序言-ustc,icts

1、關于黑洞與時間性質的若干思考,趙崢（北京師范大學物理系）,2013.5,,一、慣性的起源二、動態(tài)黑洞的熱性質三、黑洞信息疑難—信息是否應該守恒？四、奇點疑難—時間有沒有開始與終結？五、時間的度量,一、慣性的起源,慣性力既不像牛頓認為的那樣起源于絕對空間（相對于絕對空間的加速），也不像馬赫斷言的那樣起源于遙遠星系（相對于遙遠星系的加速）。慣性力很可能起源于加速引起的局域 “真空形變”。,桶：止 轉

2、 轉 止 水：止 止 轉 轉,水桶實驗,,閔氏時空線元,倫德勒時空中的線元,,1. Unruh效應的啟示,(1). 勻加速參考系,,,,,倫德勒坐標覆蓋的閔氏時空,倫德勒觀測者是作勻加速直線運動的觀測者。,靜止在此系中的觀測者 ，實際測量的加速度（固有加速度）為,(2). 安魯效應,倫德勒觀測者處在溫度為T的“熱浴

3、”之中，即他的周圍存在溫度為T的熱輻射。,可以證明，倫德勒時空在 處存在事件視界，其表面引力 ，有溫度為T的熱輻射自那里發(fā)出。,閔氏時空零點能,在閔可夫斯基真空中作勻加速運動的觀測者，覺得周圍不再是真空，而充滿熱輻射。 原因何在？兩種時空的真空不等價。,,,倫德勒時空，真空能量的零點下降到 點，閔氏真空的零點能以熱能形式出現(xiàn),(3). 慣性的起源,倫德勒效應是真空

4、變化的熱效應，慣性效應看來是真空變化的力學效應。,,2. 時間尺度變換的補償效應,霍金-安魯效應可以看作時間尺度變換或能量尺度變換的補償效應，慣性效應即這一補償效應的表現(xiàn)。溫度以補償場純規(guī)范勢的形式出現(xiàn)，反映真空能量零點的改變。,,(1). 時間尺度變換,,,,,,,,,,(2). 能量尺度變換,,,,(3). 慣性起源于真空變化,,(4). 與Weyl規(guī)范場理論的比較,二、動態(tài)黑洞的熱性質,1. 如何計算演化黑洞的溫度？2. 動態(tài)黑

5、洞的霍金輻射來自何處？3. 如何定義事件視界？4. 黑洞表面各點溫度可否有差異？,,,證明穩(wěn)態(tài)黑洞有熱輻射，并計算其霍金溫度的方法有許多種，但大都不能用于動態(tài)黑洞（演化黑洞）的研究。,1990年前后，我們創(chuàng)建了一種計算動力學黑洞溫度和熱輻射的普適方法，能夠用來研究各種動態(tài)黑洞的熱效應，此方法證明黑洞的熱輻射來自事件視界。 近年來一些專家從整體微分幾何的角度認為動力學黑洞的熱效應該建立在表觀視界上。,1. 如何計算演化黑洞

6、（動力學黑洞）的溫度？,（1）從Damour-Ruffini法得到的啟示,D-R法是一個計算穩(wěn)態(tài)黑洞溫度的方法：粒子動力學方程（Klein-Gordon方程、Dirac方程） （1）在作Tortoise變換

7、 （2）即 （3）,及分離變量 （4）之后，可在事件視界附近（ ）化成波動方程的標準形式

8、 （5）把它的出射波解從視界外部解析延拓到內(nèi)部后，可證明出射波具有黑體譜，輻射是熱輻射，并定出輻射溫度 （6）此方法可運用于一切穩(wěn)態(tài)黑洞。,（2）創(chuàng)建計算動力學黑洞溫度的方法（趙崢、戴憲新、羅志強、黎忠恒、朱建陽、楊健等）,用 D-R法需先知道黑洞視界位

