“希望杯”全國數(shù)學邀請賽初一試題的研究【畢業(yè)設計】

1、<p><b>　　本科畢業(yè)設計</b></p><p><b>　?。?0 屆）</b></p><p>　　“希望杯”全國數(shù)學邀請賽初一試題的研究</p><p>　　所在學院 </p><p>　　專業(yè)班級 數(shù)學與

2、應用數(shù)學 </p><p>　　學生姓名 學號 </p><p>　　指導教師 職稱 </p><p>　　完成日期 年 月 </p><p><b>　　摘　要</b><

3、/p><p>　　【摘要】數(shù)學競賽源起于1886年的法國，舉辦100多年以來，數(shù)學競賽的一貫宗旨在于考查學生綜合運用數(shù)學知識和方法解決問題的能力，在現(xiàn)實意義上，它具有考查和選拔的雙重功能。初一“希望杯”數(shù)學競賽對培養(yǎng)初一學生的數(shù)學思想和數(shù)學求學理念具有廣泛作用，因此本文就有關初一“希望杯”數(shù)學競賽出現(xiàn)的題型，作出比較詳細的統(tǒng)計，并對常見題型，作出講解和歸納，希望對初一的學生有幫助。</p><p&

4、gt;　　【關鍵詞】希望杯；初一；數(shù)學競賽。</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　【ABSTRACT】Math competition was come from France. From the last 100 years, the purposes of the math competitions are testing t

5、he abilities of applying the math knowledge and solving problems of students. In the real sense , it has the both functions of testing and selection. The junior “hope cup ” math competition has widely function for develo

6、ping the thought of math. So, in this paper ,we have done something comparatively detailed statistics to the common mould of the competition. We hope it ca</p><p>　　【KEYWORDS】hope cup；junior math；math compet

7、ition。</p><p><b>　　目　錄</b></p><p><b>　　摘　要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　目　錄III</b></p><p><b>　　1引言1&

8、lt;/b></p><p>　　2解讀“希望杯”1</p><p>　　2.1“希望杯”對參賽學生的意義1</p><p>　　2.2歷屆“希望杯”比賽試題主要知識點1</p><p>　　2.3歷屆“希望杯”（初一）試題的布局情況2</p><p><b>　　3試題講解4<

9、;/b></p><p>　　3.1概念應用題5</p><p>　　3.1.1對概念的直接應用5</p><p>　　3.1.2對概念的理解及應用5</p><p><b>　　3.2字母題6</b></p><p>　　3.2.1字母間的規(guī)律探索6</p>

10、<p>　　3.2.2合并同類項6</p><p>　　3.2.3字母與數(shù)軸的結合6</p><p>　　3.3有理數(shù)運算7</p><p>　　3.3.1一般的有理數(shù)化簡運算及大小比較7</p><p>　　3.3.2有理數(shù)運算的巧算7</p><p>　　3.3.3其他與有理數(shù)有

11、關的有理數(shù)運算8</p><p>　　3.4方程和不等式求解9</p><p>　　3.4.1一元一次和一元二次的方程或不等式求解9</p><p>　　3.4.2多元一次方程組和一元多次方程或不等式求解9</p><p>　　3.4.3二項式展開初步9</p><p>　　3.4.4其他與解方程有

12、關的類型10</p><p>　　3.5列方程解應用題11</p><p>　　3.5.1單價問題11</p><p>　　3.5.2相遇問題12</p><p>　　3.5.3時鐘問題12</p><p>　　3.5.4流水問題13</p><p>　　3.5.5工程問

13、題13</p><p>　　3.5.6其他類型應用題13</p><p>　　3.6平面圖形相關15</p><p>　　3.6.1直線、射線、線段、對稱軸、交點個數(shù)的計數(shù)15</p><p>　　3.6.2線段長度和角度的計算15</p><p>　　3.6.3三角形面積求取及三邊不等關系運用1

14、6</p><p>　　3.7立體圖形相關16</p><p>　　3.7.1正方體展開16</p><p>　　3.7.2立體圖形中的邊角問題17</p><p>　　3.7.3三視圖初步18</p><p>　　3.8數(shù)論初步、定義運算及推理題18</p><p>　　3

15、.8.1幾點知識點的補充：18</p><p>　　3.8.2數(shù)論初步20</p><p>　　3.8.3定義運算21</p><p>　　3.8.4推理題21</p><p>　　3.9簡單邏輯推理，線性回歸及最優(yōu)化、概率統(tǒng)計初步22</p><p>　　3.9.1簡單邏輯推理22</p

16、><p>　　3.9.2概率統(tǒng)計初步22</p><p>　　3.9.3線性回歸及最優(yōu)化問題23</p><p>　　3.10第十類：英文題、圖像理解題23</p><p>　　3.10.1英文題23</p><p>　　3.10.2圖像理解23</p><p><b>

17、;　　4總結24</b></p><p><b>　　參考文獻25</b></p><p>　　致謝錯誤!未定義書簽。</p><p><b>　　引言</b></p><p>　　縱觀國內，現(xiàn)階段初中階段的大型競賽僅有希望杯和全國聯(lián)賽兩項賽事。作為最受師生歡迎的全國性數(shù)學邀請賽

18、，“希望杯”數(shù)學競賽舉辦已有21年之久，其考察的知識點不偏不刁，對不一定具有數(shù)學天分但是學習踏實的同學很有利，且其對良好數(shù)學習慣和數(shù)學思想的培養(yǎng)有極好的促進作用，因此，“希望杯”自然地成為了學生課后提高沖刺的首選。出于“希望杯”被越來越多的師生接受的原因，越來越多的學者參與到對“希望杯”試題的研究上來，各種考前奧數(shù)突擊班更是如雨后春筍般冒出來。因此，對初中“希望杯”試題的研究是有價值有意義的。以下是我對初一“希望杯”數(shù)學競賽試題做的一些

