自動控制系統(tǒng)的根軌跡

1、第4章 自動控制系統(tǒng)的根軌跡,§4.1 根軌跡概念§4.2 根軌跡增益及根軌跡方程§4.3 根軌跡繪制的基本法制§4.4 使用MATLAB繪制根軌跡§4.5 根軌跡與系統(tǒng)性能的關(guān)系§4.6 廣義根軌跡,根軌跡概念,根軌跡(Root Locus)描述的是一個系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無窮時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在Ｓ平面內(nèi)變化的軌跡 根軌跡法

2、是歐文斯（W. R. Evans）于1948年在“控制系統(tǒng)的圖解分析”一文中提出的，它是一種求解閉環(huán)特征方程根的圖解方法,根軌跡增益,控制系統(tǒng)的一般框圖如下圖所示：,不失一般性，很容易得到其開環(huán)傳遞函數(shù)為：,,上式中， 被稱為根軌跡增益(Root Locus Gain),根軌跡方程,根軌跡方程包括兩部分，分別為幅值方程和相角方程,幅值方程,相角方程,,,根軌跡繪制的基本法則,法則一,根軌跡的起點是開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，根軌跡的終點是

3、開環(huán)傳遞函數(shù)的零點,法則二,根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零點數(shù)m和有限極點數(shù)n中的大者相等，它們是連續(xù)的并且對稱于實軸,法則三,實軸上的根軌跡右側(cè)的極點和零點數(shù)之和為奇數(shù),法則四,趨向無窮遠的根軌跡的漸進線與實軸的夾角為：,,根軌跡的漸進線與實軸的交點坐標(biāo)為：,,法則五,實軸上根軌跡的分離點與分離角。兩條或兩條以上根軌跡分支點在S平面上相遇又立即分開的點，稱為分離點，分離點的坐標(biāo)d是下列方程的解：,,式中， 為各開環(huán)零點的數(shù)值；

4、 為各開環(huán)極點的數(shù)值,,,這些根軌跡在分離點上的分離角為：,,式中， 為進入并立即離開分離點的根軌跡條數(shù),,法則六,根軌跡離開復(fù)數(shù)極點處的切線與正實軸的夾角，稱為起始角，以 標(biāo)志；根軌跡進入開環(huán)復(fù)數(shù)零點處的切線與正實軸的夾角稱為終止角，以 表示。這些角度可按照如下的關(guān)系求出：,,及,,法則七,條件穩(wěn)定系統(tǒng)的根軌跡與虛軸相交，其交點滿足：,條件穩(wěn)定系統(tǒng)是指某個參數(shù)或某些參數(shù)在一定范圍內(nèi)時閉環(huán)穩(wěn)定，超出范圍時閉環(huán)

5、不穩(wěn)定的系統(tǒng)。在這里則理解為增益在某些范圍內(nèi)使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則就使閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,若根軌跡與虛軸相交，則交點上的根軌跡增益 值和 值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的 ，然后分別令其實部和虛部為零求得,,,法則八,當(dāng) 時，無論 取何值，開環(huán) 個極點之和總是等于閉環(huán)特征方程 個根之和,,使用MATLAB繪制根軌跡,1、求系統(tǒng)

6、根軌跡的函數(shù),函數(shù)主要用于繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的根軌跡圖；而 函數(shù)則可用來同時在一個圖上繪制多個系統(tǒng)的根軌跡圖,函數(shù)的調(diào)用格式：,（1） --用來繪制單輸入單輸出系統(tǒng)的根軌跡圖，其中 為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),（2） --使用用戶指定的增益“ ”來繪制根軌跡,（3）

7、 或 --返回給定增益 處的復(fù)根矩陣 ，但不直接繪制出零極點圖,舉例,設(shè)一負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：,使用MATLAB繪制上述系統(tǒng)根軌跡圖。,解：程序如下：,num=[1 1];den=conv([1 0],conv([2 1], conv([1 3],conv([1 5],[1 3 6])))); s=tf(num,den);rlocus(s);se

