混沌與隨機數(shù)

1、混沌與隨機數(shù),《信息隱藏實驗教程》教學幻燈片四,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,蟲口模型又稱為Logistic映射 ： 在某一范圍內單一種類的昆蟲繁殖時，其 第n年的數(shù)量與第n+1年的數(shù)量可以表示為： xn+1=xn(a-bxn) 其中a表示增長率，-bxn表示考慮到爭奪 食物等

2、因素引起的蟲口飽和。,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,為了數(shù)學上處理的方便，我們再設a=b=μ,因此考慮下列關系式： xn+1=μxn(1-xn) 我們下面進一步分析Logistic方程所描述的蟲口問題的一些特征,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,當取μ=2.5,xo=0.5時 x1=0.625 x2

3、=0.5859375 ……… x28=0.599999998 x29=0.6 x30=0.6 ………,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,可以看出，當n的值大于29時，x的值不再改變，即使改變x0的值，只要μ=2.5,迭

4、代方程最終會收斂到0.6，不同的只是達到收斂值的迭代路徑。即不論初值為什么，迭代方程最終都會被吸引到一個固定值，這個固定值被稱為吸引子。,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,我們再取μ=3.3，x0=0.5，可得： …………….. x32=0.479427020 x33=0.823603283 x34=0

5、.479427020 x35=0.823603283 …………….,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,可見，當μ取3.3時，有兩個吸引子， 這種收斂軌跡被稱為周期2軌跡。,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,我們根據(jù)參數(shù)μ的取值討論如下：①μ大于0小于等于1 時 除了不動點Xs=0外，在也沒有其他周期點，且Xs為吸引不動點（吸引子），即迭代方程最后會歸于0，蟲

6、子最終會滅絕。②μ大于1小于3時不動點0，1-1/μ為僅有的兩個周期點，且0為排斥不動點，1-1/μ為吸引不動點。,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,③μ大于等于3小于等于4時系統(tǒng)的動力學形態(tài)十分復雜，系統(tǒng)由倍周期通向混沌。前面的μ=3.3就是這樣。④μ大于4時系統(tǒng)的動力學形態(tài)更復雜。,一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）,下圖給出了不同的μ值下蟲口模型的時間序列,特征量,Lyapunov指數(shù) Lyapunov維數(shù) k

7、olmogorov熵,Lyapunov指數(shù),混沌運動的基本特點是運動對初值條件極為敏感。兩 個很靠近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時間推移按指數(shù)方 式分離，我們用Lyapunov指數(shù)來描述這一現(xiàn)象。 λ與初始值的選取沒有關系，稱為Lyapunov指數(shù)。 它表示平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)。,Lyapunov指數(shù),指數(shù)分離我們用下圖表示 ●x0--------ε---------●x0+ε n

8、次迭代 ●F?(x0)-------- εen λ ---------●F?(x0+ε) 故λ>0可作為系統(tǒng)混沌行為的一個判據(jù) 。對Logistic映 射，考慮參數(shù)3.4≤μ≤4，若μμ∞=3.5699…, λ>0,對應混沌運 動。,Lyapunov維數(shù),我們設Lyapunov指數(shù)按從大到小的順序排列為： λ1≥λ2≥λ3≥…….，則混沌吸引子的Lya

9、punov維數(shù)定義為：其中, ，k是保證Sk>0的最大k值。,kolmogorov熵,考慮一個n維動力系統(tǒng)，將它的相空間分割成一個個邊長為ε的n維立方體盒子，對于狀態(tài)空間的一個吸引子和一條落在吸引域中的軌道x（t），取時間間隔為一個很小的量τ，令P(i0,i1,….id)表示起始時刻系統(tǒng)軌道在第i0個格子中，t=τ在第i1個格子中，…，t=dτ在第id個格子中的聯(lián)

10、合概率，則Kolmogonov熵定義為：,kolmogorov熵,同樣，我們可以使用K值可判斷系統(tǒng)運動的性質：1、若K=0，表示系統(tǒng)做規(guī)則運動； 2、若K=∞，表示系統(tǒng)做隨機運動； 3、若K取有限正值，表示系統(tǒng)做混沌運動。,常見運動形態(tài)的特征量表,我們再給出幾種常見的運動形態(tài)的特征量，如下表：,混沌的直觀描述,設V是一個緊度量空間，連續(xù)映射f：V→V如果滿足下列三個條件：①對初值敏感依賴。存在б&

11、gt;0,對于任意的ε>0和x屬于V，在x的ε鄰域內存在y和自然數(shù)n，使得d(f?(x),f?(y))> б。②拓撲傳遞性。對于V上的任意一對開集X,Y, 存在k>0,使f?(X)∩Y≠Φ。③f的周期點集在V中稠密。 則稱f是在Devaney意義下V上的混沌映射或混沌運動。,Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器,選擇Logistic方程作為模型 只要給定合適的μ（大于3.5699）值，

12、 就能使產(chǎn)生的序列滿足混沌特性 。 我們選擇很接近的兩個初值0.3256和 0.3257，而μ取3.9，生成50×50的矩 陣，如下圖：,Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器,Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器,混合光學雙穩(wěn)模型產(chǎn)生的混沌序列,我們還可以選取混合光學雙穩(wěn)模型作為混沌序列的生成模型： 兩個參數(shù)A、xB，分別取4和2.5 ，賦給它不同的初值x0將得到不同的混沌序列,混沌時間序列

13、的判別方法,功率譜方法 Lyapunov指數(shù)法,功率譜方法,譜圖若具有單峰（或幾個峰），則對應于周期序列；若無明顯的峰值或峰值連成一片，則對應于湍流或混沌序列。 下圖是蟲口模型時間序列的功率譜密度。,功率譜方法,Lyapunov指數(shù)法,在Lyapunov指數(shù)λ＜0的方向，相體積收縮，運動穩(wěn)定，且對初始條件不敏感；在λ＞0的方向軌道迅速分離，長時間行為對初始條件敏感，運動呈混沌狀態(tài)；λ=0對應于穩(wěn)定邊界，屬于一種臨界情況。若