鎖相環(huán)路的基本工作原理

1、第1章 鎖相環(huán)路的基本工作原理,第1節(jié) 鎖定與跟蹤的概念第2節(jié) 環(huán)路組成第3節(jié) 環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程第4節(jié) 一階鎖相環(huán)路的捕獲、鎖定與失鎖,第1節(jié) 鎖定與跟蹤的概念,鎖相環(huán)路(PLL)是一個(gè)相位跟蹤系統(tǒng),方框表示如圖1-1(a)。設(shè)輸入信號(hào),(1-1),圖1-1 相位跟蹤系統(tǒng)框圖,式中Ui是輸入信號(hào)的幅度； ωi是載波角頻率； θi(t)是以載波相位ωit為參考的瞬時(shí)

2、相位。 若輸入信號(hào)是未調(diào)載波,θi(t)即為常數(shù),是ui(t)的初始相位；若輸入信號(hào)是角調(diào)制信號(hào)(包括調(diào)頻調(diào)相),θi(t)即為時(shí)間的函數(shù)。設(shè)輸出信號(hào),(1-2),式中Uo是輸出信號(hào)的幅度； ωo是環(huán)內(nèi)被控振蕩器的自由振蕩角頻率,它是環(huán)路的一個(gè)重要參數(shù)； θo(t)是以自由振蕩的載波相位ωot為參考的瞬時(shí)相位,在未受控制以前它是常數(shù),在輸入信號(hào)的控制之下,θo(t)

3、即為時(shí)間的函數(shù)。,圖1-2(a)所示。從圖上可以得到兩個(gè)信號(hào)的瞬時(shí)相位之差,(1-3),前面已經(jīng)說(shuō)到,被控振蕩器的自由振蕩角頻率ωo是系統(tǒng)的一個(gè)重要參數(shù),它的載波相位ωot可以作為一個(gè)參考相位。這樣一來(lái),輸入信號(hào)的*瞬時(shí)相位可以改寫(xiě)為,(1-4),(1-5),為輸入信號(hào)頻率與環(huán)路自由振蕩頻率之差,稱(chēng)為環(huán)路的固有頻差。 再令,(1-6),為輸入信號(hào)以ωot為參考的瞬時(shí)相位,因此,(1-4)式可以改寫(xiě)為,同理,

4、輸出信號(hào)的瞬時(shí)相位可以改寫(xiě)為,(1-7),(1-8),(1-9),式中θ2(t)也是以ωot為參考的輸出瞬時(shí)相位。利用(1-6)式*和(1-9)式可表示輸入和輸出信號(hào)的相位。由于有了共同的參考,就很便于比較。將(1-6)式和(1-9)式代入(1-3)式,得到環(huán)路的瞬時(shí)相位差,(1-10),應(yīng)用上述描述方法,矢量圖可以畫(huà)成圖1-2(b)。系統(tǒng)的瞬時(shí)相差θe(t)=θ1(t)-θ2(t),瞬時(shí)頻差,(1-11),圖1-2 輸入信號(hào)和

5、輸出信號(hào)的相位關(guān)系,二、捕獲過(guò)程 從輸入信號(hào)加到鎖相環(huán)路的輸入端開(kāi)始,一直到環(huán)路達(dá)到鎖定的全過(guò)程,稱(chēng)為捕獲過(guò)程。一般情況,輸入信號(hào)頻率ωi與被控振蕩器自由振蕩頻率ωo不同,即兩者之差Δωo≠0。若沒(méi)有相位跟蹤系統(tǒng)的作用,兩信號(hào)之*間相差,將隨時(shí)間不斷增長(zhǎng)。,圖1-3 捕獲過(guò)程中瞬時(shí)相差與瞬時(shí)頻差的典型時(shí)間圖,三、鎖定狀態(tài) 捕獲狀態(tài)終了,環(huán)路的狀態(tài)穩(wěn)定在,(1-12),下面討論環(huán)路輸入固

6、定頻率信號(hào),即dθi(t)／dt=0時(shí)的特殊情況。這*是環(huán)路分析中經(jīng)常遇到的一種情況。此時(shí),式中θi為常數(shù),是輸入信號(hào)的起始相位。而,將此式代入輸出信號(hào)表達(dá)式(1-2),得,由上可知,在輸入固定頻率信號(hào)的條件之下,環(huán)路進(jìn)入同步狀態(tài)后,輸出信號(hào)與輸*入信號(hào)之間頻差等于零,相差等于常數(shù),即,常數(shù),(1-13),四、環(huán)路的基本性能要求 如上所述,環(huán)路有兩種基本的工作狀態(tài)。 其一是捕獲過(guò)程。評(píng)

