一維波動方程cauchy問題解的適定性【畢業(yè)論文+文獻綜述+開題報告】

1、<p><b>　?。?0_ _屆）</b></p><p><b>　　本科畢業(yè)論文</b></p><p>　　一維波動方程Cauchy問題解的適定性</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學

2、與應(yīng)用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p>　　摘要：在常微分方程課程里，我們已經(jīng)認識到方程理論在

3、刻畫現(xiàn)實問題等方面的意義。但是，很多物理現(xiàn)象，如波的傳播，熱的傳導等，卻是常微分方程無法刻畫的。這就需要偏微分方程來描述。波動方程是一種重要的雙曲型偏微分方程。 對一維波動方程Cauchy問題解適定性的研究，對解決高維波動方程有重要意義。 本文主要是對一維波動方程Cauchy問題解的適定性進行一個綜述，主要敘述用特征線法，F(xiàn)ourier變換等研究一維波動方程Cauchy問題解的適定性，并對一些具體的一維波動方程Cauchy問題進行求解。

4、</p><p>　　關(guān)鍵詞：一維波動方程Cauchy問題；適定性；達朗貝爾公式；齊次化原理；特征線法</p><p>　　The well-posedness of the solution for the Cauchy problem of the One-Dimensional Wave Equation</p><p>　　Abstract:In the

5、class of Ordinary Differential Equations,we have known the significance of the theory to equations for depicting the realistic problems.But many Physical phenomena such as the Wave propagation , Heat conduction ,can not

6、be depicted by Ordinary Differential Equations,which needs Partial differential equations to describe.The wave equation is an important hyperbolic Partial differential equations.The research of the well-posedness of the

7、solution of the Cauchy problem of the one-di</p><p>　　Key words: Cauchy problem of the One-Dimensional wave equation ; the well-posedness ; D′Alembert formula ; the homogeneous theorem ; the method of charac

8、teristics</p><p><b>　　目錄</b></p><p><b>　　1 序言1</b></p><p>　　1.1 論文選題的背景、意義1</p><p>　　1.2 相關(guān)研究的成果及動態(tài)2</p><p>　　2 偏微分方程4</

9、p><p>　　2.1 什么是偏微分方程4</p><p>　　2.2 偏微分方程的解4</p><p>　　2.3 偏微分方程的階4</p><p>　　2.4 線性偏微分方程4</p><p>　　3 一維波動方程6</p><p>　　3.1 弦振動方程的導出6</

10、p><p>　　3.2 定解條件6</p><p>　　4 一維波動方程Cauchy問題解的適定性8</p><p>　　4.1 一維齊次波動方程的Cauchy問題8</p><p>　　4.1.1 用特征線法求解一維齊次波動方程的Cauchy問題8</p><p>　　4.1.2 利用Fourier變換

11、求解一維齊次波動方程的Cauchy問題9</p><p>　　4.2 一維齊次波動方程的Cauchy問題解的適定性11</p><p>　　4.3 一維非齊次波動方程的Cauchy問題12</p><p>　　4.3.1 利用齊次化原理求解一維非齊次波動方程的Cauchy問題12</p><p>　　4.3.2 利用特征線法求

12、解一維非齊次波動方程的Cauchy問題14</p><p>　　4.4 一維非齊次波動方程的Cauchy問題解的適定性17</p><p>　　4.5 一維波動方程Cauchy問題廣義解的結(jié)構(gòu)19</p><p><b>　　5 實例20</b></p><p><b>　　總 結(jié)22</

13、b></p><p>　　致 謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　參考文獻23</b></p><p><b>　　1 序言</b></p><p>　　1.1 論文選題的背景、意義</p><p>　　在科學技術(shù)日新月異的發(fā)展過程中，人們研究的

14、許多問題用一個自變量的函數(shù)來描述已經(jīng)顯得不夠了，不少問題有多個變量的函數(shù)來描述。比如，從物理角度來說，物理量有不同的性質(zhì)，溫度、密度等是用數(shù)值來描述的叫做純量；速度、電場的引力等，不僅在數(shù)值上有不同，而且還具有方向，這些量叫做向量；物體在一點上的張力狀態(tài)的描述出的量叫做張量等等。這些量不僅和時間有關(guān)系，而且和空間坐標也有聯(lián)系，這就要用多個變量的函數(shù)來表示。 </p><p>　　應(yīng)該指出，對于所有可能的物理現(xiàn)象用

15、某些多個變量的函數(shù)表示，只能是理想化的，如介質(zhì)的密度，實際上“在一點”的密度是不存在的。而我們把在一點的密度看作是物質(zhì)的質(zhì)量和體積的比當體積無限縮小時的極限，這就是理想化的。介質(zhì)的溫度也是這樣。這樣就產(chǎn)生了研究某些物理現(xiàn)象的理想了的多個變量的函數(shù)方程，這種方程就是偏微分方程。</p><p>　　偏微分方程的興起已有兩百多年的歷史，由起初研究物理與幾何的問題發(fā)展到一個獨立的數(shù)學分支，它內(nèi)容龐雜，方法多樣。偏微分方

16、程討論的問題不僅來源于物理、力學、生物、幾何和化學等學科的古典問題，而且在解決這些問題時應(yīng)用了現(xiàn)代數(shù)學的許多工具。近幾十年來，該領(lǐng)域的研究工作，特別是對非線性方程的理論、應(yīng)用以及計算方法的研究，十分活躍。偏微分方程作為大學的一門基礎(chǔ)課，無論是對數(shù)學專業(yè)還是非數(shù)學專業(yè)的理工科學生都十分重要，他的任務(wù)是建立模型，尋求求解方法，進行理論分析，從而達到解釋物理現(xiàn)象的目的。</p><p>　　偏微分方程有很多種類型，一般

17、包括橢圓型偏微分方程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。波動方程或稱波方程是一種重要的偏微分方程,它通常表述所有種類的波，例如聲波，光波和水波。它出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學,電磁學和流體力學。波動方程的變種可以在量子力學和廣義相對論中見到。</p><p>　　早在18世紀初，人們已經(jīng)將弦線振動的問題歸結(jié)為弦振動方程，并探討了它的解法。隨后，人們又陸續(xù)了解了流體的運動、彈性體的平衡和振動、熱傳導、電磁相互作用、原