9、置 和表面引力 。但對動態(tài)黑洞，一直苦于如何求出 與 ，而且對熱輻射究竟產(chǎn)生于表觀視界還是事件視界長期存在爭議。多數(shù)人認為產(chǎn)生于表觀視界。新方法的關鍵，把問題反過來研究。把烏龜變換中的 作為待定參數(shù)， 作為待定函數(shù)。 動力學黑洞既然屬于“黑洞”，就應有熱輻射，在證明它有熱輻射的過程中，反過來定出 和溫度參數(shù) 。,設輻射來自曲面引入Tortoise變換

10、 （7） （8）式中 為超前愛丁頓坐標。 為待定參數(shù)， 為待定函數(shù)。,Vaidya 黑洞為例,在上述Tortoise變換下，Klein-Gordon方

11、程的徑向方程化為

12、 (9),研究 的漸近方程,當 時，第一項系數(shù)的分母→0若要第一項系數(shù)趨于有限值（不發(fā)散）則其分子必須趨于0于是得到 (10),,,此恰為從

13、 (11) 得到的零曲面方程。稱 為局部事件世界： (12),,,用洛必達法則，在 附近，第一項系數(shù)化為,（13）,由于 是一個待定參數(shù)，我們選擇它為,（14）,則A=1,于是徑向方程

14、化為平直時空波動方程的標準形式 （15） 用Damour-Ruffini的解析延拓法，可證明有熱輻射自 產(chǎn)生，為嚴格黑體譜。 , （16） 輻射譜為

15、 （17）,,,,結論： 動力學黑洞的霍金輻射產(chǎn)生自局部事件視界 ， 明顯不同于表觀視界 （18） 所以，我們認為輻射不是產(chǎn)生于表觀視界，而是產(chǎn)生于事件視界。（與目前多數(shù)人的意見不同）,2.動力學黑洞的霍金輻射來自何處？,3.如何定義事件視界？

16、(1). 黑洞的幾何定義——整體定義,光信號不能傳播到類光無窮遠的時空區(qū)，稱為黑洞；其邊界稱為事件視界。,史瓦西時空的黑洞區(qū),克爾時空的黑洞區(qū),閔可夫斯基時空圖,,（2）.黑洞的物理定義——局域定義,作為黑洞邊界的事件視界是零曲面，是保有時空內(nèi)稟對稱性的零曲面。 黑洞產(chǎn)生量子熱輻射（霍金-安魯效應），因而具有溫度。,保有時空內(nèi)稟對稱性且產(chǎn)生量子熱效應的零超曲面，稱為局域事件視界；此邊界所包圍的、熱輻射來源方向的時空區(qū)稱為黑洞。,黑

17、洞和視界最主要的特征有兩點：,局部事件視界的定義：（1）類光超曲面（2）保有時空的內(nèi)稟對稱性（3）產(chǎn)生Hawking-Unruh輻射,,事件視界表觀視界準靜極限面,量子能層,我們已證明：Hawking輻射來自事件視界 ，不是表現(xiàn)視界 ，且熱譜是嚴格的。,輻射在穿越量子能層時，會發(fā)生什么？上述證明用的是漸近方程，如果不采用漸近方程會否帶來對熱譜的修正？,但是有兩點疑問,用我們的方法可以逐點計算黑洞表面的

18、溫度，結果表明，動力學黑洞表面各點溫度一般不同（僅球對稱動力學黑洞表面各點溫度相同，只是時間的函數(shù)）。黑洞表面各點存在溫差，因而應該有沿事件視界面的熱流。,4.黑洞表面各點溫度可否有差異？,例.動態(tài)Kerr黑洞,在Tortoise變換 (19)下，可用上述方法定出局部事件視界

19、 (20) 及黑洞表面溫度

20、 (21) (22) 我們看到此黑洞表面各點的溫度不同。,對表觀視界上的熱力學第一定律的質疑（1） 只對可逆過程成立，動力學黑洞的熱力學過程不可逆。（2）非球對稱動力學黑洞表面 不應是一個常數(shù)。