19、分類、總結、預測，希望對對“希望杯”有興趣的學生有所幫助，也希望在這一方面的長者能給于中肯的建議。</p><p><b>　　解讀“希望杯”</b></p><p>　　“希望杯”對參賽學生的意義</p><p>　　“希望杯”數(shù)學競賽的試題經(jīng)過專家們近20年的研究，分結合了數(shù)學課堂上的內容和課本以外的數(shù)學知識，并且在每一屆的競賽試題都充分體

20、現(xiàn)了試題的不偏不刁，這樣不僅鞏固和擴大了學生在課內所學的知識，同時也激發(fā)了學生的求知欲望，提高了他們學習的興趣，促進他們思維能力的發(fā)展，培養(yǎng)了良好的思維品質、探索精神和創(chuàng)造才能?！跋Ｍ狈譃椤耙辉嚒焙汀岸嚒??！耙辉嚒币钥疾鞂W校學習的基礎知識和技巧為主，強調對學校學習基礎的充分理解和運用，培養(yǎng)獨立解決問題的能力。 “二試”難度較高，需要補充一些課外知識點，并要求具有比較強的解題能力。這也就是說，只要學生平時認真掌握書本知識，并在學有余

21、力的同時在此基礎上認真思考，有良好的數(shù)學學習習慣和較好的邏輯思維，就可以在競賽中獲獎。同時通過備戰(zhàn)“希望杯”，也可以拓寬學生解題思路，增強邏輯推理能力、解題能力和運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，幫助學生養(yǎng)成良好的學習習慣，掌握正確的學習方法，使得初一學生能很好地從小學過渡到初中。再者，對學校來說，參加“希望杯”不失為一個發(fā)現(xiàn)和發(fā)展學生的特長，選拔和培養(yǎng)智力超常的青少年的機會。</p><p>　　歷屆“希望杯”比

22、賽試題主要知識點</p><p>　　根據(jù)“希望杯”研究委員會的文件，規(guī)定初一“希望杯”的考察內容為：</p><p>　　1.有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方、正數(shù)和負數(shù)、數(shù)軸、絕對值、近似數(shù)的有效數(shù)字； </p><p>　　2.一元一次方程、二元一次方程的整數(shù)解； </p><p>　　3.直線、射線、線段、角的度量、角的比較與運算、余角、

23、補角、對頂角；相交線、平行線 ；</p><p>　　4.三角形的邊（角）關系、三角形的內角和；</p><p>　　5.用字母表示數(shù)、合并同類項、去括號、代數(shù)式求值、探索規(guī)律、整式的加減； </p><p>　　6.統(tǒng)計表、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖、抽樣調查、數(shù)據(jù)的收集與整理； </p><p>　　7.展開與折疊、展開圖； </p&g

24、t;<p>　　8.可能還是確定、可能性、概率的基本概念、簡單邏輯推理； </p><p>　　9.整式的運算（主要是整式的加減乘運算，乘法公式的正用逆用）； </p><p>　　10.數(shù)論最初步、高斯記號、應用問題； </p><p>　　11.三視圖、平面直角坐標系、坐標方法的簡單應用； </p><p>　　就因為“希望

25、杯”數(shù)學競賽不會超綱的特點，只要對對應的知識點進行有效地掌握，就可以在考試中取得理想的成績。</p><p>　　歷屆“希望杯”（初一）試題的布局情況</p><p>　　根據(jù)本人的理解，將試題分為以下十類，并對21屆共42套題目類型作了題型統(tǒng)計：</p><p>　　①對所學概念的理解及應用；</p><p>　　②用字母表示數(shù)，合并同類項

26、，探索字母間的規(guī)律，簡單字母不等式及與數(shù)軸、絕對值有關的字母等式及不等式的化簡；</p><p>　?、塾欣頂?shù)的加減乘除、乘方運算、大小比較，有理數(shù)的近似數(shù)及科學計數(shù)法；</p><p>　　④一元多次方程、多元一次方程的整數(shù)解，解不等式，化簡求值及二項式展開、多項式的加減及因式分解問題；</p><p><b>　?、萘蟹匠探鈶妙}；</b>

27、</p><p>　　⑥直線、射線、線段、對稱軸、角、交點、三角形個數(shù)的度量與計算，平面圖形的坐標表示及三角形三邊的不等關系的運用；</p><p>　　⑦平面、立體幾何，及與之有關的面積、體積計算，立體圖形的三視圖的運用</p><p>　　⑧數(shù)論初步、定義運算及推理題；</p><p>　?、岷唵芜壿嬐评?，線性回歸及最優(yōu)化問題；</

28、p><p>　　⑩英文題、圖像理解題。</p><p>　　從統(tǒng)計的數(shù)據(jù)可以看出，初一“希望杯”舉辦20余年來，在題型和內容上基本保持了不變，但是在難度上卻是明顯加大了。從題型上看：2000年之前的初一“希望杯”試題中沒有簡單邏輯推理，線性回歸及最優(yōu)化問題，英文題、圖像理解及流程圖等的理解題，并且在前3屆沒有出現(xiàn)任何與平面或立體有關的題目，難點也僅僅只是一些巧算和奧數(shù)級的應用題；2000年后，

29、首先是加進了英文題，這對初一學生來說，無疑是一種考驗；再者，2003年后，加進了三角不等式，需要學生有很好的讀題能力和數(shù)學轉換思維；2004年后，又加進了立體圖形的三視圖，進一步需要學生良好的空間想像能了。從難題數(shù)量上看，2000年前，難度較大的題局限于數(shù)論初步的巧算題和常見的奧數(shù)應用題，比如時鐘問題，追及問題，相遇問題，質量配比問題，售價調整問題等，2000年后，難度較大的題在原先的基礎上，加進了空間立體圖形解析，英文題，線性回歸最優(yōu)

30、化等以上提到的一些題目類型，使考察內容變得更加廣泛。</p><p><b>　　試題講解</b></p><p>　　以下是對以上十類題型的分別講解，考慮到題目有966題之多，下面只選取代表性題目進行羅列，并對部分題目作詳細的解析。</p><p><b>　　概念應用題</b></p><p>