18、子核和電子的相互作用、化學反應(yīng)過程等等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律，把它們寫成偏微分方程的形式，并且求出了典型問題的解答，從而能通過實踐，驗證這些基本規(guī)律的正確性，顯示了數(shù)學物理方程對于認識自然界基本規(guī)律的重要性。</p><p>　　在數(shù)學物理方程的學習及教學中，波動方程是一種重要的雙曲型偏微分方程。對一維波動方程Cauchy問題解的適定性研究，對解決高維波動方程有重要意義。</p><p>　　

19、1.2 相關(guān)研究的成果及動態(tài)</p><p>　　達朗貝爾、歐拉、伯努利、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、傅里葉等人的工作為這一學科分支奠定了基礎(chǔ)。他們在考察具體的數(shù)學物理問題中，所提出的思想與方法，適用于眾多類型的微分方程，成為十九世紀末偏微分方程一般理論發(fā)展的基礎(chǔ)。</p><p>　　十九世紀，偏微分方程發(fā)展的序幕是由法國數(shù)學家傅里葉拉開的，他于1822年發(fā)表的《熱的解析理論》是數(shù)學史上

20、的經(jīng)典文獻之一。傅里葉研究的主要是吸熱或放熱物體內(nèi)部任何點處的溫度隨空間和時間的變化規(guī)律。在對物體的物理性狀作出一定的限制后，他根據(jù)物理原理推導出了三維空間的熱傳導方程</p><p>　　其中k是一個參數(shù)，其值依賴于物體的質(zhì)料。事實上，傅里葉的主要思想早在1807年他提交巴黎科學院的一篇關(guān)于熱傳導的論文中就出現(xiàn)了。</p><p>　　十九世紀偏微分方程的另一個重要發(fā)展是圍繞著位勢方程來

21、進行的，這方面的代表人物格林是一位磨坊工出身、自學成才的英國數(shù)學家。位勢方程也稱拉普拉斯方程：</p><p>　　拉普拉斯曾采用球面調(diào)和函數(shù)法解這個方程，不過他得到一個錯誤的結(jié)論，認為這個方程當被吸引的點（x,y,z）位于物體內(nèi)部時也成立。這個錯誤由泊松加以更正。拉普拉斯和泊松的方法都只適用于特殊的幾何體，格林則認識到函數(shù)V的重要性，并賦予它“位勢”的名稱，與函數(shù)的級數(shù)方法相反，稱為奇異點方法。他在1828年私

22、人印刷出版的小冊子《關(guān)于數(shù)學分析應(yīng)用于電磁學理論的一篇論文》中，建立了許多推動位勢論的進一步發(fā)展極為關(guān)鍵的定理與概念，其中以格林公式</p><p>　?。╪為物體表面指向外部的法向，是體積元，是面積元）和作為一種帶奇異性的特殊位勢的格林函數(shù)概念影響最為深遠。</p><p>　　對18、19世紀建立起來類型眾多的微分方程，數(shù)學家們求顯示解的努力往往歸于失敗，這種情況促使他們轉(zhuǎn)而證明解的存

23、在性。最先考慮微分方程解的存在性問題的數(shù)學家是柯西。他指出：在求顯示解無效的場合常常可以證明解的存在性。他在19世紀20年代對形如 的常微分方程給出了第一個存在性定理，這方面的工作被德國數(shù)學家李普希茨、法國數(shù)學家劉維爾和皮卡等追隨?？挛饕彩怯懻撈⒎址匠探獾拇嬖谛缘牡谝蝗?，他在1848年的一系列論文中論述了如何將在任意階數(shù)大于1的偏微分方程化為偏微分方程組，然后討論了偏微分方程組解的存在性并提出了證明存在性的強函數(shù)方法?？挛鞯墓ぷ骱髞肀?/p>

24、俄國女數(shù)學家柯瓦列夫斯卡婭獨立地發(fā)展為包括擬線性方程和高階組在內(nèi)非常一般的形式。有關(guān)偏微分方程解的存在唯一性定理在現(xiàn)代文獻中就稱為“柯西--柯瓦列夫斯卡婭定理”。</p><p>　　總之,偏微分方程是一門歷史悠久學科,在它的發(fā)展過程中，具有緊密聯(lián)系實際的特點。生產(chǎn)和科學技術(shù)的不斷發(fā)展，不僅豐富和更新了偏微分方程的研究內(nèi)容，而且隨著問題的解決，也產(chǎn)生了許多新的數(shù)學方法，從而發(fā)展了偏微分方程的理論，同時，也促進了偏

25、微分方程與數(shù)學的許多分支及自然科學各部門之間的聯(lián)系。</p><p><b>　　2 偏微分方程</b></p><p>　　2.1 什么是偏微分方程</p><p>　　所謂偏微分方程，是指關(guān)于多元函數(shù)及其偏導數(shù)的關(guān)系式</p><p><b>　?。?.1）</b></p>&

26、lt;p>　　其中F是自變量x,y,…,未知函數(shù)u及 u的有限多個偏導數(shù)的已知函數(shù)。例如關(guān)系式</p><p><b>　　（2.2）</b></p><p><b>　?。?.3）</b></p><p><b>　?。?.4）</b></p><p><b>

27、;　?。?.5）</b></p><p><b>　?。?.6）</b></p><p><b>　　（2.7）</b></p><p><b>　　等都是偏微分方程。</b></p><p>　　2.2 偏微分方程的解</p><p>　　

28、如果給定一個函數(shù)，將它及它對自變量的各階偏導數(shù)代入方程（2.1），能使（2.1）成為恒等式，則稱函數(shù)是偏微分方程（2.1）的解。</p><p>　　例1 求偏微分方程</p><p><b>　?。?.8）</b></p><p><b>　　的通解。</b></p><p>　　解 關(guān)于y積