7、價(jià)捕獲過(guò)程性能有兩個(gè)主要指標(biāo)。一個(gè)是環(huán)路的捕獲帶Δωp,即環(huán)路能通過(guò)捕獲過(guò)程而進(jìn)入同步狀態(tài)所允許的最大固有頻差 ｜Δωo｜max。若Δωo>Δωp,環(huán)路就不能通過(guò)捕獲進(jìn)入同步狀態(tài)。故,(1-14),另一個(gè)指標(biāo)是捕獲時(shí)間Tp,它是環(huán)路由起始時(shí)刻t0到進(jìn)入同步狀態(tài)的時(shí)刻ta之間的時(shí)*間間隔,即 捕獲時(shí)間Tp的大小除決定于環(huán)路參數(shù)之外,還與起始狀態(tài)有關(guān)。一般情*況下輸入起始頻差越大,Tp也就越大。通常以

8、起始頻差等于Δωp,來(lái)計(jì)算最大捕獲時(shí)間,并把它作為環(huán)路的性能指標(biāo)之一。,(1-15),第2節(jié) 環(huán)路組成,鎖相環(huán)路為什么能夠進(jìn)入相位跟蹤,實(shí)現(xiàn)輸出與輸入信號(hào)的同步呢？因?yàn)樗且粛妭€(gè)相位的負(fù)反饋控制系統(tǒng)。這個(gè)負(fù)反饋控制系統(tǒng)是由鑒相器(PD)、環(huán)路濾波器(LF)和電壓控制振蕩器(VCO)*三個(gè)基本部件組成的,基本構(gòu)成如圖1-4。,圖1-4 鎖相環(huán)路的基本構(gòu)成,一、鑒相器 鑒相器是一個(gè)相位比較裝置,用來(lái)檢測(cè)輸入信

9、號(hào)相位θ1(t)與反饋信號(hào)相位θ2(t)之間的相位差θe(t)。輸出的誤差信號(hào)ud(t)是相差θe(t)的函數(shù),即 鑒相特性f［θe(t)］可以是多種多樣的,有正弦形特性、三角形特性、鋸齒形特性等等。常用的正弦鑒相器可用模擬相乘器與低通濾波器的串接作為模型,如圖1-5(a)所示。,圖1-5 正弦鑒相器模型,設(shè)相乘器的相乘系數(shù)為Km［單位為1／V］,輸入信號(hào)ui(t)與反*饋信號(hào)uo(t)經(jīng)相乘作用,再經(jīng)過(guò)低通

10、濾波器(LPF)濾除2ωo成分之后,得到誤差電壓,(1-16),為鑒相器的最大輸出電壓,則,(1-17),圖1-6 正弦鑒相器特性,二、環(huán)路濾波器 環(huán)路濾波器具有低通特性,它可以起到圖1-5(a)中低通濾波器的作用,更重要的是它對(duì)環(huán)路參數(shù)調(diào)整起著決定性的作用。環(huán)路濾波器是一個(gè)線性電路,在時(shí)域分*析中可用一個(gè)傳輸算子F(p)來(lái)表示,其中p(≡d／dt)是微分算子；在頻*域分析中可用傳遞函數(shù)F(s)表示,其中s(a

11、+jΩ)是復(fù)頻率；若用s=jΩ代入F(s)就得到它的頻率響應(yīng)F(jΩ),故環(huán)路濾波器模型可表示為圖1-7。,圖1-7 環(huán)路濾波器的模型,1. RC積分濾波器這是結(jié)構(gòu)最簡(jiǎn)單的低通濾波器,電路構(gòu)成如圖1-8(a),*其傳輸算子,(1-18),式中τ1=RC是時(shí)間常數(shù),這是這種濾波器唯一可調(diào)的參數(shù)。 令p=jΩ,并代入(1-18)式,即可得濾波器的頻率特性,(1-19),圖1-8 RC積分濾波器的組成與對(duì)數(shù)頻率特性

12、 (a)組成； (b)頻率特性,2. 無(wú)源比例積分濾波器無(wú)源比例積分濾波器如圖1-9(a)所示,它與RC積分濾波器相比,附加了一個(gè)與電容器串聯(lián)的電阻R2,這樣就增加了一*個(gè)可調(diào)參數(shù),它的傳輸算子為,(1-20),式中τ1=(R1+R2)C；τ2=R2C。這是兩個(gè)獨(dú)立的可調(diào)*參數(shù),其頻率響應(yīng)為,(1-21),據(jù)此可作出對(duì)數(shù)頻率特性,如圖1-9(b)所示。這也是一個(gè)低通濾波器,與RC積分濾波器不同的是

