高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)-北京交通大學(xué)

1、導(dǎo)數(shù)、微分部分可選用例,北京郵電大學(xué)理學(xué)院張文博,影子的速度,張文博，孫洪祥,假設(shè)一盞路燈高度為 H，一個(gè)人從路燈下走過，他的身高為 h，假設(shè)他行走的速度是固定的，試考慮他在地面上的影子頭頂移動(dòng)的速度。,影子的速度,P,Q’,O,Q,P’,H,h,假定他行走的速度為 v ，且當(dāng) t = t0 時(shí)，P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (a, 0)，則影子頭頂?shù)奈恢?Q 的坐標(biāo)為,為討論這個(gè)問題，首先如圖所示建立坐標(biāo)系統(tǒng)。,影子的速度,P,Q’,O,Q,P’

2、,H,h,點(diǎn) Q 移動(dòng)到 Q’，Q’ 坐標(biāo)可求得為,如果 Dt 小時(shí)后，P 點(diǎn)移動(dòng)到 P’，則 P’ 的坐標(biāo)為,影子的速度,P,Q’,O,Q,P’,H,h,當(dāng) Dt → 0 時(shí)，若上式右端的極限存在，即可得任意一點(diǎn)處影子頭頂?shù)乃俣取?綜上，影子頭頂位置的平均速度就是,影子的速度,接下來的事情就是可以引入導(dǎo)數(shù)的定義了。,返回艙外殼材料選擇,張文博,2001年1月10日1時(shí)0分前，“神舟二號(hào)”飛船正與“長征2號(hào)F”運(yùn)載火箭對(duì)接。,2003年

3、1月5日晚7時(shí)許，“神舟”四號(hào)飛船順利回收。,返回艙外殼材料選擇,為對(duì)材料進(jìn)行選擇，假設(shè)工程師已經(jīng)確定了在任意給定的深度 x，溫度 u 在材料內(nèi)的分布（其中，溫度是無量綱化后的，0 ≤ u ≤ 1；深度也是無量綱化后的， 0 ≤ x ≤ 1），工程師需要確定溫度變化最快的位置。,工程師需要設(shè)計(jì)返回艙的材料，以適應(yīng)返回艙在進(jìn)入大氣層的時(shí)候強(qiáng)烈的高溫。然而，除了對(duì)材料本身要求耐高溫之外，對(duì)材料的韌性還有著重要的要求。,返回艙外殼材料選擇,然

4、而，這個(gè)平均值無法告訴我們?cè)邳c(diǎn) P 溫度的變化率。為此，考慮當(dāng) Q 點(diǎn)逐漸接近 P 點(diǎn)時(shí)，平均溫度變化的趨勢(shì)。,從圖中容易看出，在點(diǎn) P(0.5, 0.5) 處，函數(shù)的斜率是最大的。事實(shí)上，從下圖容易看出，從 Q 到 P 溫度的平均變化率為,返回艙外殼材料選擇,返回艙外殼材料選擇,接下來的事情就是可以引入導(dǎo)數(shù)的定義了。,滑雪中的數(shù)學(xué)問題,滑雪場通常是建在山坡上的，而且為保證滑雪者的安全，通常都對(duì)滑雪道的難度進(jìn)行了規(guī)定。例如根據(jù)滑雪者下坡

5、的角度不同，通常分為練習(xí)道、普通道和高級(jí)道。,如何在給定的山坡上建立滿足規(guī)定的滑雪道？,張文博,,滑雪中的數(shù)學(xué)問題,假定，如圖所示，整個(gè)山坡可以表示成為一個(gè)曲面 z = f (x, y)（函數(shù) z = f (x, y) 可微），且其在 xOy 坐標(biāo)系中的投影區(qū)域?yàn)?D；又假設(shè)滑道下降的坡度不超過 5 度。,,,,,這個(gè)問題等價(jià)于問，在山坡上，任意一個(gè)給定點(diǎn) (x, y) 處，沿什么方向走單位步長，函數(shù) z = f (x, y)下降的值