21、,（1）我們的方法未作任何假定，自然地得出Hawking輻射來自事件視界的結論。（2）自動定出事件視界方程及輻射溫度。（3）最先得出非球對稱動態(tài)黑洞表面各點溫度不同的結論，如此看來，這類黑洞表面應有熱流。（4）到目前為止，我們的方法是唯一一個可以逐點計算黑洞表面溫度的方法。,結論,三、黑洞信息疑難 —信息是否應該守恒？,1、無毛定理（1967）2、霍金熱輻射——量子效應（1974）

22、3、打賭（1997）4、霍金的新觀點（2004）5、對霍金新觀點及信息守恒的質疑 （＊張靖儀與趙崢獲Thomson中國卓越研究獎文章探討此問題）,1、無毛定理（1967）,對洞外觀測者來說，坍縮進黑洞的所有物質的信息（毛）全部丟失，只有總質量、總角動量和總電荷除外。 只剩三根毛：M, J, Q失去的信息永遠保留在黑洞內(nèi)部,2、Hawking熱輻射 ——量子效應（1974）,考慮量子隧道效應，黑洞會以精

23、確的黑體譜進行熱輻射，不帶出任何信息。黑洞將“蒸發(fā)”干凈，洞內(nèi)信息全部從宇宙中消失。信息的丟失意味著，形成黑洞的量子純態(tài)全部衰變成混合態(tài)。,這將導致,熵大量增加輕子數(shù)、重子數(shù)等守恒定律破缺。量子引力不具有幺正性。,,,3、打賭（1997）,S.W.Hawking John Preskill Kip Thorne

24、 黑洞中的信息不會失 黑洞中的信息失去了。 去，一定會以某種機 （信息不守恒） 制跑出來。 （信息守恒）,,2004年7月21日,S.W.Hawking：我輸了K.Thorne：沒有輸J.Preskill：

25、沒有聽懂我為什么贏了。,4、Hawking的新觀點,我已經(jīng)解決了黑洞蒸發(fā)的信息佯謬。對于真實的黑洞，信息可以從洞中逸出。（1）對偶猜想（2）真實黑洞與理想黑洞（平庸拓撲和非平庸拓撲）（3）散射過程,（1）對偶猜想,ADS/CFT 反de Sitter空間中的超引力 反de Sitter空間邊界上的共形場論CFT理論是幺正的 反de Sitter空間

26、一定信息守恒 落入反de Sitter空間中的黑洞的任 何信息必定會跑出來,,,,（2）真實黑洞與理想黑洞（平庸拓撲和非平庸拓撲）,理想黑洞的度規(guī)是拓撲非平庸的，信息會丟失。真實黑洞的度規(guī)拓撲是平庸的，信息不會丟失。,（3）散射過程,真實黑洞的形成和蒸發(fā)可以被視作散射過程。 ∞

27、 ∞ 弱場 弱場 強場 此散射過程，信息守恒。,5、對霍金新觀點的質疑,（1）落入黑洞的信息必定有部分丟失。（2）部分信息有可能從黑洞中重新逸出，部分信息有可能作為“爐渣”被留下來。,（1）為何必定有部分信息丟失？,對于微觀黑洞，霍金的新觀點也許正確。對于宏觀黑洞則不然

28、黑洞與外界的熱平衡不穩(wěn)定,,黑洞與外部的溫差，必將導致熱流。這是一個不可逆過程，必將導致熵增加。按照信息理論 信息=負熵 熵 信息 ∴落入黑洞的物質的信息必定會有丟失（至少會丟失一部分）,,,,,物理學中有質量守恒、能量守恒、電荷守恒…… ，但沒有信息守恒定律。熱力學第二定律 熵不守恒 信息不守恒∴應該預期：量子引力不一定具

29、有幺正性,,,（2）信息從洞中部分逸出的可能途徑,（A）隧道效應（B）非穩(wěn)黑洞（C）光錐的改變,（A）隧道效應,輻射譜是嚴格黑體譜嗎？,,F.Wilczek和M.Parikh：對史瓦西黑洞和R-N黑洞（球對稱靜態(tài)黑洞），輻射時黑洞會有收縮 產(chǎn)生勢壘 由于能量守恒，輻射譜不是嚴格黑體譜 輻射譜必須修正 此修正保證了量子引力的幺正性 沒有信息丟失！,,,,,,,,,張靖儀、趙崢等的工作

