第二章謂詞邏輯

1、第二章 謂詞邏輯,著名的蘇格拉底邏輯三段論：所有的人總是要死的。蘇格拉底是人，所以蘇格拉底是要死的。從命題邏輯的觀點來看，三個命題都是原子命題，它們的前提和結論之間沒有聯結詞，我們無法用命題邏輯的方法來說明上述推理的正確性。,2. 6. 謂詞邏輯的推理理論,謂詞邏輯中的推理形式，與命題邏輯的情形類似，只不過涉及的公式是謂詞邏輯的公式。因此命題邏輯推理形式的規(guī)則也適用于謂詞邏輯的推理形式。在謂詞邏輯中，某些前提和結論可能受到

2、量詞的約束，因此謂詞邏輯的推理形式具有關于量詞的規(guī)則。,全稱量詞消去規(guī)則 (簡稱 US規(guī)則)有以下兩種形式：(?x)A(x) ? A(y)(?x)A(x) ? A(c)US規(guī)則成立的條件是：（1）x是A(x)中自由出現的個體變元。（2）y為任意不在A(x)中約束出現的個體變元。（3）c為任意的個體常元。,全稱量詞引人規(guī)則 (簡稱 UG規(guī)則)A(y) ? (?x)A(x) UG規(guī)則成立的條件是：(1) y在A(y)

3、中自由出現，且 y取任何值時A(y)都成立。(2) 取代 y的 x不能在A(y)中約束出現過。,存在量詞消去規(guī)則 (簡稱 ES規(guī)則)(?x)A(x) ? A(c)ES規(guī)則成立的條件：(1) c是使A(x)為真的個體常元。(2) c在A(x)中沒有出現過。在形式證明中還要求c在以前步驟中也沒有出現過。(3) A(x)中除x外還有其他自由出現的個體變元時，不能用此規(guī)則。,例2.6.3 設個體域D為實數集，L(x, y)為 x

4、 < y，則是(?x) (?y)L(x, y)真命題，而(?x)L(x, c)是假命題 (1) (?x) (?y)L(x, y) P(2) (?y)L(u, y) US(3) L(u, c) (錯誤使用ES規(guī)則)(4) (?x)L(x, c) UG,存在量詞引入規(guī)則 (簡稱 EG規(guī)則

5、)A(c) ? (?x)A(x) EG規(guī)則成立的條件是：(1) c是個體常元。(2) 取代c的x在A(c)中沒有出現過。,例 2.6.5 證明蘇格拉底三段論“凡人都是會死的，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底會死”。證明 首先將命題符號化：F(x)：x是人，G(x)：x是會死的，s：蘇格拉底前提：(?x)(F(x)?G(x)), F(s) 。結論：G(s) 。 (1) (?x)(F(x)?G(x))

6、 P (2) F(s)?G(s) US (3) F(s) P (4) G(s) T(2), (3), I,,,例 證明：P→(Q→S), P∨¬R, Q ? R→S證. 用CP規(guī)則。

7、 (1) P∨¬R P (2) R P (附加前提) (3) P T (1), (2) (4) P→(Q→S) P

8、 (5) Q→S T (3), (4) (6) Q P (7) S T (8) R→S CP,例2.6.6 某團體中所有成員都是球迷，該團體中某些成員是專家，凡專家都是聰明的，

9、聰明的球迷都是運動員。因此，該團體中某些成員是運動員。證明 首先將命題符號化：A(x)：x是團體的成員， B(x)：x是球迷，C(x)：x是專家，D(x)：x是聰明的，E(x)：x是運動員。前提：(?x)(A(x)→B(x))，(?x)(A(x)∧C(x))， (?x)(C(x)→D(x))，(?x)(B(x)∧D(x) →E(x)) 。結論： (?x)(A(x)∧E(x)) 。,(1) (?x)(A(x)

10、∧C(x)) P(2) A(c)∧C(c) ES(3) (?x)(C(x)→D(x)) P(4) C(c)→D(c) US(5) C(c)

11、 T(2), I(6) D(c) T(4), (5), I(7) (?x)(A(x)→B(x)) P(8) A(c)→B(c) US(9) A(c)

12、 T(2), I,(10) B(c) T(8), (9), I(11) B(c)∧D(c) T(6), (10), I(12) (?x)(B(x)∧D(x) →E(x)) P(1

13、3) B(c)∧D(c) →E(c) US (14) E(c) T(11), (13), I(15) A(c)∧C(c) T(6), (10), I(16) (?x)(A(x)∧E(x))