13、,當(dāng)頻率很高時(shí),3. 有源比例積分濾波器有源比例積分濾波器由運(yùn)算放大器組成,電路如圖1-10(a)所示,它的傳輸算子 式中τ1=(R1+AR1+R2)C；τ2=R2C； A是運(yùn)算放大器無(wú)反饋時(shí)的電壓增益。 若運(yùn)算放大器的增益A很高,則,圖1-9 無(wú)源比例積分濾波器的組成與對(duì)數(shù)頻率特性 (a)組成；(b)頻率特性,圖1-10 有

14、源比例積分濾波器的組成與對(duì)數(shù)頻率特性 (a)組成；(b)頻率特性,負(fù)號(hào)對(duì)環(huán)路的工作沒(méi)有影響,分析時(shí)可以不予考慮。故傳輸算子可以近似為 式中τ1=R1C。(1-22)式傳輸算子的分母中只有一個(gè)p,是一個(gè)積分因子,故高增益的有源比例積分濾波器又稱(chēng)為理想積分濾波器。顯然,A越大就越接近理想積分濾波器。此濾波器的頻率響應(yīng)為,(1-22),(1-23),三、壓控振蕩器

15、 壓控振蕩器是一個(gè)電壓-頻率變換裝置,在環(huán)中作為被控振蕩器,它的振蕩頻率應(yīng)隨輸入控制電壓uc(t)線性地變化,即應(yīng)有變換關(guān)系,(1-24),圖1-11 壓控振蕩器的控制特性,由于壓控振蕩器的輸出反饋到鑒相器上,對(duì)鑒相器輸出誤差電壓ud(t)起作用的不是其頻率,而是其相位,(1-25),壓控振蕩器的這個(gè)數(shù)學(xué)模型如圖1-12所示。從模型上看,壓控振蕩器具有一個(gè)積分因子1／p,這是相位與角頻率之間的積分關(guān)系形成的。,圖1-

16、12 壓控振蕩器的模型,四、環(huán)路相位模型 前面已分別得到了環(huán)路的三個(gè)基本部件的模型,按圖1-4的環(huán)路構(gòu)成,不難將這三個(gè)模型連接起來(lái)得到環(huán)路的模型,如圖1-13。,圖1-13 鎖相環(huán)路的相位模型,第3節(jié) 環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程,按圖1-13的環(huán)路相位模型,不難導(dǎo)出環(huán)路的動(dòng)態(tài)方程,(1-26),(1-27),將(1-27)式代入(1-26)式得,令環(huán)路增益,(1-28),(1-29),將(1-29)式代入(1-28)

17、式得 這就是鎖相環(huán)路動(dòng)態(tài)方程的一般形式。從物理概念上可以逐項(xiàng)理解它的含意。式中pθe(t)顯然是環(huán)路的瞬時(shí)頻差。右邊第一項(xiàng),(1-30),環(huán)路對(duì)輸入固定頻率的信號(hào)鎖定之后,穩(wěn)態(tài)頻差等于零,穩(wěn)態(tài)相差θe(∞)*為一固定值。此時(shí)誤差電壓即為直流,它經(jīng)過(guò)F(j0)的過(guò)濾作用之后所得*到的控制電壓也是直流。從方程(1-30)可以解出穩(wěn)態(tài)相差,(1-31),例如采用RC積分濾波器的環(huán)路,用(1-18)式代入(1-30)

18、式得動(dòng)態(tài)方程 (p+p2τ1)θe(t)=(p+p2τ1)θ1(t)-Ksinθe(t) (1-32)  采用無(wú)源比例積分濾波器環(huán)路,用(1-20)式代入(1-30)式得動(dòng)態(tài)方程 (p+p2τ1)θe(t)=(p+p2τ1)θ1(t)-K(1+pτ2)sinθe(t) (1-33)  采用有源比例積分濾波器的環(huán)路,用(1-22

19、)式代入(1-30)式得動(dòng)態(tài)方程 p2τ1θe(t)=p2τ1θ1(t)-K(1+pτ2)sinθe(t) (1-34),第4節(jié) 一階鎖相環(huán)路的捕獲、 鎖定與失鎖,最簡(jiǎn)單的鎖相環(huán)路是沒(méi)有濾波器的鎖相環(huán)路,即  F(p)=1 (1-35)

20、60; 將此式代入環(huán)路動(dòng)態(tài)方程的一般形式(1-30)式得  pθe(t)=pθ1(t)-Ksinθe(t) (1-36)  這是一個(gè)一階非線性微分方程。故這種鎖相環(huán)路也就稱(chēng)為一階鎖相環(huán)路。,一階環(huán)的動(dòng)態(tài)方程(1-36)是可以解析求解的。但為了更便于理解它工作的物理過(guò)程,建立環(huán)路性能指標(biāo)的基礎(chǔ)概念,這里采用圖解的方法

