控制系統(tǒng)的根軌跡分析自動控制原理-理論篇第5節(jié)

1、控制系統(tǒng)的根軌跡分析——《自動控制原理-理論篇》第5.5節(jié),自動化工程學院自動控制原理課程組制,2015年11月,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性閉環(huán)特征根在左半平面則穩(wěn)定；閉環(huán)特征根在右半平面則不穩(wěn)定；閉環(huán)特征根在虛軸上則臨界振蕩（無阻尼）；一組閉環(huán)特征根如果有在右半平面的不穩(wěn)定值，則呈現(xiàn)不穩(wěn)定特性；如果沒有在右半平面的根，但是有在虛軸上的根，則呈現(xiàn)臨界振蕩特性。。,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖定性分析系統(tǒng)的動態(tài)特性

2、穩(wěn)定的閉環(huán)特征根在實軸上則過阻尼（非周期特性） ；穩(wěn)定的閉環(huán)特征根在復平面（有虛部）上則欠阻尼（衰減振蕩） ；,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖定性分析系統(tǒng)的動態(tài)特性一組閉環(huán)特征根皆穩(wěn)定——如果有主導極點，按主導極點特性分析系統(tǒng)；如果主導極點不明顯，則可認為是若干個特征根特性的總和，即如果衰減振蕩和非周期特性同時存在，可以定性認為呈衰減振蕩趨勢。,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖定量估算系統(tǒng)動態(tài)性能可以根據(jù)確定的主導極點，定性估算系統(tǒng)的

3、動態(tài)性能；反之，如果根據(jù)動態(tài)性能的要求，在根軌跡圖上可以確定主導極點的位置，進而確定系統(tǒng)相關參數(shù)。,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖定量估算系統(tǒng)動態(tài)性能以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為欠阻尼時共軛特征根為,閉環(huán)極點的張角 為：,稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。而根據(jù)二階系統(tǒng)性能，在等阻尼線上，系統(tǒng)的超調量、衰減率也是相等的。,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖定量估算系統(tǒng)動態(tài)性能以二階系統(tǒng)為例：開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為

4、欠阻尼時共軛特征根為,閉環(huán)極點的張角 為：,稱為阻尼角。斜線稱為等阻尼線。而根據(jù)二階系統(tǒng)性能，在等阻尼線上，系統(tǒng)的超調量、衰減率也是相等的。,根軌跡圖分析,根據(jù)根軌跡圖定量估算系統(tǒng)動態(tài)性能同理對于二階系統(tǒng)相同調整時間ts、振蕩周期ωd分別對應于根平面上垂直于實軸和平行于實軸的線。,同樣可適用于具有主導極點的高階系統(tǒng)。,解：首先畫出根軌跡如右。由圖可以看出：根軌跡與虛軸的交點為+j5,-j5，這時的臨界增益 當

5、 時，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。,單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：若要求閉環(huán)單位階躍響應的最大超調量 ，試確定 。,例：,當 時近似取解得阻尼比：,在根軌跡圖上過原點，在第二和第三象限畫兩條與實軸夾角為 的直線，與根軌跡交與A、B兩點。 則A、B兩點就是閉環(huán)共軛主導極點，這時系統(tǒng)的超調量≤18%。,由,,則阻尼角,

6、由于閉環(huán)極點之和等于開環(huán)極點之和，所以另一個閉環(huán)極點為：,閉環(huán)單位階躍響應,開環(huán)零極點對根軌跡的影響,,開環(huán)零極點對根軌跡的影響,增加開環(huán)極點：增加的極點將對原根軌跡產(chǎn)生排斥作用，使原根軌跡向背離所增極點的方向變形。,開環(huán)零極點對根軌跡的影響,增加開環(huán)極點：增加的極點將對原根軌跡產(chǎn)生排斥作用，使原根軌跡向背離所增極點的方向變形。增加開環(huán)零點：增加的零點將對原根軌跡產(chǎn)生吸引作用，使原根軌跡變形。,開環(huán)零極點對根軌跡的影響,移動開環(huán)