3.4連續(xù)方程

1、第三章 流體動力學基礎 (Fundamental of Fluid Dynamics),,,,,本章主要內(nèi)容：,3.1 流體運動的描述方法,3.1.1 Euler法（歐拉法）,基本思想：考察空間每一點上的物理量及其變化。所謂空間一點上的物理量是指占據(jù)該空間點的流體質(zhì)點的物理量。流體質(zhì)點和空間點是兩個完全不同的概念。獨立變量：空間點坐標 ， ，流體質(zhì)點運動的

2、加速度：,,質(zhì)點全導數(shù)：,質(zhì)點加速度：,,3.1.2 Lagrange法（拉格朗日法）,基本思想：跟蹤每個流體質(zhì)點的運動全過程，記錄它們在運動過程中的各物理量及其變化規(guī)律。,獨立變量：（a,b,c,t）——區(qū)分流體質(zhì)點的標志質(zhì)點物理量：,流體質(zhì)點的位置坐標：,速度：,流體質(zhì)點的加速度：,優(yōu)缺點：√ 直觀性強、物理概念明確、可以描述各質(zhì)點的時變過程 × 數(shù)學求解較為困難，一般問題研究中很少采用

3、,3.2 流動的類型,按照流體性質(zhì)劃分：,可壓縮流體的流動和不可壓縮流體的流動；理想流體的流動和粘性流體的流動； 牛頓流體的流動和非牛頓流體的流動；磁性流體的流動和非磁性流體的流動；,按照流動特征區(qū)分：,有旋流動和無旋流動；層流流動和紊流流動；定常流動和非定常流動； 超聲速流動和亞聲速流動；,按照流動空間區(qū)分：,內(nèi)部流動和外部流動；一維流動、二維流動和三維流動；,定常流動、非定常流動（steady and unsteady

4、 flow),流動是否定常與所選取的參考坐標系有關(guān)。,2. 一維流動、二維流動和三維流動,一維流動： 流動參數(shù)是一個坐標的函數(shù)；二維流動： 流動參數(shù)是兩個坐標的函數(shù)；三維流動： 流動參數(shù)是三個坐標的函數(shù)。對于工程實際問題，在滿足精度要求的情況下，將三維流動簡化為二維、甚至一維流動，可以使得求解過程盡可能簡化。,二維流動→一維流動,三維流動→二維流動,跡線 —— 流體質(zhì)點的運動軌跡線。屬拉格朗日法的研究內(nèi)容。

5、 給定速度場 ，流體質(zhì)點經(jīng)過時間 移動了距離 ，該質(zhì)點的跡線微分方程為起始時刻 時質(zhì)點的坐標 ，積分得該質(zhì)點的跡線方程。,1. 跡線和流線,流線 —— 速度場的矢量線。任一時刻t，曲線上每一點處的切向量 都與該點的速度向量 相切。流線微分方程：,流線的幾個性質(zhì)： 在定常流動中，流線不隨時間改

6、變其位置和形狀，流線和跡線重合。在非定常流動中，由于各空間點上速度隨時間變化，流線的形狀和位置是在不停地變化的。 流線不能彼此相交和折轉(zhuǎn)，只能平滑過渡。 流線密集的地方流體流動的速度大，流線稀疏的地方流動速度小。,跡線和流線的差別：跡線是同一流體質(zhì)點在不同時刻的位移曲線，與Lagrange觀點對應；流線是同一時刻、不同流體質(zhì)點速度向量的包絡線，與Euler觀點對應。,流管——在流場中作一不是流線的封閉周線C，過該周線上的

7、所有流線組成的管狀表面。流體不能穿過流管，流管就像真正的管子一樣將其內(nèi)外的流體分開。定常流動中，流管的形狀和位置不隨時間發(fā)生變化。流束——充滿流管的一束流體。微元流束——截面積無窮小的流束。 微元流束的極限是流線。微元流束和流線的差別：流束是一個物理概念，涉及流速、壓強、動量、能量、流量等等；流線是一個數(shù)學概念，只是某一瞬時流場中的一條光滑曲線。 總流——截面積有限大的流束。如河流、水渠、水管中的水流及風管中的氣流都是

8、總流。,2. 流管和流束,3. 緩變流和急變流,緩變流——流束內(nèi)流線的夾角很小、流線的曲率半徑很大，近乎平行直線的流動。否則即為急變流。流體在直管道內(nèi)的流動為緩變流，在管道截面積變化劇烈、流動方向發(fā)生改變的地方，如突擴管、突縮管、彎管、閥門等處的流動為急變流。,4. 有效截面 流量 平均流速,有效截面——在流束或者總流中，與所有流線都垂直的截面。,體積流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,流量——在單位時間內(nèi)流過有效截面積的