30、：,把Parikh的證明推廣到旋轉、帶電的穩(wěn)態(tài)黑洞Jingyi Zhang, Zheng Zhao, Modern Phys. Lett. A 20 (2005) No. 22. 1673＊Phys. Lett. B 618 (2005) 14Nuclear Phys. B 725 (2005) 173J.High Energy Physics 10 (2005)055:1-6Phys.Lett.B 638 (2006) 1

31、10（＊Thomson 獎文章，2008） ＊ 物理學報55（2006）No.7.3796 （物理學會獎）,,推廣到各種黑洞，發(fā)現(xiàn)均用了公式因而假定了是可逆過程。 所以，Wilczek與Parikh的方案計算正確，但是只對理想的〝可逆過程〞成立 ，然而，所有的真實過程是不可逆的。因此，他們的工作還不能證明信息守恒。,（B）動態(tài)黑洞,Vaidya 黑洞,,事件視界表觀視界準靜極限面,量子能層,,我們已證明：H

32、awking輻射來自事件視界 ，不是表現(xiàn)視界 ，且熱譜是嚴格的。,,但是有兩點疑問：輻射在穿越量子能層時，會發(fā)生什么？上述證明用的是漸近方程，如果不采用漸近方程會否帶來對熱譜的修正？,（C）光錐張角改變,AB是類空曲線,如果光錐在擾動下張開，AB將可能類光或類時,,假如黑洞視界附近的時空被擾動，將可能使光錐張角漲落，有可能使洞中信息逸出。,四、奇點疑難—時間有沒有開始和結束？,1、什么是奇點2、奇性定理3、奇

33、性帶來的物理異常及引發(fā)的猜想4、對奇性定理證明的質疑5、自由光線的加速度,1、什么是奇點,（1）時空曲率發(fā)散描述曲率的標量物質密度,,Shwarzschild 時空,,Kerr-Newman 時空外視界（事件視界）和內(nèi)視界 奇環(huán)，內(nèi)稟奇異性,,克爾時空,,大爆炸奇點（k=-1, 0的宇宙）大爆炸與大擠壓的奇點（k=+1的宇宙）,（2）用測地不可延伸來定義奇點,假如把曲率發(fā)散點從時空中

34、挖掉，時空還奇異嗎？,奇異性（奇點）的定義,一個時空如果至少具有一條不完備的類時或類光測地線，而且此時空不能嵌入一個更大的時空中，則稱此時空是奇異的。,,不完備的測地線：一條測地線在至少一個方向上，在有限的仿射距離之內(nèi)就不可延伸了。,奇點的物理意義,至少有一個自由下落觀測者（或光子）在有限的時間（或仿射距離）之內(nèi)就結束了他（它）的存在，或在有限的時間（仿射距離）之前開始了他（它）的存在。 奇點的存在=時間有開始與結束,,時間有沒有

35、開始和終結？ 哲學問題 物理問題,,,,2、奇性定理,（1）因果性條件編時條件因果條件強因果條件穩(wěn)定因果條件整體雙曲,弱,強,,（2）能量條件,弱能量條件強能量條件主能量條件,能量密度非負,壓強不能太負,能流不能超光速,（3）共軛點,Jacobi 場定義在測地線 上，描述鄰近測地線偏離 的程度的矢量場 ，如果滿足測地偏離方程則 稱為定義在 上的雅可比場

36、。,,共軛點設一對點 ，如果定義在 上的雅可比場不恒為零，但在 兩點處為零，則 稱為測地線匯的共軛點。,p,r,（4）奇性定理的證明,因果性條件 間的測地線沒有共軛點能量條件愛因斯坦方程 間的測地線有共軛點 存在物質(matter),,,,如果上述兩組條件均成立： 間既要有共軛點，

