數(shù)學建模講座-西安電子科技大學個人主頁系統(tǒng)我

1、數(shù)學建模講義,建模概論與初等模型,風洞中的飛機…,——物理模型,地圖、電路圖…,——符號模型,模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。,模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征.,我們常見的模型,什么是數(shù)學模型,一、數(shù)學建模概論,玩具、照片……,——實物模型,數(shù)學模型 (Mathematical Model)數(shù)學建模（Mathematical Modeling),數(shù)學建模指建立數(shù)學模型的全過

2、程?！Ｐ徒?、求解、分析、檢驗。,數(shù)學模型——對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內規(guī)律，作出必要的簡化假設，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結構。,數(shù)學建?！抢脭?shù)學方法解決實際問題的一種實踐過程. 即通過抽象、簡化、假設、引進變量等處理過程后, 將實際問題用數(shù)學方式表達，以建立起數(shù)學模型, 然后運用先進的數(shù)學方法及計算機技術進行求解.,觀點：“所謂高科技就是一種數(shù)學技術”,數(shù)量關系,1. 解釋——孟德爾遺傳定

3、律的“3:1”,數(shù)學建模三大功能——解釋, 判斷, 預見,美國原子能委員會提出如下處理濃縮放射性廢物：封裝入密封性很好的堅固的圓桶中，沉入300ft的海里，而一些工程師提出質疑？需要判斷方案的合理性。,2.判斷——放射性廢物處理,3.預見——谷神星的發(fā)現(xiàn),行星的軌道半徑,水、金、地、火、木、土,1781年, 利用這個結果發(fā)現(xiàn)了天王星, 1802年，發(fā)現(xiàn)了谷神星與3對應(有故事)，之后還發(fā)現(xiàn)了海王星、冥王星。,,,你碰到過的數(shù)學模型——航

4、行問題,用x表示船速，y表示水速，列出方程：,求解得到 x=20, y=5,,答：船速每小時20公里.,甲乙兩地相距750公里，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少？,航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟,作出簡化假設(船速、水速為常數(shù), 方向一致);,用符號表示有關量(x, y表示船速和水速)；,用物理定律(勻速運動的距離等于速度乘以 時間)列出數(shù)學式子(二元一次方程)；,求解得到數(shù)學解答（x=20,

5、 y=5）；,回答原問題（船速每小時20公里）。,錄象機計數(shù)器的用途,問題,經試驗，一盤錄像帶從頭走到尾，時間用了183分30秒，計數(shù)器讀數(shù)從0000變到6152。在一次使用中錄像帶已經轉過大半，計數(shù)器讀數(shù)為4580，問剩下的一段還能否錄下1小時的節(jié)目？,要求,不僅僅回答問題, 而且建立計數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉過時間的關系——一個數(shù)學模型!,思考,本題中計數(shù)器讀數(shù)是均勻增長的嗎？,日常問題：常見的錄音機的轉軸轉動是勻速的嗎?,問 題 分

6、析,錄象機計數(shù)器的工作原理,錄象帶運動,觀察或分析:,計數(shù)器讀數(shù)增長越來越慢！,模 型 假 設,錄象帶的運動速度是常數(shù) v ；,計數(shù)器讀數(shù) n與右輪轉數(shù) m成正比，記 m=kn；,錄象帶厚度(含夾在兩圈間的空隙)為常數(shù) w；,空右輪盤半徑記作 r ；,時間 t=0 時讀數(shù) n=0 .,建 模 目 的,建立時間t與讀數(shù)n之間的關系,(設v，k ，w ，r 為已知參數(shù)),模 型 建 立,建立t與n的函數(shù)關系有多種方法:,1. 右輪盤轉過第

7、i 圈的半徑為r+wi, m圈的總長度 等于錄象帶在時間t內移動的長度vt, 所以,,模 型 建 立,2. 考察右輪盤面積的變化,等于錄象帶厚度乘以轉過的長度,即,3. 考察t到t+dt錄象帶在右輪盤纏繞的長度,有,思 考,1. 3種建模方法得到同一結果,2.模型中有待定參數(shù),確定參數(shù)的一種辦法是測量或調查，試設計測量方法——參數(shù)估計.,參 數(shù) 估 計,將模型改記作,只需估計,理論上，已知t=183.5, n=6152, 再有一