31、　　這一類題一般沒有什么難度，從上一統(tǒng)計表格也可以看出，一試中必考這一類題，但二試中有幾屆就舍去了。這類題目主要是考基本功，但是有可能會有陷阱，所以要求學生必須對書本中所學知識作透徹的理解。</p><p><b>　　對概念的直接應用</b></p><p>　　例1．（1990年“希望杯”，一試）如果a，b都代表有理數(shù)，并且a＋b=0，那么( )<

32、/p><p>　　A．a(chǎn)，b都是0． B．a(chǎn)，b之一是0．C．a(chǎn)，b互為相反數(shù)．D．a(chǎn)，b互為倒數(shù)．</p><p>　　解析：根據(jù)相反數(shù)的定義，只有符號不同的兩個數(shù)為相反數(shù)。因此兩個相反數(shù)的和為0，答案為C。</p><p>　　例2．（2000年“希望杯”，一試）已知：，則（ ）</p><p>　　A 是同類項 B 是同類項&l

33、t;/p><p>　　C 是同類項 D 是同類項</p><p>　　解析：根據(jù)同類項的定義，所含字母相同，并且相同字母的次項的指數(shù)也相同的項叫做同類項，所有常數(shù)項都是同類項。將代入，很快可以知道只有C正確。</p><p><b>　　對概念的理解及應用</b></p><p>　　例1．（1990年“希望杯”，一試）

34、下面的說法中正確的是( )</p><p>　　A．單項式與單項式的和是單項式．B．單項式與單項式的和是多項式．</p><p>　　C．多項式與多項式的和是多項式．D．整式與整式的和是整式．</p><p>　　解析：單項式和單項式的和可能為單項式、多項式或0；多項式和多項式的和可能為單項式、多項式、0。所以只有D正確。</p><p

35、>　　例2．（1990年“希望杯”，一試）有四種說法：</p><p>　　甲．正數(shù)的平方不一定大于它本身；乙．正數(shù)的立方不一定大于它本身；</p><p>　　丙．負數(shù)的平方不一定大于它本身；?。摂?shù)的立方不一定大于它本身．</p><p>　　這四種說法中，不正確的說法的個數(shù)是( )</p><p>　　A．0個．B．1

36、個．C．2個．D．3個．</p><p>　　解析：負數(shù)的平方一定大于它本身；0的平方為0；大于0小于1的數(shù)的平方一定小于它本身；1的平方為1；大于1的數(shù)的平方一定大于它本身。大于-1的負數(shù)的立方大于它本身；小于-1的負數(shù)的立方小于它本身；小于1的正數(shù)的立方小于它本身；大于1的正數(shù)的立方大于它本身。因此甲、乙、丁正確，答案選B。</p><p>　　例3．（1992年“希望杯”，一試）有

37、理數(shù)的值一定不是（　?。?lt;/p><p>　　（A）正整數(shù)　　　?。˙）負整數(shù)　　?。–）負分數(shù)　　　（D）0</p><p>　　解析：a可以取到不為0的任何值，由于分子為1，因此一定不會為0，答案為D。</p><p><b>　　字母題</b></p><p>　　用字母表示數(shù)，合并同類項，探索字母間的規(guī)律，簡單字

38、母不等式及與數(shù)軸、絕對值有關的字母等式及不等式的化簡</p><p>　　這類題目類型有以下幾類：一、在所給字母為有理數(shù)的前提下，判斷新的字母組合具有的性質；二、已知a，b之間的關系式，或是通過數(shù)軸能夠確定所給字母的取值范圍，求新的關系式的大小情況，或取值范圍；三、用字母表示題目內容，將其轉化為數(shù)學語言進行求解。</p><p><b>　　字母間的規(guī)律探索</b>&

39、lt;/p><p>　　例1．(1990年“希望杯”，一試)如果a，b代表有理數(shù)，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( )</p><p>　　A a，b同號． B a，b異號． C a＞0． D b＞0．</p><p>　　解析：根據(jù)題目意思，a＋b>a－b，化簡后可以得到b＞0，所以答案選D。</p><p

40、>　　例2．(1990年“希望杯”，一試)a代表有理數(shù)，那么，a和－a的大小關系是( )</p><p>　　A．a(chǎn)大于－a．B．a(chǎn)小于－a．C．a(chǎn)大于－a或a小于－a．D．a(chǎn)不一定大于－a．</p><p>　　解析：由題目對a的限制僅僅是有理數(shù)，因此a和-a可以為任何關系，因此答案選D.</p><p><b>　　合并同類項</

41、b></p><p>　　例1.（1995年“希望杯”，一試）已知A=a2+b2-c2，B=-4a2+2b2+3c2，若A+B+C=0，則C=[ ]</p><p>　　A．5a2+3b2+2c2．B．5a2-3b2+4c2．C．3a2-3b2-2c2．D．3a2+b2+4c2．</p><p>　　解析：這是一道同類項合并的題，C=-(A+B),代

42、入可得，，因此答案選C。</p><p><b>　　字母與數(shù)軸的結合 </b></p><p>　　例1．（1990年“希望杯”，二試）觀察圖1中的數(shù)軸：用字母a，b，c依次表示點A，B，C對應的數(shù),則的大小關系是[ ]</p><p>　　A.; B.<<; C. <<; D. <<.</p&g

43、t;<p>　　解析：解此題的關鍵在于確定a，b，c的取值范圍。由數(shù)軸可以看出，,,,因此，，，，因此就有，答案選C。</p><p><b>　　有理數(shù)運算</b></p><p>　　這類題目看似簡單，但是有些比較難的需要運用到巧算，要不然就會耗費大量的時間。</p><p>　　一般的有理數(shù)化簡運算及大小比較</p&g

44、t;<p>　　例1.（1990年“希望杯”，一試） ______．</p><p>　　例2.（1995年“希望杯”，二試）若n=,則n的負倒數(shù)是______.</p><p>　　解析：這是一類最普通不過的有理數(shù)運算題，關鍵在于考察有理數(shù)的加減乘除和通分運算，只要細心，我們不難得到答案第1題的答案就是，第5題的答案是。</p><p>　　例3.（