29、分方程（2.8），可得其通解為，其中是x的任意連續(xù)可微函數(shù)。</p><p>　　2.3 偏微分方程的階</p><p>　　在偏微分方程的研究中，“階”是一個非?；镜母拍睿^偏微分方程的階，就是方程中實際所含未知函數(shù)的偏導數(shù)中的最高階數(shù)，如上例中方程（2.2）、（2.3）是一階偏微分方程，（2.4）、（2.5）和（2.6）是二階偏微分方程，（2.7）是三階偏微分方程。</p&

30、gt;<p>　　2.4 線性偏微分方程</p><p>　　如果方程關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導數(shù)都是線性的，則稱它為線性偏微分方程。例如方程（2.2）和（2.4）都是線性偏微分方程。在線性偏微分方程中，不含有u及它的偏導數(shù)的項稱為自由項；當自由項為零時，稱方程為齊次方程，如（2.4）；否則就稱為非齊次方程，如方程（2.2）。</p><p>　　一般的線性齊次偏微分方程可寫

31、為</p><p>　　， （2.9）</p><p>　　線性非齊次偏微分方程可寫為</p><p><b>　　（2.10）</b></p><p>　　其中是u的某一偏微分線性算子，例如</p><p>　　等等。所謂線

32、性算子，是指對任意的函數(shù)u，v及常數(shù)c，總有</p><p><b>　?。?.11）</b></p><p>　　由方程（2.11），我們可以得關(guān)于線性方程的如下疊加原理。</p><p>　　定理1 若是線性齊次方程（2.9）的解，則也是（2.9）的解；若是線性非齊次方程（2.10）的解，則是如下線性非齊次方程</p><

33、;p>　　的解，其中是任意常數(shù)。</p><p><b>　　3 一維波動方程</b></p><p>　　3.1 弦振動方程的導出</p><p>　　給定一根兩端固定拉緊的均勻柔軟的細弦，其長為l，當弦作微小橫振動時，求弦上各點的運動規(guī)律。</p><p>　　將實際問題歸結(jié)為數(shù)學模型時，要作一定理想化假設(shè)

34、：</p><p>　　1) 假設(shè)弦可以視為一根曲線，其線密度為常數(shù)；</p><p>　　2) 弦的位置始終在一直線段附近，而弦上各點均在同一平面內(nèi)垂直于該直線方向作微小振動；</p><p>　　3) 弦上各質(zhì)點間的張力與弦的切線方向一致，且弦的形變與張力服從胡克定律。</p><p>　　求解此物理問題（具體求解過程見[1]）得&

35、lt;/p><p>　　當弦不受外力作用時，弦振動方程是</p><p><b>　?。?.1） </b></p><p>　　式(3.1)稱為齊次一維波動方程。</p><p>　　當弦受外力作用時，弦振動方程是</p><p><b>　　(3.2)</b></p>

36、;<p>　　其中表示單位質(zhì)量在x點處所受的外力，為力密度。式（3.2）稱為非齊次一維波動方程。</p><p><b>　　3.2 定解條件</b></p><p>　　一根弦線的特定的振動狀況，還依賴于初始時刻的弦線的狀態(tài)和通過弦線的兩端所受到的外界的影響。因此為了確定一個具體的弦振動，除了列出它滿足的方程以外還必須寫出它適合的初始條件和邊界條件。

37、</p><p>　　下面給出初始條件及邊界條件的概念。</p><p>　　初始條件 即必須給出弦上各點在初始時刻t=0的位移和速度：</p><p><b>　　（3.3）</b></p><p><b>　　這里為已知函數(shù)。</b></p><p>　　邊界條件 一般說

38、來有三種：</p><p>　　已知端點的位移變化,即 </p><p><b>　　(3.4)</b></p><p>　　特別當時，稱弦線具有固定端。</p><p>　　已知端點所受的垂直于弦線的外力的作用,即</p><p><b>　　(3.5)</b></p

39、><p>　　特別當時,稱弦線具有自由端。</p><p>　　已知端點的位移與所受外力的作用的一個線性組合</p><p><b>　　(3.6)</b></p><p>　　,特別當時,表示弦的兩端固定在彈性支承上, 分別表示支承的彈性系數(shù)。事實上（以左端點為例），根據(jù)作用力與反作用力的關(guān)系，弦對彈性支承的力為</

40、p><p>　　，而彈性支承的伸長為，由胡克（Hooke）定律知，此即（3.6）中的第一表達式。</p><p>　　通常我們把初始條件和邊界條件統(tǒng)稱為定解條件。一個偏微分方程連同與它相應(yīng)的定解條件組成一個定解問題。</p><p>　　4 一維波動方程Cauchy問題解的適定性</p><p>　　4.1 一維齊次波動方程的Cauchy問題

41、</p><p>　　4.1.1 用特征線法求解一維齊次波動方程的Cauchy問題</p><p>　　考慮兩端為無限長的弦振動方程的初值問題</p><p><b>　?。?.1）</b></p><p>　　其中分別表示初始位移和初始速度。</p><p>　　該方程的特征線是。引入特征線坐

42、標。利用復合函數(shù)求導數(shù)的方法，得到</p><p><b>　　類似地可以得到</b></p><p>　　把上述各式代入到（4.1）中的弦振動方程,得到</p><p><b>　　(4.2)</b></p><p>　　把方程(4.2)兩邊關(guān)于積分,得</p><p>&

43、lt;b>　　然后再關(guān)于積分,得</b></p><p>　　其中F和G是任意二階連續(xù)可微函數(shù).代回原自變量x和t,得到(4.1)中弦振動方程的通解</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　直接驗證可知,只要F和G是二階連續(xù)可微的, 它就滿足(4.1)中的方程。為了求出初值問題（4.1）的解,還必須

44、利用初始條件來確定F和G。</p><p>　　把初值問題（4.1）中的初始條件代入到式（4.3）,得</p><p><b>　　(4.4)</b></p><p><b>　　(4.5)</b></p><p>　　將式(4.5)積分一次得</p><p><b&g

45、t;　　(4.6)</b></p><p>　　其中為任意一點,C是積分常數(shù).由式(4.4)和式(4.6)解得</p><p>　　將F，G代入式（4.3）就得到初值問題(4.1)解的表達式</p><p><b>　　(4.7)</b></p><p>　　這個公式稱為達朗貝爾(D’Alembert)公式,

