五點共圓問題與clifford’s鏈定理北京師范大學張英伯2007

1、五點共圓問題 與 Clifford 鏈定理 北京師范大學 張英伯 2007年4月,,一、引子,在世紀之交的2000年5月，當時的國家主席江澤民視察澳門濠江中學，興致勃勃地出了一道“五點共圓”的幾何題。江澤民先生隨后給數(shù)學家和數(shù)學教育家張景中院士打電話征詢答案，并親函濠江中學參考。與此同時，濠江中學的四位數(shù)學老師也各自獨立地作出了解答。

2、我很敬佩濠江中學的這些老師們，他們的數(shù)學功底由此可見一斑。,,,這個圖形就是五點共圓問題。當時的表述是：給出一個不規(guī)則的五角星，做所得五個小三角形的外接圓，其中每相鄰的兩個圓交于兩個點，在所得五邊形五頂點外的點共有五個，證明這五點共圓。2003年春天，我去德國訪問。我的老板，代數(shù)學家 Claus Ringel 問我，你知道江問題嗎？我正在腦子里緊張地搜索江姓數(shù)學家的名單，老板得意地笑了，“哎呀呀，你們的國家主席呀！”,,Claus 剛

3、從倫敦開會回來，他說在倫敦的會議上，數(shù)學家們聊起了江澤民先生提出的五點共圓問題，覺得國家主席關注幾何學非常有趣。Claus 隨手在黑板上畫出了五點共圓問題的推廣。2006 年底，華東師范大學張奠宙先生在澳門組織的高級研討班邀請我去做報告，報告剛好在濠江中學舉行。濠江中學校方與我們會面時介紹了當年江澤民主席的視察。我一下子想起三年前與 Claus 的對話，就臨時改變報告題目，憑記憶談了廣義的五點共圓問題。,,回到學校，正趕上本科生準備畢

4、業(yè)論文，一個保送研究生的女孩兒希望讀代數(shù)方向的碩士，來我這里要題目，我說你試著找找五點共圓問題的推廣吧。感謝今天的互聯(lián)網，把這個世界所有的信息擺在了每一個人的面前。經過一個禮拜的搜索，女孩子終于找到了一位日本數(shù)學家岡潔的傳記，在傳記的最后一頁的最后一個腳注中，提到 Clifford 定理將五點共圓問題推廣到了任意的正整數(shù)。,,有了這個名字，事情便簡單多了。女孩馬上去搜索 Clifford 所有文章的目錄，找到了他關于這個問題的文章：

5、On Miquel’s theorem. 遺憾的是年代過于久遠，我們的北京圖書館，中科院圖書文獻中心都沒有收藏。再一次感謝互聯(lián)網，北圖很快通知我們文章在大英圖書館找到了，付錢之后就可以掃描過來。還是由于年代過于久遠，大英圖書館將刊有這篇文章的雜志收在一個鄉(xiāng)間的書庫。付過的錢被退了回來，原文的掃描和復印件都不能提供，原因無可奉告。,,因為沒有見到原文，我今天講的證明，基于 F. Morley 1900 年發(fā)表在美國數(shù)學會 Transac

6、tion 上的一篇文章 On the metric geometry of the plane n-line. Morley 也是英國人，幾何學家。在十九世紀下半葉和二十世紀初，許多歐美大數(shù)學家致力于建立歐幾里得幾何的公理化體系。希爾伯特用了三十年的時間，先后出版七稿，寫成了幾何基礎一書。,,十九世紀下半葉和二十世紀初，我國正處于清朝末年，尚未進入近代數(shù)學的研究領域。將數(shù)學基礎研究首先引入中國的是我國著名的數(shù)學家，我國近代數(shù)學教育的先

7、驅傅種孫先生。他在二十年代翻譯了希爾伯特的幾何基礎，傾其畢生精力在北京師范大學，師大附中教書，引進國外教材，培訓中學教師。正因為我國的近代數(shù)學研究起步較晚，對當時的一些研究領域比較陌生。,,當幾何基礎引起廣泛討論的時候，許多古老的幾何問題，比如與三角形相關的點，直線和圓的問題被發(fā)現(xiàn)并研究。 1838年，Miquel 證明了有關四圓共點的定理。一百三十六年前的1871年，在四圓共點的定理的基礎上，英國數(shù)學家 William King