45、1995年“希望杯”，二試）設P=-,Q=-,R=-,則P,Q,R,的大小關系是（ ）</p><p>　　A．P＞Q＞R．B．Q＞P＞R．C．P＞R＞Q．D．R＞Q＞P．</p><p>　　解析：因為12344<12345<12346 </p><p>　　所以12344*12345<12344*12346<12345*1234

46、6</p><p>　　因此得到R<Q<P,答案選A</p><p><b>　　有理數(shù)運算的巧算</b></p><p>　　例1．（1990年“希望杯”，一試）198919902－198919892=______．</p><p>　　例2．（1997年“希望杯”，二試）計算:</p>&l

47、t;p>　　=______________.</p><p>　　解析：這類題目是比較復雜的有理數(shù)計算題。第一題相對簡單些，其實就是運用平方差公式，將這個式子轉化為，得到結果為39783979。第二題就有一定的難度了，這是一類比較復雜的多項式展開，為方便解說，我們可以調整一下順序，得到</p><p>　　為方便書寫，我們作如下替換</p><p>　　這樣，

48、我們可以將原式寫為</p><p><b>　　化簡后得到原式為</b></p><p>　　這類題重在觀察其結構，從而找到化簡的途徑。</p><p>　　例3、（1999年“希望杯”，一試）已知，則________。</p><p><b>　　解析：因為</b></p><

49、p><b>　　所以</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　其他與有理數(shù)有關的有理數(shù)運算</p><p>　　例1．（1995年“希望杯”，一試）下面的數(shù)軸上(圖1)，表示(-5)÷│-2│的值的點是[ ]</p><p>　　A．P． B．Q

50、． C．M． D．N．</p><p>　　解析：這道題是與數(shù)軸結合的題，先通過計算得到值為-2.5，再從數(shù)軸上得到這一點為N,即選D。</p><p>　　例2．（1998年“希望杯”，一試）若，則＝　　　　　。</p><p>　　例3．（1999年“希望杯”，一試）設a是最小的自然數(shù)，b是最大的負整數(shù)，c是絕對值最小的有理數(shù)，則a-b+c＝（ ）。<

51、/p><p>　?。ˋ）－1；（B）0；（C）1；（D）2。</p><p>　　解析：這兩題都不難，第一題是代入型有理數(shù)運算，重點是不要算錯，將代入式子可以得到結果為20000；第二題重點分析型有理數(shù)運算，是要分析對a、b、c的值，最小的自然數(shù)是0而不是1，最大的負整數(shù)是-1，絕對值最小的有理數(shù)是0，所以結果為1，答案選C。</p><p><b>　　方程

52、和不等式求解</b></p><p>　　一元一次和一元二次的方程或不等式求解</p><p>　　例1．（1996年“希望杯”，一試）方程19x－96=96－19x的解是[ ]</p><p>　　A.0 B. C. D. </p><p>　　例2. （1996年“希望杯”，一試）不等式的解是_

53、_____________.</p><p>　　解析：這兩題是典型的一元一次方程、一元一次不等式的求解，本身沒有什么難度，在此不作講解，答案分別為D，x＜－4。</p><p>　　多元一次方程組和一元多次方程或不等式求解</p><p>　　例1. （1996年“希望杯”，一試）x,y,z滿足方程組,則xyz=________.</p><p

54、>　　解析：這是一道多元一次方程組的求解題，3個方程解3個未知數(shù)，再根據(jù)題目要求將3個解相乘得到最后結果為-6.</p><p>　　例2．（1997年“希望杯”，二試）若是關于x,y的二元一次方程,則的值為____.</p><p>　　解析：這里主要考的是概念，其實是變相地考了二元一次方程組的解。根據(jù)題目意思，得到一個方程組，從而可以解出m、n的值，則可以得到比值為。</p

55、><p><b>　　二項式展開初步</b></p><p>　　例1．（2000年“希望杯”，二試）若，則= </p><p>　　解析：這題是三項式的展開，基于高中數(shù)學的二項式定理，對初一的學生來說，僅僅只是將這道題展開，事實上將其轉化為，再根據(jù)二項式定理，找題目所需要的系數(shù)項。</p><p><b>

56、　　因此</b></p><p>　　其他與解方程有關的類型</p><p>　　例1. （1996年“希望杯”，一試）已知關于x的方程3a-x=+3的解是4,則(-a)2-2a=_________.</p><p>　　解析：這道題之所以將其拿出來當例題，是因為“希望杯”中出現(xiàn)大量這樣的題，先告知解，代入運算后求出未知字母的值，再將解得的字母值代入求解

57、，事實上就是做了2次解。這題的答案為3。</p><p>　　例2．（1995年“希望杯”，二試）若（x－1996）2＋（7＋y）2=0，則x＋y3=______．</p><p>　　解析：這代表了一類題目，他們的特點是：平方（或絕對值）+絕對值（或平方）=0，考慮到平方數(shù)和絕對值都大于等于0，因此相加等于0，只有分別等于0這一種情況，繼而直接求出x=1996,y=-7，代入求值，得到結

58、果為1653。</p><p>　　例3.（1996年“希望杯”，二試）如果關于x的方程3(x+4)=2a+5的解大于關于x的方程的解,那么[ ] </p><p>　　A.a>2 B.a<2 C.a< D.a></p><p>　　解析：這是一類將解方程和解不等式結合在一起的題目，先根據(jù)方程得到解，再根

59、據(jù)題目要求解不等式，得到結果為D。</p><p>　　例4．（1997年“希望杯”，二試）設m2＋m－1＝0，則m3＋2m2＋1997＝______．</p><p>　　解析：這是一類考得比較多的題目類型，算得上比較難的題目。解這一類題目的關鍵不是解方程，而是構造代入法。由，得到</p><p>　　例5．（1998年“希望杯”，二試）已知關于的一次方程無解，則

60、是（ ）</p><p>　　A 正數(shù) B 非正數(shù) C 負數(shù) D 非負數(shù)</p><p>　　例6．（1998年“希望杯”，二試）若關于的方程無解，只有一個解， 有兩個解，則的大小關系是（ ）</p><p>　　A B C D </p><p>　　解析：這