46、或初值問題(4.1)的達朗貝爾解。</p><p>　　如果由（4.7）所定義的函數(shù)在區(qū)域上二階連續(xù)可微，和在上連續(xù)，則函數(shù)稱為初值問題（4.1）的古典解。</p><p>　　容易驗證,當時,由式(4.7)所定義的函數(shù)是初值問題(4.1)的古典解.當不滿足該條件時,由式(4.7)所定義的函數(shù)通常稱為初值問題(4.1)的廣義解。</p><p>　　4.1.2 利

47、用Fourier變換求解一維齊次波動方程的Cauchy問題</p><p>　　首先給出Fourier變換的定義：</p><p>　　定理2 （Fourier積分定理）：若在上滿足下列條件：</p><p>　　在任一有限區(qū)間上連續(xù)或只有有限個第一類間斷點且只有有限個極限點；</p><p>　　在無限區(qū)間上絕對可積（即積分收斂），則有&l

48、t;/p><p><b>　?。?.8）</b></p><p>　　成立，而左端的在它的間斷點t處，應(yīng)以來代替。</p><p>　　定義 若函數(shù)滿足Fourier積分定理中的條件，則在的連續(xù)點處，便有</p><p><b>　　成立。</b></p><p>　　設(shè)

49、 （4.9）</p><p>　　則 （4.10）</p><p>　?。?.9）叫做的Fourier變換式，可記為</p><p>　　稱為的像函數(shù)。（4.10）式稱為

50、的逆變換式，可記為</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　稱為的像原函數(shù)。</b></p><p>　?。?.9）右端的積分運算，稱為的Fourier變換，同樣，（4.10）式右端的積分運算，稱為的Fourier逆變換。像函數(shù)與的像原函數(shù)構(gòu)成了一個Fourier變換對。</p>

51、<p>　　下面用Fourier變換求解一維齊次波動方程的Cauchy問題：</p><p>　　記對方程和定解條件關(guān)于x施行Fourier變換，得</p><p><b>　　由此解出</b></p><p><b>　　其中由</b></p><p><b>　　確定。解出，

52、就得到</b></p><p><b>　　（4.11）</b></p><p><b>　　利用</b></p><p><b>　　可以求出</b></p><p><b>　?。?.12）</b></p><p>

53、<b>　?。?.13）</b></p><p>　　最后，由（4.11）式～（4.13）式得到D’Alembert公式（4.7）。</p><p>　　4.2 一維齊次波動方程的Cauchy問題解的適定性</p><p>　　要討論解的適定性，首先我們要給出適定性的概念。</p><p>　　一個定解問題，如果滿足下

54、列三個條件，就稱為是適定的：</p><p>　?。?）存在性：定解問題至少存在一個解；</p><p>　?。?）唯一性：定解問題至多有一個解；</p><p>　　（3）穩(wěn)定性：當已知的定解條件在某種意義下作微小的變動時，相應(yīng)的定解問題的解也只作微小的變動。</p><p>　　下面給出關(guān)于適定性的一個定理：</p><

55、;p>　　定理3 假設(shè)，則對任意給定，初值問題（4.1）的解在 區(qū)域上是適定的。</p><p>　　證：從達朗貝爾公式的推導可以看出，如果初值問題（4.1）有解，必有表達式（4.7）。因此解的唯一性和存在性可由達朗貝爾公式得出。當時，由式（4.7）所定義的函數(shù)是古典解。下面證明解的穩(wěn)定性。設(shè)表示對應(yīng)于初值函數(shù)的問題（4.1）的解，如果</p><p><b>　　則由達朗

56、貝爾公式得</b></p><p>　　因此對于任意的，取這樣對任意的，成立</p><p>　　這表示初值問題（4.1）的解是穩(wěn)定的，從而初值問題（4.1）的解是適定的。證畢。</p><p>　　4.3 一維非齊次波動方程的Cauchy問題</p><p>　　4.3.1 利用齊次化原理求解一維非齊次波動方程的Cauchy

57、問題</p><p>　　考慮無界弦的強迫振動問題</p><p>　　由于方程和定解條件都是線性的，所以問題（4.14），（4.15）可分解為下面兩個問題</p><p>　　設(shè)分別是問題（A），（B）的解，由疊加原理，定解問題（4.14），（4.15）的解為</p><p>　　問題（A）的解可由D’Alembert公式求出，故只需求出問

58、題（B）的解即可。</p><p>　　首先考察問題（B）的物理情況，弦在初始時刻靜止于平衡位置，受外力作用而振動，自由項表示時刻t在x處單位質(zhì)量所受的外力，這是一個連續(xù)力，從時刻0一直延續(xù)到時刻t。而位移正是延續(xù)力在x點從時刻0到時刻t作用的總效果。當然，t以后的力對弦在時刻t的振動沒有影響，不必考慮。</p><p>　　下面用微元法來分析這個問題。把時間段分成若干小時間段，設(shè)是其中的

59、任一段，在時間上把變力近似地看成常力，以時刻的“瞬時”力表示之。由Newton第二定律，常外力使單位質(zhì)量產(chǎn)生加速度。故弦上點在時間段內(nèi)產(chǎn)生的速度改變量為。把這個改變量看作是時刻的初始速度，這種把外力化成初始速度的原理稱為Duhamel原理。由初始速度所產(chǎn)生的振動可由下面的齊次方程的Cauchy問題來描述。</p><p>　　顯然，若記為下列齊次方程的定解問題</p><p><b&

60、gt;　　的解，則</b></p><p><b>　　是問題（C）的解。</b></p><p>　　根據(jù)疊加原理，所產(chǎn)生的總效果可以看成無數(shù)個（C）的解這種瞬時波的疊加。上述分析數(shù)學化，可表示成下面的定理。</p><p>　　定理4 （齊次化原理）設(shè)是問題（D）的解，則</p><p><b>

61、;　?。?.16）</b></p><p><b>　　是問題（B）的解。</b></p><p><b>　　證明</b></p><p><b>　?。?.17）</b></p><p>　　由問題（D）的初始條件可得。</p><p>