8、don Clifford 建立了 Clifford 鏈定理，并在英國早期的一本雜志《Messenger of Mathematics》第五冊上發(fā)表了證明。 Clifford 本人因他提出的 Clifford 代數(shù)而聞名于數(shù)學界。,。,,Clifford 鏈定理是數(shù)學史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。19世紀末和20世紀初，許多歐美數(shù)學家都研究并論述過這個問題，一方面研究它的多種證明方法，一方面研究這些點圓和其他一些著名的點圓之間的

9、關系，還有人積極探索它的擴展，例如向高維情況的引伸。在歐美的許多深受歡迎的數(shù)學雜志上，不斷地發(fā)表與 Clifford 鏈定理相關的研究成果。,二、Clifford 鏈定理的表述,n=3,n=2,,任選平面內兩兩相交，且不共點的三條直線，則其中每兩條為一組可以確定一個點，共有三個點，那么這三個點確定一個圓。,任選平面內兩條相交直線，則這兩條直線確定一個點。,,n=4,,n=4,,任選平面內兩兩相交，且任意三條直線都不共點的四條直

10、線，則其中每三條為一組可以確定一個圓，共有四個這樣的圓，則這四個圓共點。此點被稱為 Wallace 點。,,n=5,,任取平面內兩兩相交，且任意三條直線都不共點的五條直線，則其中每四條作為一組可確定如上所述的一個 Wallace 點，共有五個這樣的點，那么這五個點共圓，此圓被稱為 Miquel 圓（即五點共圓問題）。,,n=6,,任取平面上兩兩相交的六條直線，且任意三條直線都不共點，則其中每五條為一組可以確定一個Mi

11、quel 圓，共有六個這樣的圓，則這六個圓共點。,,n=7,,任取平面內兩兩相交，且任意三條直線都不共點的七條直線，則其中每六條作為一組可確定如上所述的一個點，共有七個這樣的點，那么這七個點共圓。,一般地，,任取平面內兩兩相交，且任意三條直線都不共點的2n條直線，則其中每2n-1條直線可確定一個 Clifford 圓，共確定 2n 個圓， 那么這 2n 個圓交于一點，稱為 2n 條直線的Clifford 點； 任

12、取平面內兩兩相交，且任意三條直線都 不共點的 2n+1條直線，則其中每 2n 條直線可確定一個 Clifford 點，共確定 2n+1個點，那么這 2n+1 個點共圓，稱為 2n+1 條直線的 Clifford 圓。,三、直線方程,用平面幾何的方法歸納地證明 Clifford 定理幾乎是不可能的，我們已經看到 n=7 的情況圖形有多么復雜，實際上五點共圓問題已經夠復雜了。那么用平面解析幾何呢？用復平面呢？這樣就可以充分借助現(xiàn)代數(shù)學工具

13、。讓我們來試一試。現(xiàn)在考慮復平面 C, 建立原點，實軸和虛軸。,,用 分別表示兩個確定的復數(shù)，其中 的模為1，也就是說， 在單位圓上。其次，用 分別表示兩個復變量，其中 的模為1，也就是說 在單位圓上運動。,考察公式 當 在單位圓周上

14、運動時， 跑過原點 0 和點 連線的垂直平分線。,,事實上， 而 因為 和 的模都是1，故 另一方面，當 趨近于 時， 的模趨近于無窮大；并且 是 的連續(xù)函數(shù)。所以我們得到了一條直線。,,,從上述分析可以看出，直線與 的幅角的取值無關。我們不妨取利用單位圓周上的點作參數(shù)

15、，利用分子分母都是參數(shù)線性函數(shù)的分式表示一個圓或一條直線，是復變函數(shù)保角映射的一個特例。,,,四、特征常數(shù),如果我們有兩條直線： ， 則 . 兩式相減，得到兩條直 線的交點： . 記作 . 再設

16、 . 稱 為n=2時的特征常數(shù)。,,,,,,,,,如果我們有三條直線： 令上面的式子中，求和號表示對數(shù)組 (1 2 3) 進行輪換，分別取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 時的特征常數(shù)。,,,,,,建立一個圓方程，圓心在 ，半徑為 ：當

17、 時，當 時，當 時，所以我們的圓經過三條直線中每兩條的交點，這就是三點共圓。,,,,,,定義 4.1. 關于 n 條直線 的特征常數(shù) 定義為：引理4.2.,,,,,,證明：引理證畢。,,,特征常數(shù)有如下的共軛性質。取任意正整數(shù) n，令將 的復共軛記作