61、是一類方程解的情況類型的題，要使一元一次方程無解，則一次項前系數(shù)為0；要使絕對值方程無解，則只要使絕對值等于一個負值；要使絕對值方程有一個解，則只要使絕對值0；要使絕對值方程無解，則只要使絕對值等于一個正值；因此可以得到這兩題的解分別為B，A。</p><p><b>　　列方程解應用題</b></p><p><b>　　單價問題</b><

62、;/p><p>　　例1．（1995年“希望杯”，二試）某同學到集貿市場買蘋果，買每公斤3元的蘋果用去所帶錢數(shù)的一半，而其余的錢都買了每公斤2元的蘋果，則該同學所買的蘋果的平均價格是每公斤_____元．[ ]</p><p>　　A．2.6．B．2.5．C．2.4．D．2.3．</p><p>　　解析：這是一道重新配置組合的單價問題，只要設總的錢為2S，那

63、么均價=2S/總的質量，即,因此，答案選C。</p><p>　　例2．（2001年“希望杯”，一試）若進貨價降低而售出價不變，那么利潤（按進貨價而定）可由目前的%增加到%，則原來的利潤是 </p><p><b>　　解析：根據(jù)公式，，</b></p><p>　　那么， ①</p><

64、;p><b>　?、?lt;/b></p><p>　　將①、②聯(lián)立方程組，可以得到，</p><p>　　最后解得p為15%。</p><p><b>　　相遇問題</b></p><p><b>　　例1．解析：</b></p><p>　　例2.（

65、2000年“希望杯”，一試）甲、乙分別自A、B兩地同時相向步行,2小時后在中途相遇.相遇后,甲、 乙步行速度都提高了1千米/小時.當甲到達B地后立刻按原路向A地返行,當乙到達A地后也立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小時36分鐘又再次相遇,則A、B兩地的距離是_________千米.</p><p>　　解析：做相遇問題最好的方法是圖示法，這樣最容易看清楚條件，假設A、B之間的距離為S千米，那么，甲、

66、乙第一次相遇共走了S千米，而之后的第二次相遇，卻是走了2S千米，第一次相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/小時，因此，如果將甲、乙的共同速度記為V千米/小時，那么他們第一次相遇后的速度變?yōu)椋╒+2）千米/小時,就有, ,將上述2個方程聯(lián)立方程組，可以得到S=36。</p><p><b>　　時鐘問題</b></p><p>　　時鐘問題是初一“希望杯”應用題中較

67、難的一類，時鐘問題不像其他問題那樣常見，而且初一學生對角的概念還不是很明確，經(jīng)常會依靠死記來完成對部分知識的運用。因此，在這里我會做一些補充，方便接下來的講解。</p><p>　　其實，時鐘問題在本質上是一種追及問題，因此我們只要了解時針和分針的速度就可以了。鐘面的一周分為60格，共360°，分針每小時走60格，每分鐘走6°，時針每小時好走5格，每小時走30°，每分鐘走0.5

68、76;，所以時針的速度是分針速度的十二分之一 ，知道這些后，我們就可以開始做題了。</p><p>　　例1．（1996年“希望杯”，二試）從3點15分開始到時針與分針第一次成30°角，需要的時間是______分鐘．</p><p>　　解析：3點15分時，分針與時針的夾角為°，即7.5°，這時時針在分針前面，接下去分針會走到時針前面，并形成與時針夾角為30&

69、#176;的情形，那我們假設需要的時間為t分鐘，那么就可以得到方程：</p><p><b>　　可以解得。</b></p><p><b>　　流水問題</b></p><p>　　例1．（1991年“希望杯”，二試）游泳者在河中逆流而上，于橋A下面將水壺遺失被水沖走，繼續(xù)前游20分鐘后他發(fā)現(xiàn)水壺遺失，于是立即返回追尋水

70、壺．在橋A下游距橋A2公里的橋B下面追到了水壺．那么該河水流的速度是每小時______公里．</p><p>　　解析：流水問題也是比較常見的題目，主要考察學生的分析能力，因為游泳者在前進的同時，水還有流速。分析這道題可以分為2個部分，一個是水壺，遺失后只在水流作用下漂流，因此速度為水速x公里/小時，則這個過程的總時間也可以表示出來，t=；另一個是游泳者，假設游泳者自身游泳的速度為y公里/小時,前20分鐘，游泳者

71、的真實速度為（y-x）公里/小時,而當其返回追及時，速度為（y+x）公里/小時,因此，可以得到方程：</p><p><b>　　可以得到x=3</b></p><p>　　即水流的速度為3公里/小時。</p><p>　　16．（1996年“希望杯”，二試）快慢兩列火車的長分別是150米和200米，相向行駛在平行軌道上．若坐在慢車上的人見快車

72、駛過窗口的時間是6秒，那么坐在快車上的人見慢車駛過窗口所用的時間是______秒．</p><p>　　解析：這是一題比較有趣的水流問題的變形，相向而行，說明對任一一個乘客來說，另一個乘客的速度為兩輛火車速度的和，假設這個速度為x米/秒,那么就有150=6x,x=25,因此，坐在快車上的人見慢車駛過窗口所用的時間是秒。</p><p><b>　　工程問題</b>&l

73、t;/p><p>　　15．（2001年“希望杯”，一試）為使某項工程提前20天完成任務，需將原定的工作效率提高，則原計劃完成這項工程需要 天</p><p>　　解析：這是一題比較難的工程問題，會給學生一種無從下手的感覺，其實只需要設原來的工作效率為x,所需時間為t,就可以得到方程： 解得t=100。</p><p><b>　　其他類型應用

74、題</b></p><p>　　例1．（1995年“希望杯”，二試）某項球類規(guī)則達標測驗，規(guī)定滿分100分，60分及格，模擬考試與正式考試形式相同，都是25道選擇題，第題答對記4分，答錯或不答記0分．并規(guī)定正式考試中要有80分的試題就是模擬考試中的原題．假設某人在模擬考試中答對的試題，在正式考試中仍能答對，某人欲在正式考試中確保及格，則他在模擬考試中，至少要得 [ ]</p>&l

