，基于等價(jià)方差-協(xié)方差的函數(shù)模型具有下列優(yōu)點(diǎn)：</p><p>　　等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型設(shè)計(jì)來處理粗差是一種行之有效的方法。</p><p>

91、　　若觀測量中不含粗差，利用此模型求得的參數(shù)估值和利用經(jīng)典最小二乘平差求得的參數(shù)估值一致，因而是無偏的、最優(yōu)的。</p><p>　　若觀測量中含有粗差,此模型的參數(shù)估值受粗差的影響較小。</p><p>　　此模型能自動(dòng)地對相關(guān)觀測量的粗差和已知數(shù)據(jù)的粗差進(jìn)行處理,它對粗差的處理是有效的,對獨(dú)立觀測量的粗差,本模型也同樣適用,且處理結(jié)果與等價(jià)權(quán)模型的處理結(jié)果一致。</p>

92、<p><b>　　3.4算例</b></p><p>　　一個(gè)在已知點(diǎn)上實(shí)測的GPS網(wǎng)如圖3.2，網(wǎng)中共有7個(gè)點(diǎn)。網(wǎng)中觀測值是基線向量，分為2個(gè)同步子網(wǎng)。由于是在已知點(diǎn)上觀測的，因而實(shí)際觀測值的真誤差是已知的。</p><p><b>　　圖3.2GPS網(wǎng)圖</b></p><p>　　此網(wǎng)已經(jīng)過了多項(xiàng)粗差分析

93、和檢驗(yàn)，可以認(rèn)為此網(wǎng)中不含粗差。為討論問題的需要，現(xiàn)人為地加入3個(gè)粗差,考慮到實(shí)際情況中出現(xiàn)的都是一些小粗差，并為檢驗(yàn)上文所用的粗差識別方法的有效性，這里所加的粗差都比較小，見表3.4.1。</p><p>　　表3.4.1模擬粗差信息 單位：m</p><p>　　由于所加粗差較小，這里不考慮因加粗差所造成的原始觀測量方差-協(xié)方差

94、的微小改變。對此網(wǎng)的數(shù)據(jù)處理，分別采用如下三種方案：</p><p>　　——在加入粗差前,對此網(wǎng)進(jìn)行經(jīng)典最小二乘平差。</p><p>　　——在加入粗差后,對此網(wǎng)進(jìn)行經(jīng)典最小二乘平差。</p><p>　　——在加入粗差后,采用等價(jià)方差-協(xié)方差函數(shù)模型，并取，對此網(wǎng)應(yīng)用基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)方法進(jìn)行平差。</p><p>　　

95、平差時(shí)以1號點(diǎn)為固定點(diǎn)，其他的點(diǎn)當(dāng)作未知點(diǎn)，分別采用三種方案進(jìn)行三維平差，對三種方案所得到的觀測值殘差和坐標(biāo)真誤差進(jìn)行比較。</p><p>　?。?）殘差比較。由于是在已知點(diǎn)上設(shè)站觀測,故觀測值的真誤差已知。觀測值殘差與觀測值真誤差的接近與否是衡量平差結(jié)果質(zhì)量的依據(jù)之一。表3.4.2列出了觀測值加上粗差后經(jīng)典最小二乘平差法殘差、基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法殘差。不難看出,相對于經(jīng)典最小二乘平差法殘差,基

96、于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法殘差更能準(zhǔn)確反映出粗差的位置和大小。表3.4.2分別計(jì)算了兩種方法殘差與中誤差之差的平方和，結(jié)果表明基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法殘差從整體上比經(jīng)典最小二乘平差法殘差更接近真誤差。</p><p>　　經(jīng)典最小二乘平差法殘差、基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法殘差比較 </p><p>　　表3.4.2

97、 單位：m</p><p>　?。?）真誤差比較。表3.4.3分別給出了基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法和經(jīng)典最小二乘平差的坐標(biāo)平差值的真誤差。由表3.4.3可知對含粗差的觀測值，基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法的坐標(biāo)平差值比經(jīng)典最小二乘平差法的坐標(biāo)平差值更接近坐標(biāo)的真值，說明其具有明顯的抗差能力。另外可知，基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法

98、的坐標(biāo)平差值真誤差的平方和小于經(jīng)典最小二乘平差法的坐標(biāo)平差值真誤差的平方和。這說明基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法的坐標(biāo)平差值真誤差的平方和從整體上比經(jīng)典最小二乘平差法的坐標(biāo)平差值更接近真值。</p><p>　　基于等價(jià)方差-協(xié)方差的相關(guān)穩(wěn)健估計(jì)法與經(jīng)典最小二乘平差的坐標(biāo)平差值的真誤差對比。 </p><p>　　表

99、3.4.3 單位：m</p><p>　　4基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)</p><p><b>　　4.1概述</b></p><p>　　前面一節(jié)，我們對已有的新方法基于方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)作了系統(tǒng)而詳細(xì)的說明，并用算例證明了它的可行性，但