9、流體的量。,質(zhì)量流量（ ）：,體積流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,質(zhì)量流量（ ）：,平均流速——體積流量與有效截面積之比值。 一般地不加下標a，直接用 v 表示。,5.濕周 水力半徑 當量直徑,濕周——在總流的有效截面上，流體與固體壁面的接觸長度。水力半徑——總流的有效截面積A和濕周之比。 圓形截面管道的幾何直徑 非圓形截面管道的

10、當量直徑,矩形管道環(huán)形截面管道管束,3.4 系統(tǒng) 控制體 輸運公式,1. 系統(tǒng)（system）——由確定的流體質(zhì)點組成的流體團或流體體積V(t)。 系統(tǒng)邊界面S(t)在流體的運動過程中不斷發(fā)生變化。,2. 控制體(control volume)——相對于坐標系固定不變的空間體積V 。是為了研究問題方便而取定的。邊界面S 稱為控制面。,3. 輸運公式,系統(tǒng)和控制體,系統(tǒng)：邊界用虛線表示；控制體：邊界用實線表示。左

11、邊(a)圖對應著t時刻；右邊(b)圖對應t＋δt時刻。,N為系統(tǒng)在t時刻所具有的某種物理量（如質(zhì)量、動量和能量等）的總量; η表示單位質(zhì)量流體所具有的該種物理量。,t時刻流體系統(tǒng)所具有的某種物理量N對時間的變化率為,V ：系統(tǒng)在t時刻的體積； V’ ：系統(tǒng)在t＋δt時刻的體積。,即,時，有 。,如果用CV表示控制體的體積，則有,CS2為控制體表面上的出流面積；CS1為

12、流入控制體表面的入流面積。,整個控制體的面積,,輸運公式,或者,輸運公式的具體含義：任一瞬時系統(tǒng)內(nèi)物理量N （如質(zhì)量、動量和能量等）隨時間的變化率等于該瞬時其控制體內(nèi)物理量的變化率與通過控制體表面的凈通量之和。,對于定常流動：,當?shù)貙?shù)項,遷移導數(shù)項,流場的非穩(wěn)定性引起,流場的非均勻性引起,,,,,,或者,,3.5 連續(xù)性方程,輸運公式為,由質(zhì)量守恒定律：,積分形式的連續(xù)性方程：,方程含義：單位時間內(nèi)控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增量，等于通過

13、控制體表面的質(zhì)量的凈通量。,定常流動的積分形式的連續(xù)性方程：,應用于定常管流時：,A1，A2為管道上的任意兩個截面,截面A1上的質(zhì)量流量,截面A2上的質(zhì)量流量,,,和 分別表示兩個截面上的平均流速，并將截面取為有效截面：,對于不可壓縮流體：,一維定常流動積分形式的連續(xù)性方程,,方程表明：在定常管流中的任意有效截面上，流體的質(zhì)量流量等于常數(shù)。,,方程表明：對于不可壓縮流體的定常一維流動，在任意有效截面上體積流量等于常數(shù)。,在同一總流

14、上，流通截面積大的截面上流速小，在流通截面積小截面上流速大。,例3－3，例3－4,3.6 動量方程和動量矩方程,1. 動量方程,——用于工程實際中求解流體與固體之間的作用力和力矩,對上式應用質(zhì)點系的動量定理：作用于流體系統(tǒng)上的所有外力之和等于系統(tǒng)內(nèi)流體動量的變化率。,輸運公式為,η表示單位質(zhì)量流體具有的動量; N 為系統(tǒng)內(nèi)的流體具有的動量。,積分形式的動量方程：,質(zhì)量力,表面力,定常流動時：,應用于定常管流時，可以對方程進行簡化。

15、,為作用于控制體上的質(zhì)量力和表面力之和。,方程表明：在定常管流中，作用于管流控制體上的所有外力之和等于單位時間內(nèi)管子流出斷面上流出的動量和流入斷面上流入的動量之差。,用動量修正系數(shù) 來修正實際流速和平均流速計算的動量通量的差別:,,通常情況下，,,應用定常管流的動量方程求解時，需要注意以下問題： 動量方程是一個矢量方程，每一個量均具有方向性，必須根據(jù)建立 的坐標系判斷各個量在坐標系中的正負號。 根據(jù)問題的要

16、求正確地選擇控制體，選擇的控制體必須包含對所求作用力有影響的全部流體。 方程左端的作用力項包括作用于控制體內(nèi)流體上的所有外力，但不包括慣性力。 方程只涉及到兩個流入、流出截面上的流動參數(shù)，而不必顧及控制體內(nèi)是否有間斷面存在。 例題,定常管流投影形式的動量方程：,2. 動量矩方程,輸運公式為,,,η表示單位質(zhì)量流體的動量矩; N 為整個系統(tǒng)內(nèi)流體的動量矩。,,對上式應用質(zhì)點系的動量矩定理：流體系統(tǒng)內(nèi)流體動量矩的時間變化率等于