18、 ，令 ，則引理4.3.,,,,,,,,,引理4.4. 設 是 n 個變元的初等對稱多項式，記 的共軛元為 。 如果 n 個變元均取模為 1 的復數(shù)，則證明：設 ，則引理證畢。,,,,,,,,五、n=4 和 n=5 時的證明,設我們有四條直線根據第四節(jié)的討論，三條直線確

19、定的圓方程為：或其中 是一個變元的初等對稱多項式。根據引理4.2, 去掉四條直線中的第 條后的圓方程是：,,,,根據引理4.3,方程 是自共軛的，即它的共軛方程 與自身相等， 我們有：即 在單位圓上。又因為 的任意性，方程等價于：其中 是 n= 4 時的特征常數(shù)。則

20、 即是四條直線的 Clifford 點。,,,,,,,,,,,,,,當 n=5 時，我們有五條直線：去掉其中的任意一條，所得到的四條直線確定一個 Cliford 點。根據引理4.2，我們可以從n=5 時的特征常數(shù)得到 n=4 時的特征常數(shù)，比如去掉第 條直線，得方程：,,,因為 是一個變元的初等對稱多項式， 分別導出了兩個變元的初等對稱多項式

21、 和上述方程變?yōu)椋?根據引理4.3，第二個方程是自共軛的，保證了 t 在單位圓上。,,,,,,,,,,,從方程組中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）為未知數(shù)的線性方程組，Cramer 法則給出 x 和 t 應該滿足的關系：或 這就是五條直線的 Clifford 圓。,,,,六、Clifford 鏈定理,定理7.1. 2p 條直線的 Clifford

22、 點由下述行列式給出：而 2p+1 條直線的 Clifford 圓由下述方程確定：,,,證明： 設 p=1 在2x1 時得到兩條直線的交點：設 P=2 ， 是一個變元的初等對稱多項式。在 2x2-1 時得到三條直線的 Clifford 圓滿足的方程： 在2x2 的情況得到四條直線的 Clifford 點滿足的方程設p=3, 是兩個變元的初等對稱多項式。在2x3-1 時得到五條直線的 Cli

23、fford 圓方程：,,,,,現(xiàn)在設 2p-1條直線的 Clifford 圓滿足的方程是：其中 是 p-1個變元的初等對稱多項式。則該假設當 p=2，p=3 時都是正確的。我們來計算 2p 條直線的情況。,,,,根據引理4.2, 關于 2p-1 條直線的特征常數(shù)可以用關于 2p 條直線的特征常數(shù)去掉某條直線，例如第 條表示出來：,,,,由于 的任

24、意性，考察下述 p 個方程：其中第 1+i 與第 p-i+1 個方程是共軛的。為方便起見，我們僅驗證第 2 與第 p 個方程的共軛性。,,,,,,,記 是關于模為 1 的復數(shù) 的初等對稱多項式。則根據引理 4.3, 第二個方程的共軛方程為將兩端同乘以 ，根據引理 4.4 得：,,,,,,,,將第二個方

25、程的兩端同乘以 ，并顛倒次序，我們有方程：易見這兩個方程共軛， 故 ， 在單位圓上。將 2p 是的方程消去 ，即得所求公式，定理的第一部分證畢。,,,,,,,我們來考察 2p+1 的情況。根據引理 4.2, 2p 條直線的特征常數(shù)可以通過 2p+1 條直線的特征常數(shù)表示出來。故 2p 條直線的 Clifford 點滿足的方程誘導出下述 p

26、個方程：,,關于 p-1 個變元的初等對稱多項式與 誘導出 p 個變元的初等對稱多項式方程變?yōu)椋?,,,運用引理 4.3，與 2p 的情況類似可驗，方程組中的第 i+1 個方程與第 p+i+1 個方程是共軛的， t 在單位圓上。在關于 2p+1 的方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分證畢。Clifford 定理的正確性從數(shù)學歸納法得到。,,當然，特征常數(shù) a 需要

27、滿足一定的條件，使得直線兩兩相交，且沒有三條直線交于一點。下面列出的第二篇參考文獻就專門討論了這個問題。我教過多年的線性代數(shù)，從來沒有想到用矩陣，行列式和對稱多項式能夠如此巧妙地解決這樣復雜的平面幾何問題。當我讀到這篇文獻，不由地驚嘆數(shù)學家的智慧，數(shù)學的深刻與優(yōu)美。,,參考文獻F.Morley, On the metric geometry of the plane n-line, Trans.Am.Math.Soc.7,1900