混沌-中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之十三－混沌,中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)系陳發(fā)來(lái),實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,函數(shù)迭代二次函數(shù)的迭代FeigenBaum圖混沌的特性其它函數(shù)的迭代,一、函數(shù)迭代,給定一函數(shù) 以及初始點(diǎn) ，定義數(shù)列 稱為函數(shù) 的迭代序列。 滿足 的點(diǎn) 稱為 的不動(dòng)點(diǎn)，記之為 。如果所有附近的點(diǎn)在迭代過(guò)程中都趨向于某一不動(dòng)點(diǎn)，則該不動(dòng)點(diǎn)稱為吸引點(diǎn)。如果所有附近的,,點(diǎn)都遠(yuǎn)離它，則它是排斥點(diǎn)。

2、例如，0 與 1 是 的不動(dòng)點(diǎn)。0 是吸引點(diǎn)，1是排斥點(diǎn)。如果則點(diǎn)集 形成一個(gè) k 循環(huán)。 稱為 k 周期點(diǎn)。k稱為周期。,類似地，周期點(diǎn)也可以分吸引點(diǎn)與排斥點(diǎn)。如果點(diǎn) 最終歸宿于某個(gè)循環(huán)中，則稱它為預(yù)周期點(diǎn)。如 1 是 的預(yù)周期點(diǎn)。迭代序列 的收斂與發(fā)散性質(zhì)不僅與函數(shù) 有關(guān)， 而且與初值的選擇有關(guān)。 例如，對(duì)于迭代,,,當(dāng)初值 時(shí)，

3、迭代序列收斂，否則發(fā)散。,二、二次函數(shù)的迭代,對(duì)二次函數(shù) 做迭代: 迭代的幾何直觀圖,,,,,,,,,,,,,練習(xí) 1 對(duì)幾組不同的參數(shù)值 （如 1.4)以及不同的初值 ，觀察迭代是否收斂。練習(xí) 2 取參數(shù) ，用不同的初值做迭代。你能找到一個(gè)吸引的不動(dòng)點(diǎn)嗎？一個(gè)排斥的不動(dòng)點(diǎn)嗎？哪些初值收斂到吸引的不動(dòng)點(diǎn)？哪些初值使序列發(fā)散？取不動(dòng)的參數(shù)

4、 回答同樣的問(wèn)題。,,練習(xí) 3 找出一個(gè)參數(shù) 使它對(duì)應(yīng)的迭代具有2周期點(diǎn)。這種性質(zhì)依賴于初值嗎？練習(xí) 4 對(duì)任意的整數(shù) ，你能找到一個(gè) 值使得它對(duì)應(yīng)的迭代具有 周期點(diǎn)嗎？對(duì)哪些 值能給出 周期點(diǎn)？在每種情況下，結(jié)果是否依賴于初值？（對(duì) 和 的值進(jìn)行驗(yàn)證）,練習(xí) 5 如果某個(gè) 值能給出周期點(diǎn)，它是否一定是吸引的周期點(diǎn)？你能否找到排斥的周期點(diǎn)？練習(xí) 6 根據(jù)前面的練習(xí)，試著從

5、理論上分析：如何求不動(dòng)點(diǎn)？對(duì)哪些 值對(duì)應(yīng)吸引的不動(dòng)點(diǎn)？哪些 值對(duì)應(yīng)排斥的不動(dòng)點(diǎn)？初值對(duì)結(jié)果有什么影響？對(duì)周期點(diǎn)做類似的分析。,,不動(dòng)點(diǎn)的計(jì)算 從　　 得到 及,吸引的不動(dòng)點(diǎn)與排斥的不動(dòng)點(diǎn) 定理　設(shè) 是 的不動(dòng)點(diǎn)，如果在 附近有 ，則 是 的吸引的不動(dòng)點(diǎn)；否則， 是 的排斥的不動(dòng)點(diǎn)。　由于 故當(dāng) 0<a<1時(shí)，０為吸引點(diǎn)

6、，(a-1)/a為排斥點(diǎn)。當(dāng)1<a<3, ０為排斥點(diǎn)，(a-1)/ a為吸引點(diǎn)。,2 周期點(diǎn) 得,三、Feigenbaum圖,將區(qū)間（0, 4] 以某個(gè)步長(zhǎng) （如 ）離散化。對(duì)每個(gè)離散的 值做迭代。忽略前50個(gè)迭代值，而把點(diǎn) 顯示在坐標(biāo)平面上，最后形成的圖形稱為 Feigenbaum圖。,練習(xí) 7 觀察Feigenbaum圖。（1）它的左部有一條曲線，這表示什么意義

7、？（2） 從某一點(diǎn) 開(kāi)始，這條曲線分成兩支，這說(shuō)明了迭代的什么性質(zhì)？迭代的點(diǎn)是如何運(yùn)動(dòng)的？（3）再在下一個(gè)分支點(diǎn) ，曲線分成幾支？這說(shuō)明迭代的什么性質(zhì)？（4）上述分支過(guò)程是否一直進(jìn)行下去？,是否存在極限分支點(diǎn) ? （5）在極限分支點(diǎn)之后，F(xiàn)eigenbaum圖是否顯得很混亂？練習(xí) 8 在Feigenbaum圖的右部，有一個(gè)有三條線穿過(guò)的空白地帶，它是一個(gè)周期為3 的窗口。你能找到其它窗口嗎？它們的周期是什

8、么？窗口里有什么圖案？這些窗口與周期軌道有什么關(guān)系？,四、混沌的特性,對(duì)初值的敏感性練習(xí) 9 任取兩個(gè)初值使它們之間的差的絕對(duì)值不超過(guò) 0.1, 在迭代他們是否逐漸分開(kāi)？如果兩個(gè)初值的差的絕對(duì)值不超過(guò)0.01, 0.001, 0.0001 結(jié)果如何？由此得出迭代對(duì)初值是否敏感？,非隨機(jī)性 仍然考慮迭代練習(xí) 10 從不同的初值 出發(fā)，統(tǒng)計(jì)迭代點(diǎn)列中分別落與區(qū)間（0,1/2)及(1/2,1)中的

9、點(diǎn)的個(gè)數(shù)，你得到的結(jié)果是隨機(jī)的嗎？進(jìn)一步，將區(qū)間分成任意等份，統(tǒng)計(jì)迭代點(diǎn)列落于每個(gè)子區(qū)間的點(diǎn)的個(gè)數(shù)？結(jié)果如何？,五、其它函數(shù)的迭代,鋸齒函數(shù) 練習(xí) 11 鋸齒函數(shù)的迭代對(duì)初值是否敏感？ 找出鋸齒函數(shù)的周期點(diǎn)。,,,,,帳篷函數(shù) 練習(xí) 12 帳篷函數(shù)的迭代對(duì)初值是否敏感？ 找出帳篷函數(shù)的周期點(diǎn)。,,,,,其它函數(shù)的迭代 對(duì)以下函數(shù)的迭代行為做探討，并與函數(shù) 的迭代