62、　　由（4.16）及（4.17）得故滿足問題（B）的初始條件。又</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　而滿足，故滿足</b></p><p>　　在上面的證明中假定，進行了含參變量積分的求導。</p><p>　　由定理4知，要求問題（B）的解，需要先求出問題（D）的

63、解。剩下的問題是如何求（D）的解。在（D）中，令，則問題（D）化成</p><p>　　故由D’Alembert公式（4.7），有</p><p><b>　　則問題（D）的解為</b></p><p>　　進而問題（B）的解為</p><p>　　最后，由問題（A）和問題（B）的解，得到問題（4.14），（4.15）的

64、解為</p><p><b>　　（4.18）</b></p><p>　　其中G表示在平面上過點向下作兩特征線與軸所圍成三角形區(qū)域。</p><p>　　4.3.2 利用特征線法求解一維非齊次波動方程的Cauchy問題</p><p>　　一維非齊次波動方程的初始問題歸結(jié)為求解問題</p><p&

65、gt;<b>　　（4.19） </b></p><p>　　首先將方程（4.19）表示為</p><p><b>　?。?.20）</b></p><p><b>　　當取</b></p><p><b>　　（4.21）</b></p>

66、<p>　　時，由（4.20）我們有</p><p><b>　?。?.22）</b></p><p>　　利用（4.19）中的始值條件，我們有</p><p><b>　?。?.23）</b></p><p>　　方程（4.22）的特征線由</p><p>　　

67、即 （4.24）</p><p>　　給出，其中C是任意常數(shù)，C取不同值我們得到不同的特征線。沿著特征線。根據(jù)（4.22）我們有</p><p>　　從而根據(jù)（4.24）有</p><p>　　這樣，沿著特征線，我們有</p><p><b>　　（4.25）</b><

68、/p><p>　?。?.21）的特征線是</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　（4.26） </b></p><p><b>　　是任意常數(shù)。</b></p><p>　　根據(jù)（4.21），沿著特征線，有</p>

69、<p><b>　?。?.27）</b></p><p>　　聯(lián)合（4.25）和（4.27）即見，沿著特征線，</p><p><b>　?。?.28）</b></p><p><b>　　由于始值條件成立</b></p><p>　?。?.29）

70、 （4.30）</p><p><b>　　交換積分順序，成立</b></p><p><b>　　作變量代換</b></p><p><b>　　得</b></p><p><b>　?。?.31）</b></p><p>

71、;　　聯(lián)合（4.28）～（4.31），即得</p><p><b>　?。?.32）</b></p><p>　　把（4.32）中的寫成x，我們即得</p><p><b>　　（4.33）</b></p><p>　　4.4 一維非齊次波動方程的Cauchy問題解的適定性</p>

72、<p>　　首先給出能量不等式：</p><p>　　定理5 設(shè)是定解問題（4.19）的解，則有估計</p><p><b>　?。?.34）</b></p><p><b>　?。?.35）</b></p><p><b>　　其中</b></p>&

73、lt;p><b>　?。ㄗC明見[6]）。</b></p><p>　　再給出Gronwall不等式：</p><p>　　引理6 若非負函數(shù)在上連續(xù)可微，，且對有</p><p>　　其中為常數(shù)，為上不減的非負可積函數(shù)，則</p><p><b>　?。ㄗC明見[6]）。</b></p&

74、gt;<p>　　對于弦振動問題，表示弦元素在t時刻所具有的動能，表示弦元素在t時刻的應(yīng)變能（或稱勢能）。因此不計常數(shù)因子，表達式表示弦段在時刻的總能量。在數(shù)學上，我們稱它為能量積分，或稱為解u的能量模。</p><p>　　有了能量模估計，事實上就有了解u本身的模估計，這是一個函數(shù)論問題（即證明過程不涉及偏微分方程）。下面我們來證明</p><p><b>　?。?/p>

75、4.36）</b></p><p><b>　?。?.37）</b></p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　證明 </b></p><p><b>　　令</b></p><p>&l

76、t;b>　　則</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且</b></p><p><b>　　其中</b></p><p>　　由Gronwall不等式得</p><p>　　再將（4.34）中的估

77、計式代入即得估計式（4.35）和（4.36）。</p><p>　　由能量不等式（4.34）、（4.35）和（4.36）、（4.37），容易得到波動方程Cauchy問題解的唯一性以及在能量模意義下解對初值和方程右端項的連續(xù)依賴性。</p><p>　　4.5 一維波動方程Cauchy問題廣義解的結(jié)構(gòu)</p><p>　　我們知道，當時，達朗貝爾公式所給出的函數(shù)u是

78、定解問題的解，但在應(yīng)用上，上述對于及的光滑性的要求不一定得到保證，有時用一個不十分光滑的函數(shù)來近似描述測得的初始條件比較方便。但如果滿足數(shù)學上的要求，對它進行光滑化卻往往會給計算帶來很多麻煩，因此我們進一步考慮及具有較差光滑性的情況，比如連續(xù)，可積等情形，此時泊松公式所給出的函數(shù)u一般不再具有二階連續(xù)可微的性質(zhì)，它不再滿足古典解的定義。為此，我們利用完備化的思想建立了弦振動方程Cauchy問題在空間中廣義解的定義，并且廣義解具有與經(jīng)典解

79、相同的結(jié)構(gòu)。（廣義解的建立過程見[13]）</p><p>　　下面給出弦振動方程的廣義解的重要結(jié)論。</p><p>　　定理7 設(shè)連續(xù)，可積，弦振動方程Cauchy問題</p><p>　　的廣義解存在，并可由達朗貝爾公式(4.7)給出，且廣義解u為連續(xù)函數(shù)。（證明見[13]）</p><p><b>　　5 實例</b

80、></p><p>　　例1 求下列初值問題的解</p><p>　　解 由公式（4.7）即得</p><p>　　例2 用Fourier變換求解一維波動方程的Cauchy問題</p><p>　　解 因為未知函數(shù)中自變量，因此對方程及初始條件關(guān)于x取Fourier變換，記</p><p>　　這樣，我們就將