8、組(t, n)數(shù)據(jù)即可；,實際上, 由于測試有誤差, 最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合。,若現(xiàn)有一批測試數(shù)據(jù)：,用最小二乘法可得,模 型 檢 驗,應該另外測試一批數(shù)據(jù)檢驗模型：,模 型 應 用,回答提出的問題：由模型算得 n = 4580 時 t = 118.5分, 剩下的錄象帶能錄 183.5-118.5 = 65分鐘的節(jié)目，可以錄制60分鐘的節(jié)目。,2. 揭示了“t 與 n 之間呈二次函數(shù)關系”這一普遍規(guī) 律，當錄象帶的狀態(tài)改變時，

9、只需重新估計 a, b 即可。,基本方法,機理分析,測試分析,根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內部機理的數(shù)量規(guī)律。,將研究對象看作“黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型,二者結合,機理分析建立模型結構,測試分析確定模型參數(shù),數(shù)學建模的方法和步驟,機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究(Case Studies)來學習.以下建模主要指機理分析.,數(shù) 學 建 模 的 一 般 步 驟,數(shù)學模型的分類： ◆ 按研究

10、方法和對象的數(shù)學特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型等。 ◆ 按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。,為了便于學習掌握，可對數(shù)學模型做適當?shù)姆诸悾?數(shù) 學 建 模 的 重 要 意 義,電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展,數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領域滲透,數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實

11、際問題的第一步，越來越受到人們的重視。,數(shù)學建模,計算機技術,知識經濟,四、近幾年全國大學生數(shù)學建模競賽題,,,怎 樣 學 習 數(shù) 學 建 模,數(shù)學建模與其說是一門技術，不如說是一門藝術!,技術大致有章可循,藝術無法歸納成普遍適用的準則,想象力,洞察力,判斷力,學習、分析、評價、改進別人作過的模型,親自動手，認真作幾個實際題目,創(chuàng)新意識,數(shù)學建模的論文結構,1、摘要——問題、模型、方法、結果,2、問題重述,4、分析與建立模型,5、模型

12、求解,6、模型檢驗,7、模型推廣,8、參考文獻,9、附錄,3、模型假設,謝 謝 ！,例1 哥尼斯堡七橋問題符號表示?“一筆畫問題”(抽象分析法)游戲問題?圖論(創(chuàng)始人歐拉)完美的回答?連通圖中至多兩結點的度數(shù)為奇數(shù)，則該圖可一筆畫.,二、初等模型,,,,,(1111),(1110),(1010),(1011),(1101),(0000),(0001),(0101),(0100),(0010),例2 人狗雞米過河問題,模型表示

13、：建立(人,狗,雞,米)的4維0/1向量;,是一個簡單的游戲，但可以建立經典計算機編程求解。,如:(1,0,1,0)——表示狗、米已過河, 人、雞沒有等;,可取狀態(tài)：24－6＝10種,可取過河方式：4種——(1100) (1010) (1001) (1000),運算方式：——按位異或運算(xor),例：一次運算過程,?,(0011) (0101) (0110) (0111),XOXX,圖論解法：,,示例3 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎?

14、,模型假設,模型構成,椅腳連線為正方形ABCD(如右圖).t ——椅子繞中心點O旋轉角度,f(t)——A,C兩腳與地面距離之和g(t)——B,D兩腳與地面距離之和,f(t), g(t) 0,1. 椅子四條腿一樣長，椅腳與地面接觸處可視為一個點，四腳的連線呈正方形;2. 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會出現(xiàn)間斷(沒有像臺階那樣的情況)，即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面;3. 對于椅腳的間距和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的

15、，使椅子的任何位置至少有三只腳同時著地。,,,模型構成,由假設1，f和g都是連續(xù)函數(shù),由假設3，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地：對任意t ，f(t)和g(t)中至少有一個為0。當t=0時,不妨設g(t)=0, f(t)>0, 原題歸結為證明如下的數(shù)學命題：,已知f(t)和g(t)是t的連續(xù)函數(shù),對任意t, f(t) ?g(t)=0,且g(0)=0,f(0)>0。則存在t0，使f(t0)= g(t0)=0,模型求解,最后，

16、因為f(t) ?g(t)=0，所以f(t0)= g(t0)=0。,令h(t)= f(t)-g(t),則h(0)>0和h( ) <0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)。根據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質,必存在t0 （0<t0< ),使h(t0 )=0，即f(t0)= g(t0)。,將椅子旋轉90º,對角線AC與BD互換. 由g(0)=0,f(0)>0可知g( )>0,f( )=0,方