100、我認(rèn)為這種方法還是存在著一些小問題。為此，本文將提出一種新的穩(wěn)健估計(jì)方法，并且定義一個(gè)新的概念-等價(jià)觀測值。</p><p>　　4.2基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)原理</p><p>　　4.2.1等價(jià)觀測值</p><p>　　我們知道，經(jīng)典最小二乘平差的公式</p><p>　?。?-2-1） </p><p>

101、;　　第一章的時(shí)候我們已經(jīng)了解了選權(quán)迭代法的局限性，而基于等價(jià)方差-協(xié)方差又在概念上存在不合理性，并且計(jì)算過程繁瑣，那有沒有其他的方法呢？</p><p>　　為此，我們提出了一種新的概念，等價(jià)觀測值</p><p>　　將式（4-2-1）的前后兩端分別乘以，得到</p><p>　　即 （4-2-2）</p><p>　　其中，

102、稱為觀測值的等價(jià)觀測值，它是觀測值的函數(shù)。</p><p><b>　　4.2.2計(jì)算原理</b></p><p>　　已知觀測值,觀測方程為，權(quán)陣為,</p><p>　　由式（4-2-2）可以得到的觀測方程</p><p>　　由觀測方程得到的誤差方程</p><p><b>　　（

103、4-2-3）</b></p><p>　　由于是的函數(shù)，，故。即的方差為，由于是單位矩陣，而又知，而為單位權(quán)方差，是一個(gè)常數(shù)，故觀測值的協(xié)方差也是非奇異陣，故可逆，存在權(quán), 且權(quán)為獨(dú)立觀測權(quán)，即觀測值為獨(dú)立觀測值。故我們用獨(dú)立觀測值的選權(quán)迭代法來求出和，最終求得。</p><p>　　為方便運(yùn)算，我們采用殘差絕對和最小法</p><p><b>

104、;　　函數(shù)為 </b></p><p><b>　　相應(yīng)的權(quán)因子為</b></p><p>　　因有可能為0，所以 （4-2-4） ，常取</p><p><b>　　平差準(zhǔn)則為 </b></p><p>　　即帶觀測權(quán)的殘差絕對和為最小。</p>&

105、lt;p>　　顧及等價(jià)權(quán)元素，則可得此法的法方程及其解為</p><p><b>　　（4-2-5）</b></p><p>　　4.3基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)算法</p><p>　　由前面的證明已知，觀測值的等價(jià)觀測值的是獨(dú)立觀測值，故我們用估計(jì)中常用的選權(quán)迭代法來推導(dǎo)結(jié)果，具體原理見穩(wěn)健估計(jì)一章。</p><p&

106、gt;<b>　　故其計(jì)算過程為：</b></p><p><b>　　求出觀測值L的</b></p><p>　　假定單位權(quán)中誤差，觀測值的權(quán)，求得方差</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　再由 ，求得。</b></

107、p><p>　　列立L誤差方程，前后都乘以，最終得到的誤差方程</p><p><b>　?。?-2-6）</b></p><p><b>　　其中，</b></p><p>　　令各權(quán)因子初值均為1，即令，即，則，為觀測值的權(quán)陣，因前面已證的方差為，所以；</p><p>　　

108、參照（4-2-5）組成的法方程 （4-2-7） </p><p>　　解算法方程（4-2-7），得出參數(shù)和殘差的第一次估值：</p><p>　　由（4-2-4）確定相應(yīng)的權(quán)因子，按構(gòu)造新的等價(jià)權(quán)，再解算法方程（4-2-7），得出參數(shù)和殘差的第二次估值</p><p>　　由構(gòu)造新的等價(jià)權(quán)，再解算法方程，類似迭代計(jì)算，直至前后兩次解的差值符合限差要求為止。

109、</p><p><b>　　最后結(jié)果為</b></p><p>　　由于，，而，故隨著函數(shù)的選取不同，構(gòu)成了權(quán)函數(shù)的多種不同形式，但權(quán)函數(shù)總是一個(gè)在平差過程中隨改正數(shù)變化的量，其中與的大小成反比，愈大，、就愈小，因此經(jīng)過多次迭代，從而使含有粗差的觀測值的權(quán)函數(shù)為零（或接近為零），使其在平差中不起作用，而相應(yīng)的觀測值殘差在很大程度上反映了其粗差值。</p>

110、<p>　　對于基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)而言，無論觀測值是獨(dú)立的還是相關(guān)的，其最終都有一個(gè)獨(dú)立的等價(jià)觀測值與其對應(yīng)。這樣的好處就可以把一個(gè)相關(guān)觀測的問題直接變成了一個(gè)簡單的獨(dú)立問題，這樣就可以利用比較簡單成熟的基于獨(dú)立觀測值的方法實(shí)現(xiàn)相關(guān)觀測的穩(wěn)健估計(jì)。</p><p>　　5穩(wěn)健估計(jì)方法的比較</p><p>　　前面三章，我們分別介紹了基于選權(quán)迭代法的穩(wěn)健估計(jì)方法、基于等