81、求解原Cauchy問題轉(zhuǎn)化為求解含參數(shù)的常微分方程的Cauchy問題：</p><p>　　方程是關(guān)于t的一個二階常系數(shù)齊次微分方程，通解為，由初始條件可知</p><p>　　因此常微分方程的Cauchy問題為</p><p>　　對上解進行Fourier變換，且利用函數(shù)的篩選性質(zhì)可得原Cauchy問題的解為</p><p>　　例3 求解

82、無界弦強迫振動的柯西問題</p><p>　　解 由式（4.33）得</p><p><b>　　總 結(jié)</b></p><p>　　在數(shù)學物理方程的學習及教學中，波動方程是一種重要的雙曲型偏微分方程，它通常表示所有種類的波，例如聲波，光波和水波。它出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學，電磁學，和流體力學，波動方程的變種可以在量子力學和廣義相對論中見到,

83、 對非線性偏微分方程有關(guān)概念、理論及方法的理解起著非常重要的作用。 對一維波動方程Cauchy問題解的適定性研究，對解決高維波動方程有重要意義。本文主要是對一維波動方程Cauchy問題解的適定性進行一個綜述。</p><p>　　本文首先給出了偏微分方程的相關(guān)概念,然后介紹了一維波動方程及定解條件的相關(guān)概念。對于一維波動方程Cauchy問題,本文分齊次與非齊次兩方面進行闡述。對于一維齊次波動方程Cauchy問題，

84、本文采用的是特征線法和利用Fourier變換來求解，而對于一維非齊次波動方程Cauchy問題，本文采用的是齊次化原理和特征線法來求解。此外，本文對解的適定性進行了一定的分析和闡述，且對波動方程的廣義解的結(jié)構(gòu)也作了一定的闡述。最后，本文還對所研究的問題進行了簡單的舉例。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1] 谷超豪,李大潛等.數(shù)學物理

85、方程[M].北京:高等教育出版社,1979,5.</p><p>　　[2] 李文林.數(shù)學史概論[M].北京:高等教育出版社,2002,8.</p><p>　　[3] 陳祖墀.偏微分方程[M].合肥:中國科學技術(shù)大學出版社,1993,9.</p><p>　　[4] N.Asmar.Partial Differential Equations with Fouri

86、er Series and Boundary Value Problems.[M]陳祖墀,宣本金譯.北京:機械工業(yè)出版社,2006,10.</p><p>　　[5] 朱長江,鄧引斌.偏微分方程教程[M].北京:科學出版社,2005,6.</p><p>　　[6] 姜禮尚,陳亞浙,劉西垣,易法槐.數(shù)學物理方程講義[M].北京:高等教育出版社,1986,5.</p><

87、p>　　[7] 車向凱,謝彥紅等.數(shù)理方程[M].北京:高等教育出版社,2006,5.</p><p>　　[8] 王明新.數(shù)學物理方程[M].北京:清華大學出版社,2005,8.</p><p>　　[9] 陳才生,李剛等.數(shù)學物理方程[M].北京:科學出版社,2008,7.</p><p>　　[10] 龔俊新.一維波動方程Cauchy問題Dalember

88、t解的適定性[J].湖北師范學院學報(自然科學版),2001,21 (4):95-97.</p><p>　　[11] 劉琳琳.關(guān)于一維波動方程的特征線方法[J].南都學壇(自然科學版),2000,20(3):17-18.</p><p>　　[12] 王新明.偏微分方程基本理論[M]. 北京:科學出版社,2009,1.</p><p>　　[13] 段煉.弦振動方

89、程CAUCHY問題廣義解的結(jié)構(gòu)[J].嘉興學院學報,2009,21(3):11-14.</p><p>　　[14] 查中偉.數(shù)學物理偏微分方程[M].成都:西南交通大學出版社,2005,2.</p><p>　　[15] 金啟勝,周宗福.利用Fourier變換求一維波動方程Cauchy問題的定解[J].甘肅聯(lián)合大學學報(自然科學版),2009,23:4-4,19-19.</p>

90、;<p>　　[16] Jürgen Jost. Partial Differential Equations[M].New York:Springer,1956.</p><p><b>　　文獻綜述</b></p><p>　　一維波動方程Cauchy問題解的適定性</p><p><b>　　一、前言部分

91、</b></p><p>　　在數(shù)學物理方程的學習及教學中，波動方程是一種重要的雙曲型偏微分方程，它通常表示所有種類的波，例如聲波，光波和水波。它出現(xiàn)在不同領(lǐng)域，例如聲學，電磁學，和流體力學，波動方程的變種可以在量子力學和廣義相對論中見到, 對非線性偏微分方程有關(guān)概念、理論及方法的理解起著非常重要的作用。 對一維波動方程Cauchy問題解的適定性研究，對解決高維波動方程有重要意義。 </p>

92、;<p>　　以下是本文經(jīng)常要用到的一些概念：</p><p>　　1、一維波動方程的定義</p><p>　　定義1 ， （1.1）</p><p>　　其中，方程（1.1）刻畫了均勻弦的微小橫振動的一般規(guī)律，人們稱它為弦振動方程，亦稱為一維波動方程。</p><p>　　一根弦

93、線特定的振動狀況，還依賴于初始時刻弦線的狀態(tài)和通過弦線兩端所受到的外界影響。因此，為了確定一個具體的弦振動，除了列出它滿足的方程以外還必須寫出它適合的初始條件和邊界條件。</p><p>　　定義2 初始條件 即必須給出弦上各點在初始時刻的位移和速度：</p><p><b>　?。?.2）</b></p><p><b>　　這里

94、為已知函數(shù)。</b></p><p>　　定義3 邊界條件 一般來說有三種。</p><p>　?。?）已知端點的位移變化，即</p><p><b>　?。?.3）</b></p><p>　　特別當時，稱弦線具有固定端。</p><p>　?。?）已知在端點所受的垂直于弦線的外

95、力的作用，即</p><p><b>　?。?.4）</b></p><p>　　特別當時，稱弦線具有自由端。</p><p>　　（3）已知端點的位移與所受外力的作用的一個線性組合</p><p><b>　?。?.5）</b></p><p>　　特別當時，表示弦的兩端固