37、又要沒有共軛點。解決此矛盾的唯一出路：測地線在 間存在奇點，讓這條線“斷掉”！此時間過程一定有開始或終結！,3、奇性（奇點）帶來的物理異常及引發(fā)的猜想,（1）奇點強烈影響黑洞溫度史瓦西黑洞Kerr-Newman 黑洞 可證明奇環(huán),,Manko 黑洞,,（2）逼近R-N奇點、K-N奇環(huán)的觀測者的固有溫度發(fā)散梁燦彬等證明，逼近R-N奇點

38、的類時線積分加速度發(fā)散,,且可進一步證明固有加速度發(fā)散由于 且 有限，可證運用Unruh效應可得,趙崢認為這一結論很容易推廣到Kerr-Newman奇環(huán)，,,結論：奇點的存在（3）關于奇點的猜測： 奇性的存在與熱力學第三定律抵觸。奇性定理的證明，可能違背第三定律。,,猜想,熱力學第三定律將禁止時間有開始和結束。,4、對奇性定理證明的質疑,均用類時或類光測地線證明（1）類時測地

39、線有共軛點，一定能在 間微擾出類時非測地線 上 上,,（2）類光測地線 有共軛點，一定能在 間微擾出類時線 在 上 ，有限值； 時，猜測（若 ，則 為類時測地線，但 類光，不可能有 ）,,在下列論文中，我們證明了 時，Gui

40、hua Tian, Zheng Zhao, J.Math.Phys.44 (2003) 5681 Classical and Quantum Gravity 20 (2003) 3927G.Tian, Z.Zhao, Canbin Liang, Classical and QuantumGravity 19 (2002) 2777由Unruh效應，∴奇性定理是在 （類時測地線）或 （類光測地線

41、）情況下證明的，與熱力學第三定律抵觸。,,熱力學第三定律不容許時空奇點的出現(xiàn)，第三定律要求時間過程沒有開始和結束。,5、自由光線的加速度,（1）Rindler變換 慣性系 常數(shù)

42、 常數(shù) 勻加速系，加速度,,（2）Rindler對極限情況的解釋 ，勻加速觀測者的世界線是雙曲線（ 常數(shù)） 時， ，世界線成為光線（視界）且加速度Rindler認為：此光線加

43、速度可看作無窮大,,（3）我們的工作：此光線有鏡子反射，不是測地線。但我們在下面論文中證明了：可無限延伸的類光測地線的加速度為無窮大。G. Tian, Z. Zhao, C. Liang, Classical and Quantum Gravity 19 (2002) 2777,,20世紀初導致物理學革命的兩朵烏云均與對光的認識有關 黑體輻射 量子論

44、 光的量子性 邁克爾孫試驗 相對論 光速的絕對性 （對任何觀測者恒為常數(shù)C）本報告提出一個新的疑難： 自由光線的加速度發(fā)散！,,,五、時間的度量,1.時間研究的困難2.龐加萊的設想——約定光速3.歐拉的思路——好鐘4.愛因斯坦對同時性的定義5.“同時”具有傳遞性的條件

45、6.鐘速同步具有傳遞性的條件7.時間段的度量8.結論和討論,時間的兩個基本性質 (1) 測度性. (2) 流逝性. （本文僅對時間的測度性進行探討）,1.時間研究的困難,測度時間的困難與牛頓同時代的洛克已認識到不能確認兩個相繼時間段的相等。他認為，時間是對綿延長度的度量。綿延只能用周期運動作單位進行度量，然而“綿延中任何兩

46、部分，我們都不能確知是相等的”。我們只能假定，周期運動的每一個周期都是相等的，才能對時間進行度量。（洛克：《人類理解論》，商務印書館，1959）。不過，洛克沒有做更深入的分析。,· 龐加萊認為“時間必須變成可測量的東西，不能被測量的東西不能成為科學的對象” 。《最后的沉思》中文版P22,2.龐加萊關于時間測度的設想,龐加萊認為，時間的測量分為兩個問題：異地時鐘的同時（或同步）相繼時間段（綿延）的相等,龐加萊認為“時間度量