111、價(jià)方差-協(xié)方差的穩(wěn)健估計(jì)方法以及基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)健估計(jì)方法。這一章，我們將定量的來對這三種方法進(jìn)行比較，并通過具體算例來證明。</p><p>　　5.1經(jīng)典最小二乘平差與選權(quán)迭代法的比較</p><p>　　在下圖5所示的水準(zhǔn)網(wǎng)中，A和B是已知高程的水準(zhǔn)點(diǎn)，并設(shè)這些點(diǎn)已知高程無誤差。圖中、為待定點(diǎn)，A和B點(diǎn)高程、觀測高差和相應(yīng)的水準(zhǔn)路線長度列于下表1中。試求各點(diǎn)的平差高程（在水準(zhǔn)路線中

112、認(rèn)為加入2dm的粗差）。</p><p>　　表4 </p><p>　　5.1.1經(jīng)典最小二乘平差算法</p><p><b>　　列誤差方程</b></p><p>　　設(shè)、點(diǎn)高程平差值為,,相應(yīng)的近

113、似值取為：</p><p><b>　　按圖列平差方程為：</b></p><p>　　將觀測數(shù)據(jù)代入上式平差方程后，得到誤差方程為：</p><p><b>　　寫為矩陣形式為：</b></p><p><b>　　，如此,</b></p><p>　

114、　式中，常數(shù)項(xiàng)中以mm為單位。</p><p><b>　　定權(quán)</b></p><p>　　以1km的觀測高差為單位權(quán)觀測值，觀測值互相獨(dú)立，定權(quán)為,則</p><p><b>　　法方程</b></p><p><b>　　解算法方程</b></p><

115、p><b>　　最終得到結(jié)果見表4</b></p><p><b>　　表4</b></p><p>　　由上表，可以看出，雖然仍是可以探測出粗差，但各觀測值偏離真值較大，所以不可用。</p><p>　　5.2選權(quán)迭代法和基于等價(jià)觀測值在獨(dú)立觀測領(lǐng)域的穩(wěn)健估計(jì)</p><p>　　5.2.1

116、選權(quán)迭代法的計(jì)算：</p><p><b>　　1）列誤差方程</b></p><p>　　設(shè)、點(diǎn)高程平差值為,,相應(yīng)的近似值取為：</p><p><b>　　按圖列平差方程為：</b></p><p>　　將觀測數(shù)據(jù)代入上式平差方程后，得到誤差方程為：</p><p>&

117、lt;b>　　寫為矩陣形式為：</b></p><p><b>　　，如此,</b></p><p>　　式中，常數(shù)項(xiàng)中以mm為單位。</p><p><b>　　2）定權(quán)</b></p><p>　　以1km的觀測高差為單位權(quán)觀測值，觀測值互相獨(dú)立，定權(quán)為,則</p>

118、<p><b>　　設(shè)初始值</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　從而組成法方程 </p><p><b>　　解法方程，得</b></p><p><b>　　計(jì)算改正數(shù)V:</b></p>

119、<p>　　取，根據(jù)定權(quán)得各觀測值的一組新權(quán)因子。</p><p>　　重復(fù)計(jì)算（2）-（5）步，直到改正數(shù)收斂為止。</p><p>　　在10萬次迭代中取參數(shù)兩次差值小于0.0000001mm，最后結(jié)果如下表5：</p><p><b>　　表5</b></p><p>　　5.2.2基于等價(jià)觀測值的穩(wěn)

120、健估計(jì)計(jì)算：</p><p><b>　　1）列誤差方程</b></p><p>　　設(shè)、點(diǎn)高程平差值為,,相應(yīng)的近似值取為：</p><p><b>　　按圖列平差方程為：</b></p><p>　　將觀測數(shù)據(jù)代入上式平差方程后，得到誤差方程為：</p><p><

121、b>　　寫為矩陣形式為：</b></p><p><b>　　，如此,</b></p><p>　　式中，常數(shù)項(xiàng)中以mm為單位。</p><p><b>　　計(jì)算</b></p><p>　　以1km的觀測高差為單位權(quán)觀測值，觀測值互相獨(dú)立，定權(quán)為,則</p><

122、;p><b>　　則</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　假定，則</b></p><p><b>　　3)求：</b></p><p>　　4)列等價(jià)誤差方程：</p><p><

123、;b>　　5）</b></p><p><b>　　設(shè)初始值</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　從而組成法方程 </p><p><b>　　解法方程，得</b></p><p><b>

124、;　　計(jì)算和的改正數(shù)：</b></p><p>　　取，根據(jù)定權(quán)得各觀測值的一組新權(quán)因子。。</p><p>　　重復(fù)計(jì)算5)到8）步，直到結(jié)果收斂為止。</p><p>　　在10萬次迭代中取參數(shù)兩次差值小于0.0000001mm，最后結(jié)果如下表6：</p><p><b>　　表6</b></p&g