17、作用在系統(tǒng)上的所有外力矩的矢量和。,,積分形式的動量矩方程：,定常流動時：,,方程表明：在定常流動時，通過控制體表面流體動量矩的凈通量等于作用于控制體的所有外力矩的矢量和。,3. 葉輪機械的基本方程,動量矩方程可以表示為：,所有外力矩的矢量和,,離心泵葉輪內(nèi)的流動,取圖中虛線包容的體積為控制體：,（絕對速度）,（相對速度）,（牽連速度）,（法向分速度）,（切向分速度）,,為轉(zhuǎn)軸傳給 葉輪的力矩。,,,,,,力矩:,功率:,,渦輪機

18、械的基本方程:,,單位重量流體獲得的能量,,,3.7 能量方程,——用于工程實際中求解涉及到流體自身能量形式轉(zhuǎn)換 以及與外界有熱交換的流動問題,能量守恒定律：流體系統(tǒng)中能量隨時間的變化率等于作用于控制體上的表面力、系統(tǒng)內(nèi)流體受到的質(zhì)量力對系統(tǒng)內(nèi)流體所作的功和外界與系統(tǒng)交換的熱量之和。,,η表示單位質(zhì)量流體具有的能量; N 為系統(tǒng)內(nèi)流體具有的總能量。,輸運公式為,,能量守恒定律,質(zhì)量力功率,表面力功率,,,外界與系統(tǒng)單位時間

19、交換的熱量,一般形式的能量方程：,重力場中絕熱流動積分形式的能量方程：,將表面力分解為垂直于表面的法向應力,和相切于表面的切應力,,為流體的靜壓強; 為微元面積上外法線方向的單位矢量。,對于管道內(nèi)的一維流動：,,定常流動時：,,重力場中一維定常絕熱流動積分形式的能量方程：,,理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動的能量方程,,,1. 伯努利方程,對于氣體的一維定常絕能流動：,為單位質(zhì)量氣體的焓; 為單位質(zhì)量氣體的滯止焓。,對

20、于不可壓縮的理想流體，在與外界無熱交換的情況下，流動過程中流體的熱力學能將不發(fā)生變化，所以：,,,伯努利方程，1738年,方程的適用條件：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動時的一條流線或者一個微元流管上。,方程的物理意義：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動時，在同一流線的不同點上或者同一微元流束的不同截面上，單位重量流體的動能、位置勢能和壓強勢能之和等于常數(shù)。,方程的幾何意義：理想不可壓縮的重力流體作一維定常流動時，沿任意流線或者微

21、元流束，單位重量流體的速度水頭、位置水頭、壓強水頭之和為常數(shù)，即總水頭線為平行于基準面的水平線。,伯努利方程,（速度水頭）,（壓強水頭）,（位置水頭）,（總水頭）,對于平面流場：,,常數(shù),方程表明：沿流線速度和壓強的變化是相互制約的，流速高的點上壓強低，流速低的點上壓強高。,2. 伯努利方程在工程中的應用,2.1 皮托管 —— 測量流速,沿流線B – A 列伯努利方程：,,動壓管,工程實際中常將靜壓管和皮托管組合在一起，稱為皮

22、托－靜壓管或者動壓管。,原理：測量時將靜壓孔和總壓孔感受到的壓強分別和差壓計的兩個入口相連，在差壓計上可以讀出總壓和靜壓之差，從而求得被測點的流速。,2.2 文杜里流量計 —— 測量管道中的流量,結(jié)構(gòu)：收縮段＋喉部＋擴張段,測量原理：測量截面1和喉部截面2處的靜壓強差，根據(jù)測得的壓強差和已知的管子截面積，應用伯努里方程和連續(xù)性方程，就可以求得流量。,連續(xù)性方程：,伯努利方程：,聯(lián)立求解：,b--- 修正系數(shù)，實驗標定。,修正流

23、量：,實際測量多用此式,3.9 流線法線方向速度和壓強的變化,——了解過流斷面上流動參數(shù)的分布情況,,流線BB’ 上的M點處取一柱形的流體微團，其在流線方向上的運動速度為 。,根據(jù)牛頓第二定律：,,,,對于伯努里積分常數(shù)在所有流線上取同一數(shù)值的情況，有：,,,,C為沿流線法線方向的積分常數(shù)。,流體的流動速度和流線的曲率半徑有關(guān)，半徑增大流動速度減小，半徑減小，流動速度增大。,,在彎管的過流斷面上，流動速度在彎管的內(nèi)側(cè)速度大，外