96、定在彈性支承上，分別表示支承的彈性系數(shù)。</p><p>　　定義4 邊界條件和初始條件統(tǒng)稱為定解條件。</p><p>　　定義5 我們把方程的解必須要滿足的事先給定的條件叫做定解條件，一個方程配備上定解條件就構(gòu)成一個定解問題。</p><p><b>　　2、波動方程的定義</b></p><p>　　定義6 如

97、果我們考慮的是膜的振動或者聲波在空氣中的傳播，用來描述這些二維和三維波動現(xiàn)象的微分方程仍然具有和方程（1.1）相似的形式：</p><p><b>　?。?. 6）</b></p><p>　　這里是Laplace算子， 是維數(shù)。通常我們把方程(1.6)稱為波動方程。</p><p>　　3、Cauchy問題的定義</p><

98、;p>　　定義7 所謂初值問題（Cauchy問題） 即在上定義一個函數(shù)，使它在內(nèi)適合方程（1.6），而在上適合初始條件 </p><p>　　定義8 不必考慮邊界條件，我們把在區(qū)域上，由方程（1.1）和初始條件（1.2）組成的定解問題稱為弦振動方程的初值問題（或Cauchy問題）。</p><p>　　4、定解問題的適定性</p><p>　　定義

99、9 如果一個定解問題的解存在、唯一、穩(wěn)定，那么我們稱這個定解問題是適定的。</p><p>　　因為定解數(shù)據(jù)（如初值、邊值和方程的非齊次項等）一般都是通過實際測量得到的，它不可能絕對正確，所以人們關(guān)心對于定解數(shù)據(jù)的微小差異是否會引起解的完全失真？這就是解的穩(wěn)定性問題，即解是否連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)？當然講大小就要先引入度量。</p><p>　　定義10 設(shè)是一個函數(shù)集合，如果對于任意兩

100、個函數(shù)，必有那么稱是線性空間。如果對于任意，都有一個非負的實數(shù)與它對應(yīng)，且適合</p><p><b>　?。?）若則</b></p><p><b>　?。?）若則</b></p><p>　?。?），其中等號當且僅當時成立，那么稱為線性賦范空間，稱為的范數(shù)或模。</p><p>　　定義11

101、解的穩(wěn)定性的定義:以弦振動方程的混合問題為例。我們說混合問題的解對初值是連續(xù)依賴的，這意味著如果把初值看作是線性賦范空間中的元素，而把相應(yīng)的混合問題的解看作是線性賦范空間中的元素，則對于任意以及相應(yīng)于它們的解，有：</p><p><b>　　,當時，有</b></p><p><b>　　5、疊加原理的定義</b></p><

102、;p>　　定義12 幾種不同原因的綜合所產(chǎn)生的效果等于這些不同原因單獨產(chǎn)生的效果（即假設(shè)其他原因不存在時，該原因所產(chǎn)生的效果）的累加。例如，幾個外力作用在一物體上所產(chǎn)生的加速度可以用單個外力各自單獨作用在該物體上所產(chǎn)生的加速度相加而得出。這個原理稱為疊加原理。</p><p><b>　　6、特征線的定義</b></p><p>　　定義13 我們稱下列常微

103、分方程初值問題</p><p>　　的解為方程的特征線，其中為常數(shù)。 </p><p><b>　　7、能量積分的定義</b></p><p>　　定義14 對于弦振動問題，表示弦元素在時刻所具有的動能，表示弦元素在時刻的應(yīng)變能（或稱勢能）。因此不計常數(shù)因子，表達式表示弦段在時刻的總能量。在數(shù)學上，我們稱它為能量積分，或稱為解的能量模。<

104、;/p><p>　　8、古典解與廣義解的定義</p><p>　　定義15 我們把擴大了解的函數(shù)類以后得到的解稱為廣義解，而把原來的二次連續(xù)可微解稱為古典解。</p><p>　　那么這里有兩條原則應(yīng)予考慮：</p><p>　　A．古典解必是廣義解；</p><p>　　B．廣義解是唯一的，且按某種度量連續(xù)依賴于定解資料

105、。</p><p><b>　　二、主題部分</b></p><p>　　文獻[1]闡述了一階線性方程的特征線解法，給出了用特征線方法解一階偏微分方程的步驟：</p><p><b>　　1.求特征線；</b></p><p>　　2.沿特征線將原方程化為關(guān)于的常微分方程（其中c為參數(shù)），并求出；&

106、lt;/p><p>　　3.從特征線方程解出，則所求的解為。此外，文獻[1]還闡述了用特征線法解波動方程的初值問題的過程,所用的知識是能量不等式和Gronwall不等式：</p><p>　　定理1（能量不等式） 設(shè)是定解問題</p><p><b>　　的解，則有估計</b></p><p><b>　　其中&

107、lt;/b></p><p>　　引理2（Gronwall不等式） 若非負函數(shù)在上連續(xù)可微，，且對有</p><p>　　其中為常數(shù)，為上不減的非負可積函數(shù)，則</p><p>　　文獻[2]利用疊加原理、自變量變換、齊次化原理求解一維波動方程的Cauchy問題：</p><p>　　得到了達朗貝爾公式： </p><

108、;p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　并給出了如下定理：</b></p><p>　　定理3 設(shè)那么初值問題</p><p>　　存在唯一的解，它由達朗貝爾公式（3）給出。</p><p>　　文獻[2]還給出了齊次化原理、唯一性、穩(wěn)定性：</p>&l

109、t;p>　　定理 4（齊次化原理或Duhamel原理）：若是初值問題</p><p>　　的解（其中為參數(shù)），則</p><p><b>　　就是初值問題</b></p><p><b>　　的解.</b></p><p>　　定理5 波動方程取初始條件</p><p&g

110、t;<b>　?。?）</b></p><p>　　的柯西問題的解是唯一的。</p><p>　　定理6 波動方程取初始條件（6）的柯西問題的解在下述意義下關(guān)于初始值是穩(wěn)定的：對于任何給定的，一定可找到僅依賴于和的，只要</p><p>　　則對應(yīng)于初始值的解與對應(yīng)于初始值的解的差在上成立</p><p><b&