75、t;p>　　A．80分．B．76分．C．75分．D．64分．</p><p>　　解析：對初一學生來說，這道題如果要真正分析出來并且答對，難度非常大，因此它被設計為選擇題。那么這道題應該怎么樣分析呢，首先從字面上看，情境不難想象，要確保正式考試及格，那么必須答對15題，根據(jù)題目意思，正式考25題中，20題是模擬考中出現(xiàn)的，5題是新題，這5題他在考試中不一定做對，為確保及格，我們假設這5題都做不對，那么他

76、必須從剩下的20題中尋求及格分。設他在模擬考試中，至少要得分，也就是說至少答對了，那么他就有至多有題不會做。如果這些不會做的題都出現(xiàn)在了正式考中，那么他會做的題至少為15題，也就是說，即，因此他至少得80分。</p><p>　　例2．（1990年“希望杯”，二試）甲杯中盛有2m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍墨水，從甲杯倒出a毫升到乙杯里,0＜a＜m，攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時[ ]<

77、;/p><p>　　A．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水少．</p><p>　　B．甲杯中混入的藍墨水比乙杯中混入的紅墨水多．</p><p>　　C．甲杯中混入的藍墨水和乙杯中混入的紅墨水相同．</p><p>　　D．甲杯中混入的藍墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關系不定．</p><p>　　解析：這是應用題中較

78、難的一題，屬于質量分數(shù)類的題。如果同時考慮甲、乙兩個杯子，思路會比較混論，在此，我們只考慮乙杯中墨水的變化情況，對此進行分步分析：</p><p>　　第一次倒出后，乙杯中紅墨水的比例為，藍墨水的比例為</p><p>　　第二次倒出后，乙杯中紅墨水量為，</p><p><b>　　倒出藍墨水的量為。</b></p><p

79、>　　可以看出，乙杯中混入的紅墨水的量和乙杯中倒出的藍墨水的量是相同的，因此選C。其實也可以這樣考慮：經(jīng)過兩次的倒來倒去，甲杯中和乙杯中總的墨水量沒有發(fā)生改變，對乙杯而言，無非是將一部分藍墨水換成了紅墨水，既然總的量沒有發(fā)生變化，那兩次傾倒結束后交換的墨水肯定也是一樣多的。</p><p><b>　　平面圖形相關</b></p><p>　　直線、射線、線段、

80、對稱軸、交點個數(shù)的計數(shù)</p><p>　　例1．（2001年“希望杯”，一試）如圖1，是直角，在圖1所有的角中，的角有（ ）</p><p>　?。ˋ）0個（B）1個（C）2個（D）3個</p><p>　　例2．（2001年“希望杯”，一試）平面內兩兩相交的6條直線，其交點個數(shù)最少為 個，最多為 </p><p&g

81、t;　　解析：這類題目難度不大，數(shù)量關系一般都可以推導出來，當然，考生在考試的時候會直接用數(shù)的方法得到答案，這不失為一個最快的方法，但是往往容易數(shù)漏，所幸所有的這一類題目數(shù)量關系都不會太大，一般耗費的時間也不會太多。如例1，很快就可以得出答案為A。例2稍難一些，最少的時候所有的直線交于一點，因此交點數(shù)最少的時候只有1個；當直線兩兩之間都交于不同點時，推導公式為，因此，當直線條數(shù)n=6時，最多為15條。</p><p&

82、gt;　　線段長度和角度的計算</p><p>　　角、交點、三角形個數(shù)的度量與計算，平面圖形的坐標表示及三角形三邊的不等關系的運用；</p><p>　　例1.（2000年“希望杯”，一試）一個角的補角的等于它的余角.則這個角等于________度.</p><p>　　例2．（2000年“希望杯”，二試）已知三個銳角的度數(shù)之和大于，則一定有一個銳角大于（ ）&

83、lt;/p><p>　　（A）（B）（C）（D）</p><p>　　解析：角度計算在近幾年的初一“希望杯”中出現(xiàn)頻率還是較高的，但一般不會太難，重在考概念性的題目。例1較簡單，在此不作講解，答案為45°。例2需要作簡單的分析，根據(jù)題意，我們不妨設最大的銳角為x°，那么其他2個角就肯定不會大于x°，這樣最理想的結果就是3個角都x°，則可以得到不等式：3x

84、°≤180°，答案選D。</p><p>　　例3.（2000年“希望杯”，一試）如圖,C是線段AB上的一點,D是線段CB的中點.已知圖中所有線段的長度之和為23,線段AC的長度與線段CB的長度都是正整數(shù),則線段AC的長度為_______.</p><p>　　解析：這題看似很復雜，其實分析清楚就知道，圖中所有線段的長度之和為3AB+CD=23，因為線段AC的長度與線段

85、CB的長度都是正整數(shù)，所以線段AB的長度也為正整數(shù)，同時2CD≤AB,又因為,只要代入不多的數(shù)就可以解得CD=2，AB=7，那么AC=3。</p><p>　　例3．（2010年“希望杯”，二試）如圖1，一個凸六邊形的六個內角都是120°，六條邊的長分別為a，b，c，d，e，f，則下列等式中成立的是( ) </p><p>　　(A)a+b+c

86、=d+e+f． (B)a+c+e=b+d+f．</p><p>　　(C)a+b=d+e． (D)a+c=b+d．</p><p>　　解析：這題證明較難，網(wǎng)上查到的解析一種是根據(jù)面積算，但是比較麻煩，而且證明比較繁瑣；另一種就是證明等邊三角形的，這種方法比較可取，即延長a、c、e這3條邊，使之兩兩相交，則可以證明得到的3個三角形都是正三角形，且最大的三角形也是

87、三角形，由正三角形的性質，b+c+d=f+e+d=a+b+f，因此答案選C。</p><p>　　三角形面積求取及三邊不等關系運用</p><p>　　例1.（2001年“希望杯”，二試）用一根長為a米的線圍成一個等邊三角形，測知這個等邊三角形的面積為b平方米?，F(xiàn)在這個等邊三角形內任取一點P，則點P到等邊三角形三邊距離之和為（ ）米</p><p>　　A.