17、法總結,1) 一個變量t表示位置；引入距離函數(shù)(只設兩個)；證明技巧——轉動90度。,模型推廣,1) 若對象是4條腿同長的長方形桌子，結果怎樣？,2) 某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一路徑上山，下午5時到達山頂并留宿。次日早8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中的同一時刻經過路徑中的同一地點，為什么？(數(shù)學解法、巧妙的形象解法),建模示例4 商人們怎樣安全過河,問題(智力游戲),隨從們密約, 在河的任一岸, 一

18、旦隨從的人數(shù)比商人多, 就殺人越貨.,但是乘船渡河的方案由商人決定.商人們怎樣才能安全過河?,問題分析,多步決策過程,決策—— 每一步(A到B或B到A)船上的人員,要求——在安全的前提下(兩岸的隨從數(shù)不比商人多),經有限步使全體人員過河!,模型構成,xk~第k次渡河前A岸的商人數(shù),yk~第k次渡河前A岸的隨從數(shù),xk, yk=0,1,2,3; k=1,2,?,sk=(xk , yk)~過程的狀態(tài),S={(x , y)? x=0, y=

19、0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2},S ~ 允許狀態(tài)集合,uk~第k次渡船上的商人數(shù),vk~第k次渡船上的隨從數(shù),dk=(uk , vk)~決策,D={(u , v)? u+v=1, 2} ~允許決策集合,uk, vk=0,1,2; k=1,2,?,sk+1=sk+(-1)k dk,——狀態(tài)轉移律,求dk?D(k=1,2, ?n), 使sk?S按轉移律由s1=(3,3)到達sn+1=(0,0).,,多步決

20、策問題,模型求解,窮舉法 ~ 編程上機,圖解法,狀態(tài)s=(x,y) ~ 16個格點,允許決策D ~ 移動1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移.,s1,sn+1,,d1, ?d11給出安全渡河方案,,評注和思考,規(guī)格化方法, 易于推廣,考慮4名商人各帶一隨從的情況,允許狀態(tài)S,S={(x , y)? x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2},D={(u , v)? u+v=1, 2},建模示例

21、5 報童的訣竅！,問題: 報童每天清晨從報社購進報紙零售，晚上將沒有賣掉的報紙退回。設報紙每份的購進價為b，零售價為a，退回價為c。請為該報童籌劃一下，他應如何確定每天購進報紙的數(shù)量，以獲得最大收入？,假設和分析:,1. 設a>b>c, 且一般地a-b>b-c;,2. 需求量是隨機的，但是有規(guī)律, 可以通過市場調查和經驗統(tǒng)計其規(guī)律，比如在其銷售范圍內每天報紙需求量為r的概率是f(r) (r=0, 1, 2, …..

22、)——一個概率分布;,3. 若設其購進n份報紙，每天報童的銷售凈收益是隨機的! 于是討論其平均凈收益G(n)(期望收益), 如下,平均凈收益G(n)(期望收益)：,問題轉化為：,模型建立——一個離散概率模型：最大化期望收益,模型求解,求導等技巧直接不能用！,《數(shù)學模型》, 姜啟源編——P273：將離散量r看成連續(xù)量，這時上面的求和可改為積分，進一步就可以求導(利用變限積分函數(shù)求導法則)，尋找其極值點！,下面給出另一種不同的方法！,分析G

23、(n)的改變量△G(n)=G(n)- G(n-1)：,相當于求G(n)的穩(wěn)定點！,相當于球G(n)的穩(wěn)定點！,結論：最優(yōu)決策n滿足使需求量不超過n的概率和需求量超過n的概率之比接近(a-b)/(b-c)！或需求量不超過n的概率為(a-b)/(a-c)——賺賠比,,相識問題設有n個人參加一個宴會，已知沒有人認識所有的人，問是否有兩個人，他們認識的人一樣多？,簡例,棋子顏色的變化問題任意取黑白兩種顏色的棋子8個，排成一個圓圈，然

24、后在兩顆同色棋子間放一個白棋子，異色棋子間放一個黑棋子，拿去原來的棋子。多次重復該過程后，棋子顏色會如何變化？ (數(shù)目不是8而是任意自然數(shù)n時如何?),,找關鍵量....,1、某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，每天下班后乘火車于6時抵達T市車站，他的妻子駕車準時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5:30抵T市車站，隨即步行回家，他的妻子像往常一樣駕車前來，在路上遇到他接回家時，發(fā)現(xiàn)比往常提前了10分鐘，問他步行了多長時間？,假