8、t(gca,’xlim’,[-10 0]); grid;,結(jié)果如下圖所示,2、求系統(tǒng)根軌跡的函數(shù),函數(shù)主要用來確定給定極點時的根軌跡增益。該函數(shù)有兩種形式：,,--主要用于交互方式的根軌跡顯示，當(dāng)該函數(shù)運行后， 會在圖形窗口中顯示一個十字光標(biāo)，用于選擇現(xiàn)有根軌跡極點的位置，一旦選定后，它會將該點的根軌跡返回給句柄“ ”，同時，與該增益有關(guān)的所有系統(tǒng)極點也返回給“ ”,,,會提取給定極

9、點位置的“ ”矢量，然后，對于每一個這些位置計算其根軌跡增益，也即其中一個閉環(huán)極點與給定位置很接近的增益,,舉例,設(shè)有一負(fù)反饋系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：,,當(dāng)系統(tǒng)零點 時，試確定閉環(huán)極點均為負(fù)實數(shù)時的開環(huán)增益 的范圍。,,,解：首先使用MATLAB繪制該系統(tǒng)的根軌跡圖，根據(jù)題意，本題選用MATLAB中的 來求出純負(fù)實數(shù)極點時的開環(huán)增益“ ”的范圍，具體程序如下：

10、,,,num=[1 1];den=conv([1 0 0],[0.1 1]);s=tf(num,den);rlocus(s);[k,poles]=rlocfind(s);,結(jié)果如下圖所示：,根據(jù)題意，當(dāng)鼠標(biāo)在“A”、“B”兩點之間移動時，可以顯示出該處的根軌跡增益及其他的相關(guān)數(shù)據(jù)，因此，從所顯示的增益值，得知系統(tǒng)極點均為負(fù)實數(shù)時的增益范圍約為：,,3、 零極點分布圖函數(shù),該函數(shù)的功能就是將系統(tǒng)的零極點分布圖畫出來,如把上例的程序

11、改寫成如下形式：,num=[1 1];den=conv([1 0 0],[0.1 1]);s=tf(num,den);pzmap(s);,得到的系統(tǒng)零極點分布圖如下圖所示,根軌跡設(shè)計工具,系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖,圖中的被控對象可以是由函數(shù) 中任何一個函數(shù)建立的 對象模型,,,調(diào)用格式：,--用于設(shè)定補償環(huán)節(jié)的初始值，補償環(huán)節(jié)也可以是由函數(shù)

12、 中任何一個函數(shù)建立的 對象模型,,,,--制定一個可替換的補償環(huán)節(jié)的位置，其反饋信號含義如下：,,--在前向通道設(shè)置補償環(huán)節(jié),,--在反饋通道設(shè)置補償環(huán)節(jié),,--負(fù)反饋,--正反饋,,,舉例,設(shè)需要設(shè)計的系統(tǒng)為：,,具體命令如下：,num=[1 1];den=conv([1 0 0],[0.1 1]);s=tf(num,den);rltool(s);,當(dāng)輸入下列命令，并運行函數(shù)

13、 后，就可以看到如下圖所示的畫面,,根軌跡與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系,一般而言，從根軌跡圖中可以看出，系統(tǒng)的整個根軌跡圖均位于虛軸的左邊，則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，如有一部分根軌跡圖位于虛軸的右邊，則系統(tǒng)存在著臨界增益，當(dāng)根軌跡增益大于此臨界增益時，系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定 此外，如果根軌跡圖距離虛軸越遠，則系統(tǒng)的穩(wěn)定性就越好，系統(tǒng)的衰減也就越快。如果系統(tǒng)零點離虛軸越遠，動態(tài)響應(yīng)越慢，離虛軸越近，動態(tài)相應(yīng)越快,利用根軌跡設(shè)計控制系

14、統(tǒng),使用根軌跡法進行系統(tǒng)的設(shè)計，是通過在系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中，以增加零極點或者調(diào)整零極點的方式，達到改變系統(tǒng)根軌跡形狀的目的，從而使得系統(tǒng)的根軌跡通過所希望的極點位置。因此，采用這一方法的特征就是基于閉環(huán)系統(tǒng)具有一對主導(dǎo)閉環(huán)極點，以簡化所設(shè)計的系統(tǒng),零度根軌跡,與常規(guī)根軌跡相比，零度根軌跡法則應(yīng)調(diào)整以下三項：,法則三,實軸上根軌跡右側(cè)的極點和零點數(shù)之和為偶數(shù)。,法則四,根軌跡的漸進線與實軸的交點坐標(biāo)為,,法則六,根軌跡的起始角和終止角應(yīng)改