88、B. C. D. </p><p>　　解析：三角形面積的求取并不是很難，在“希望杯”中，一般采用經(jīng)過變形的題目來考這一點，這其實是一題三角形面積求取的變形題，將3個頂點與P相連，可以得到3個三角形，假設點P到等邊三角形三邊距離之和為h，那么就有，因此得到答案為C。</p><p><b>　　立體圖形相關</b></p><p>

89、<b>　　正方體展開</b></p><p>　　對正方體表面展開圖的11種情況，參加過培訓的學生都應該知道?，F(xiàn)今在新課標初二的課本上會有與之相關的課程，大多數(shù)老師都會正方體表面展開圖的11種情況將之補充歸納，以方便學生記憶。在此，我們只做簡單介紹,為加深記憶，可編成如下口訣：一四一呈6種，一三二有3種，二二二與三三各1種，展開圖共有11種。</p><p>　　第

90、一類：主鏈4個，上下各一個，即一四一呈6種；</p><p>　　第二類：主鏈3個，上2下1，即一三二有3種；</p><p>　　第三類：3行各2個和2行各3個，即二二二與三三各1種。</p><p>　　例1、（2005年“希望杯”，一試）下列圖形中經(jīng)過折疊不能圍成正方體的是</p><p>　　例2、（2007年“希望杯”，一試）韓老師

91、特制了4個同樣的立方塊，并將它們如圖4（a）放置，然后又如圖4（b）放置，則圖4（b）中四個底面正方形中的點數(shù)之和為（ ）</p><p>　　（A）11 （B）13 （C）14 （D）16</p><p>　　解析：經(jīng)過上述的內容補充，例1很快就知道答案為D；例2是一題推斷題，有點難度，看到圖a的第2、3兩個圖，4點同時與1點、3點、5點、6點相鄰，再結合第一個圖

92、，知道4點與2點相對，再看圖b的第2、3兩個圖，知道1點、3點分別與5點、6點對應，因此答案選D。</p><p>　　立體圖形中的邊角問題</p><p>　　例1.（2002年“希望杯”，一試）右圖是一個三棱柱，在它的五個面內的18個角中，直角最多可達到__________個。</p><p>　　解析：例1沒有什么難度，只需要使得3條側棱垂直上下底面，并且使得

93、上下底面的兩個三角形是直角三角形即可，最多為14個直角。</p><p><b>　　三視圖初步</b></p><p>　　例1.（2008年“希望杯”，一試）如圖所示的4個立體圖形中，左視圖是長方形的有（ ）個</p><p>　　A、0； B、1； C、2； D、3；</p>&l

94、t;p>　　解析：這類題目都不難，重點是考察這個知識點，答案選C。</p><p>　　數(shù)論初步、定義運算及推理題</p><p>　　這類題對于初一的學生來說，大部分都是難題，因為初一的學生的分析能力還是比較弱的，當然理解能力也是解這一類題的關鍵，但是相信能參加比賽的學生的數(shù)學能力普遍不弱。對于這類題難點有二：一、對數(shù)論初步知識掌握得不扎實；二、對某些定義運算不理解。</p&

95、gt;<p><b>　　幾點知識點的補充：</b></p><p><b>　　關于整除</b></p><p><b>　　特殊的1和0</b></p><p>　　(1)1是任何整數(shù)的約數(shù)，即1可以整除任何數(shù)。 </p><p>　　(2)0是任何非零整數(shù)的

96、倍數(shù)，即0不能整除任何數(shù)。</p><p>　　能通過割尾法判定整除性的幾個數(shù)（7、11、13、17、19）。</p><p>　　若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再將余下的數(shù)，減去個位數(shù)的2倍，如果差是7的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數(shù)，就需要繼續(xù)對得到的差做上述的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷147是否7的倍數(shù)的過程如下：14－7×2＝0，所以1

97、47是7的倍數(shù)；又例如判斷6146是否7的倍數(shù)的過程如下：614－6×2＝602 ， 60－2×2＝56，所以6146是7的倍數(shù)，如此類推。 </p><p>　　若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再將余下的數(shù)，減去個位數(shù)，如果差是11的倍數(shù)，則原數(shù)能被11整除。如果差太大或心算不易看出是否11的倍數(shù)，就需要繼續(xù)對得到的差做上述的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷1331是否11的倍數(shù)的過程如下：1

98、33－1＝132，13－2＝11，所以1331是11的倍數(shù)，如此類推。 </p><p>　　若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再將余下的數(shù)，加上個位數(shù)的4倍，如果差是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數(shù)，就需要繼續(xù)對得到的和做上述過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷28561是否13的倍數(shù)的過程如下：2856+1×4＝2860，286+0×4＝286，28+6

99、15;4＝52，所以,28561是13的倍數(shù)，如此類推。 </p><p>　　若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再將余下的數(shù)，減去個位數(shù)的5倍，如果差是17的倍數(shù)，則原數(shù)能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數(shù)，就需要繼續(xù)對得到的差做上述的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷63869是否17的倍數(shù)的過程如下：6386－9×5＝6341，634－1×5＝629，62－9×5＝1

100、7，所以63869是17的倍數(shù)，如此類推。 </p><p>　　若一個整數(shù)的個位數(shù)字截去，再將余下的數(shù)，加上個位數(shù)的2倍，如果和是19的倍數(shù)，則原數(shù)能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數(shù)，就需要繼續(xù)對得到的和做上述的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷2166是否19的倍數(shù)的過程如下：216+6×2＝228，22+8×2＝38，所以,2166是19的倍數(shù)，如此類推。 </

101、p><p><b>　　其他</b></p><p>　　若一個整數(shù)的末位是0、2、4、6或8，則這個數(shù)能被2整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3整除，則這個整數(shù)能被3整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4整除，則這個數(shù)能被4整除。 </p><p>　　若一個整