21、。假設(shè)輸入為固定頻*率,即 θ1(t)=Δωot 且令 pθ1(t)=Δωo (1-37) 是常數(shù), 再令 是環(huán)路的瞬時(shí)頻差,將(1-37)、(1-38)式代入(1-36)式后可得,(1-3

22、8),(1-39),一、Δωo<K時(shí)的捕獲與鎖定 由于 Δωo<K,該曲線應(yīng)與橫軸相交,圖形如圖1-14。,圖1-14 Δωo<K時(shí)的一階環(huán)動(dòng)態(tài)方程圖解,狀態(tài)向鎖定點(diǎn)A靠攏的過(guò)程是漸近的。從理論上說(shuō),因?yàn)锳點(diǎn)的 =0,真正到達(dá)A點(diǎn)所需的時(shí)間為無(wú)窮大。實(shí)際上只要接近A點(diǎn)到一定的范圍之內(nèi),就可以認(rèn)為環(huán)路達(dá)到了鎖定狀態(tài)。對(duì)于鎖定狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)相差,可令(1-39)式中的

23、 為零來(lái)求得,(1-40),圖1-15 一階環(huán)捕獲過(guò)程中相差隨時(shí)間的變化,二、Δωo>K 時(shí)的失鎖狀態(tài) Δωo>K時(shí)的 (t)與θe(t)關(guān)系曲線如圖1-16所示。相軌跡不與橫軸相交,平衡點(diǎn)消失,成為一條單方向運(yùn)動(dòng)的正弦曲線。不論初始狀態(tài)處于相軌跡上的哪一點(diǎn),狀態(tài)都將按箭頭所指方向沿相軌跡一直向右轉(zhuǎn)移,環(huán)路無(wú)法鎖定,處于失鎖狀態(tài)。在失鎖狀態(tài)時(shí),環(huán)路瞬時(shí)相差無(wú)休止地增長(zhǎng),不斷地進(jìn)行周期跳

24、越；瞬時(shí)頻差則周期性地在Δωo±K的范圍內(nèi)擺動(dòng)。,圖1-16 Δωo>K時(shí)的一階環(huán)動(dòng)態(tài)方程圖解,圖1-17(c)中,ωv(t)-ωo為控制頻差,ωi-ωv(t)為瞬時(shí)頻差,而ωi-ωo為固有頻差。 計(jì)算表明,它們之間的關(guān)系為,(1-41),圖1-17 一階環(huán)失鎖狀態(tài)的θe(t)、Uc(t)、ωv(t)和的時(shí)間圖,【計(jì)算舉例】 已知一階環(huán)Ud=1V,Ko=20kHz／V

25、,fo=1MHz。當(dāng)輸入信號(hào)頻率fi=1030kHz時(shí),環(huán)路不能鎖定,處于差拍狀態(tài)。試計(jì)算由于頻率牽引現(xiàn)象,壓控振蕩器的平均頻率為多少？ 環(huán)路增益 K=KoUd=20kHz 固有頻差 Δωo=2π(1030-1000)×103=6π×104rad／s 代入(1-41)式計(jì)算,即 =1.00764MHz,已使壓控振

26、蕩器頻率向fi方向牽引7.64kHz。若再使fi向fo靠攏一些,仍不使它鎖定,則牽引作用會(huì)更加明顯。,三、Δωo=K時(shí)的臨界狀態(tài) Δωo=K是一種臨界情況。這時(shí),軌跡正好與橫軸相切,A點(diǎn)與B點(diǎn)重合為一點(diǎn),如圖1-18所示。這個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的環(huán)路狀態(tài)實(shí)際上是不穩(wěn)定的,這種臨界狀態(tài)的出現(xiàn)有兩種情況。,圖1-18 Δωo=K時(shí)一階環(huán)動(dòng)態(tài)方程圖解,Δωo=K是能夠維持環(huán)路鎖定狀態(tài)的最大固有頻差,稱(chēng)為鎖相環(huán)路的同步帶,用符號(hào)

27、ΔωH表示。就一階環(huán)而言,顯然  ΔωH=K (1-42) 一階環(huán)的捕獲帶  Δωp=K (1-43) 一階環(huán)的快捕帶

28、  ΔωL=K (1-44) 在數(shù)值上等于環(huán)路增益,即 ΔωH=Δωp=ΔωL=K (1-45),【計(jì)算舉例】 已知一階鎖相環(huán)路鑒相器的Ud=2V,壓控振蕩器的Ko=104Hz／V(或2π×10