111、gt;　?。?）</b></p><p><b>　　又在錐體上成立</b></p><p>　　文獻[3]闡述了特征線法是解波動方程的另一種常用方法，特征線方法最大的特點就是把偏微分方程問題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程（組）的相應(yīng)問題。用特征線法解一維波動方程初始值問題的思想是,把原來的波動方程分解為等價的兩個一階線性偏微分方程組,沿著特征線,相應(yīng)的一階線性偏微

112、分方程化為常微分方程,可以用常微分方程的辦法解出。</p><p>　　文獻[3]還給出了一維波動方程Cauchy問題的適定性定理：</p><p>　　定理7（適定性） 若且它們有界，則初值問題(4)、(5)的古典解存在唯一，且在有限時間內(nèi)是一致穩(wěn)定的（按連續(xù)函數(shù)空間的范數(shù)）。從而，問題(4)、(5)是適定的。</p><p>　　文獻[4]作者用特征線法求解了如

113、下一維非齊次波動方程</p><p>　　其中，是未知函數(shù), , 和 是已知函數(shù), 是常數(shù), , 和是的偏導數(shù)。求的解表示為</p><p>　　文獻[5]運用特征線法求解了Cauchy問題</p><p>　　并運用特征線法證明了如下定理：</p><p>　　定理8 Cauchy問題</p><p>　　有解

114、的充分必要條件是其中C是常數(shù)。而且，如果方程有解，則解不惟一。</p><p>　　文獻[6]考慮波動方程</p><p><b>　　具有初始條件</b></p><p>　　及邊界條件 </p><p>　　傳統(tǒng)求解此問題的方法是用分離變量法得到一個形式的Fourier 級數(shù)解 ，本文將用特征線

115、方法直接給出此問題的一個顯式解。先求出了在特定區(qū)域上的解。為了進一步了解在其他區(qū)域的解,又求解了的古爾沙問題。最后通過歸納法求出在各區(qū)域上的解。</p><p>　　文獻[7]闡述了特征理論在偏微分方程中的應(yīng)用。本文先給出了完全積分，包絡(luò)的定義，然后用包絡(luò)生成解，最后利用特征線法討論了一階線性齊次、擬線性以及全非線性偏微分方程解的求法, 并給出了應(yīng)用實例。</p><p>　　考察波動方程

116、的初邊值問題：</p><p>　　文獻[1][2] [8][9]通過分離變量法，將波動方程的定解問題化為常微分方程的定解問題，最終得到了與傳統(tǒng)求解方法相一致的結(jié)論——達朗貝爾公式(3)，從而解出柯西問題。類似地,分離變量法可以被推廣到求解高維波動方程柯西問題上去。 其基本求解思想是:利用分離變量法把定解問題的解表示成若干個未知函數(shù)乘積的形式,而每一個這種函數(shù)僅含一個自變量,使得方程可以寫成一邊僅依賴于一個自變量

117、,而另一邊則依賴于余下變量的形式, 要使得方程對于分別依賴的不同的變量成立,則每一邊必然等于常數(shù)。反復這樣做, 就可以將偏微分方程的問題化為解常微分方程的問題。分離變量法是求解有限域內(nèi)定解問題的一個常用方法,如用于波動方程初邊值問題的求解。 </p><p>　　實際上,分離變量法不僅可以求解有限域內(nèi)的定解問題,而且還可以求解無界域上三類典型方程的定解問題,比如可以求解一維、二維波動方程柯西問題,對于高維波動方程

118、柯西問題也可用分離變量法求解。</p><p>　　文獻[8]作者還運用分離變量法舉例求解了形如</p><p>　　的一維波動方程的Cauchy問題，得到了達朗貝爾公式(3)。</p><p>　　利用達朗貝爾公式求解波動方程（8）Cauchy問題時，我們知道，時達朗貝爾公式所給出的函數(shù)是定解問題的解，但在應(yīng)用上，上述對于及的光滑性的要求不一定得到保證，有時用一個

119、不十分光滑的函數(shù)來近似描述測得的初始條件比較方便。但如果滿足數(shù)學上的要求，對它進行光滑化卻往往會給計算帶來很多麻煩。文獻[10][11][12]考慮了及具有較差光滑性的情況，利用完備化的思想建立了弦振動方程（8）Cauchy問題在空間中廣義解的定義，并且廣義解具有與經(jīng)典解相同的結(jié)構(gòu)。</p><p>　　文獻[10]還給出了弦振動方程的廣義解的重要結(jié)論：</p><p>　　定理9 設(shè)連續(xù)

120、，可積時，弦振動方程Cauchy問題</p><p>　　的廣義解存在，并可由達朗貝爾公式（3）給出，且廣義解為連續(xù)函數(shù)。</p><p>　　引入廣義解的好處在于：要使Cauchy問題的古典解存在，我們必須對初始條件的光滑性加上很強的限制(例但建立了廣義解的概念以后，就不需要初始函數(shù)具有這樣強的光滑性（例。該廣義解可由泊松公式來表示，因此它是連續(xù)函數(shù)，實際上，該廣義解是古典解的拓廣。&l

121、t;/p><p>　　文獻[13]闡述了一類非線性波動方程</p><p><b>　?。?1） </b></p><p>　　的若干行波解。應(yīng)用擴展的齊次平衡法，獲得了一類廣泛的非線性波動方程的若干行波解，其中包括孤立波解、三角函數(shù)解以及橢圓函數(shù)解。</p><p>　　文獻[13]指出，若取，則（11）的行波解可以為&l

122、t;/p><p>　?。?） </p><p><b>　　（2）</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　（4）</b></p><p><b>　?。?）</b></p&

123、gt;<p><b>　?。?）</b></p><p>　　其中：是模為的Jacobi橢圓函數(shù),sec,tan,sech,tanh分別為正割函數(shù)，正切函數(shù)，雙曲正割函數(shù)，雙曲正切函數(shù)。</p><p>　　文獻[14]介紹了一維波動方程Cauchy問題</p><p>　　解的表達式的另一種推導方法，并簡單考慮了其解的存在條件。