102、數(shù)的末位是0或5，則這個數(shù)能被5整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)能被2和3整除，則這個數(shù)能被6整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8整除，則這個數(shù)能被8整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9整除，則這個整數(shù)能被9整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)的末位是0，則這個數(shù)能被10整除。 </p

103、><p>　　若一個整數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差能被11整除，則這個數(shù)能被11整除。例如，判斷1331是否11的倍數(shù)的過程如下：（1+3）－（1+3）＝0，所以1331是11的倍數(shù)。</p><p>　　若一個整數(shù)能被3和4整除，則這個數(shù)能被12整除。 </p><p>　　若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17整除。 例如，判

104、斷63869是否為17的倍數(shù)的過程如下：869-3×63=680，所以63869是17的倍數(shù)。</p><p>　　若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19整除。例如，判斷2166是否為19的倍數(shù)的過程如下：166-7×2=152，所以2166是19的倍數(shù)。</p><p>　　若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23或29整除，

105、則這個數(shù)能被23整除。例如，判斷32154是否為23的倍數(shù)的過程如下：2154-5×3=2139，2139是23的倍數(shù)，所以23154是23的倍數(shù)。</p><p><b>　　100以內的質數(shù)</b></p><p>　　2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53

106、 59 </p><p>　　61 67 71 73 79 83 89 97</p><p>　　當然，有很多記憶的方法，比如找規(guī)律，比如編順口溜，無論用什么方法，在此不做解說。</p><p><b>　　數(shù)論初步</b></p><p>　　例1．（1991年“希望杯”，一試）一個質

107、數(shù)是兩位數(shù)，它的個位數(shù)字與十位數(shù)字的差是7，則這個質數(shù)是______．</p><p>　　解析：令此質數(shù)為，則可以確定|a-b|=7，b為奇數(shù)，解得，a=8,b=1（舍）；a=2，b=9。故答案為29。</p><p>　　例2．（1992年“希望杯”，二試）在1992個自然數(shù)：1，2，3，…，1991，1992的每一個數(shù)前面任意添上“+”號或“-”號，則其代數(shù)和一定是[ ]&l

108、t;/p><p>　　A．奇數(shù)．B．偶數(shù)． C．負整數(shù)． D．非負整數(shù)．</p><p>　　解析：默認每個數(shù)前都為“+”號，此時代數(shù)和為奇數(shù)，再將任意數(shù)前的“+”號改成“-”號，每次變動都不會改變代數(shù)和的奇偶性（奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)），所以答案選A。</p><p>　　例3.（1992年“希望杯”，二試）將分別寫有數(shù)碼1，2，3，4，5，6，7

109、，8，9的九張正方形卡片排成一排，發(fā)現(xiàn)恰是一個能被11整除的最大的九位數(shù)．請你寫出這九張卡片的排列順序，并簡述推理過程．</p><p>　　解析：被11整除的數(shù)字特征為，奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字之和的差為11的倍數(shù)。</p><p>　　設所求9位數(shù)為，則，k為整數(shù)，取a=9,b=8,c=7,d=6,e=5,f=2,g=4,h=1,i=3,，即得答案987652413。</p

110、><p>　　例4．（1993年“希望杯”，一試）在自然數(shù)：1，2，3，4，5，…中，前15個質數(shù)之和的負倒數(shù)等于[ ]</p><p>　　A.-; B.-; C.-; D.-.</p><p>　　解析：前15個質數(shù)為2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。故，答案為A。</p><p>

111、　　1993年二試第5、6、8、9題</p><p>　　例5．（1993年“希望杯”，二試）1993+9319的末位數(shù)字是[ ]</p><p>　　A．2．B．4． C．6． D．8．</p><p>　　解析：19的奇數(shù)次方末位數(shù)為9；93的（4k+1）次方末位數(shù)為3，（4k+2）次方末位數(shù)為9，（4k+3）次方末位數(shù)

112、為7，（4k+4）次方末位數(shù)為1。所以1993的末位數(shù)字是9，9319的末位數(shù)字是7，7+9=16，末位數(shù)字是6，答案為C。</p><p>　　例6．（1993年“希望杯”，二試）今天是4月18日，是星期日，從今天算起第19933天之后的那一天是[ ]</p><p>　　A．星期五．B．星期六． C．星期日． D．星期一．</p><

113、p>　　解析：，所以19933除7余6，答案為B。</p><p>　　例7．（1993年“希望杯”，二試）絕對值小于100的所有被3除余1的整數(shù)之和等于[ ]</p><p>　　A．0． B．-32． C．33．D．-33．</p><p>　　解析：所以答案為D。</p><p><b>　　定義運算

114、</b></p><p>　　例1．(1990年“希望杯”，二試)對于任意有理數(shù)x，y，定義一種運算*，規(guī)定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知數(shù)，等式右邊是通常的加、減、乘運算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），則m的數(shù)值是______．</p><p>　　解析：由定義， x*m=ax+bm-cxm=x，令x=0，代入解得b=0，再由1*2

115、=a+2b-2c=3，2*3=2a+3b-6c=4，得到a=5，c=1。將x=1，a=5，b=0，c=1，代入x*m=ax+bm-cxm=x，即得m=4。</p><p>　　例2．（1993年“希望杯”，二試）x是正數(shù)，<x>表示不超過x的質數(shù)的個數(shù)，如<5.1>=3．即不超過5.1的質數(shù)有2，3，5共3個．那么<<19>+<93>+<4>

116、15;<1>×<8>>的值是[ ]</p><p>　　A．12．B．11．C．10．D．9．</p><p>　　解析：<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>=<7+24+1*0*1>=<31>=11，答案為B。&l

117、t;/p><p><b>　　推理題</b></p><p>　　例1．(1990年“希望杯”，二試)新上任的宿舍管理員拿到20把鑰匙去開20個房間的門，他知道每把鑰匙只能開其中的一個門，但不知道每把鑰匙是開哪一個門的鑰匙，現(xiàn)在要打開所有關閉著的20個房間，他最多要試開______次．</p><p>　　解析：考慮最差的情況，第一次需要試20次才