47、”應該靠“約定”.,他認為不僅時間間隔的計量取決于約定，而且異地事件的“同時”的定義也取決于約定。 龐加萊認為這兩個問題相互關聯(lián)，而且只有通過“約定”才能加以解決。 他推測通過“約定”真空中光速的各向同性有可能解決上述問題。,龐加萊對于時間測量的約定論,3. 歐拉的思路——用運動定律來定義“好鐘”,首先把時間與運動聯(lián)系起來的是古希臘的賢哲：時間就是天球。——畢達哥拉斯學派時間是天球的運動?！?/p>

48、柏拉圖時間是運動的計數(shù)。 時間是運動和運動持續(xù)量的尺度。——亞里士多德,歐拉的思路首先把時間測量與運動定律聯(lián)系起來的是歐拉（后來是龐加萊）： 如果以某個給定的循環(huán)過程為單位時間，而發(fā)現(xiàn)牛頓第一定律成立的話，這個過程就是周期的。（即，每次循環(huán)都經(jīng)歷相同的時間） ——《時間和空間的沉思》 （L.

49、 Euler 1707-1783） （注：當時相信用尺作的空間長度的測量沒有問題）,目前相對論界沿用歐拉對“綿延”相等的約定,A good clock ( time coordinate of a local inertial frame) makes spacetime trajectories of free particles through the local region of spacetime look straig

50、ht. C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler 《Gravitation》P26,目前相對論界沿用歐拉對“綿延”相等的約定,How is time defined?Time is defined so that motion looks simple!

51、 C. W. Misner, K. S. Thorne, J. A. Wheeler 《Gravitation》P23,注釋: “好鐘”,所謂“好鐘”是指：按它的運轉節(jié)奏，物理規(guī)律的表達最簡單，例如能量守恒、動量守恒等定律成立，力學與電磁學等規(guī)律形式簡單。,現(xiàn)行廣義相對論中時空測量的基礎,在現(xiàn)行的廣義相對論中，有關時間、空間和光速的測量建立在兩個“約定”的基礎上：（1）約

52、定真空中的光速各向同性，而且是一個常數(shù)?！ㄔ醋札嫾尤R）（2）約定每個觀測者都手持 結構相同的“好鐘”，用“好鐘”的讀數(shù)把各自的世界線參數(shù)化，定義各自的固有時。 ——（源自歐拉）,4. 愛因斯坦對同時性的定義,愛因斯坦贊同龐加萊對時間度量的約定論，并在他的相對論中用“約定”的方式定義了異地事件的同時。由于物理學是一門實驗的科學、測量的科學，有關時間度量的任

53、何約定，都必須使定義在測量上有可操作性。,在相對論的開創(chuàng)性論文《論運動物體的電動力學》中，愛因斯坦給出了“同時性的定義”。他寫道： “除非我們用定義規(guī)定光從A走到B所需的“時間”等于它從B走到A所需的“時間”，否則公共“時間”就完全不能確定。現(xiàn)在令一束光線于“A時刻”tA從A射向B，于 “B時刻”tB又從B被反射回A，于“A時刻” 再回到A。按照定義，兩鐘同步的條件是

54、 (1),,,,時空圖,空間圖,圖1.慣性系中異地時鐘的校準,B鐘,A鐘,A,B,tB,t’A,tA,,,,,,,,,,,,,公式（1）可改寫為 （2） 愛因斯坦就把A鐘的時刻 （3） 定義為與B鐘的tB同時的時刻。,,,愛因斯坦繼續(xù)寫道：,“我們假定，同步性的這個

55、定義是無矛盾的，能適用于任何數(shù)目的點，并且下列關系總是成立的： 1、假如B處的鐘與A處的鐘同步，則A處的鐘 與B處的鐘也同步。 2、假如A處的鐘與B及C處的鐘同步，則B、 C兩處的鐘彼此也同步。,這樣，借助于某些假想的物理實驗，我們解決了如何理解位于不同地點的同步靜止鐘這個問題，并且顯然得到了“同時”或“同步”的定義，以及“時間”的定義。”“…根據(jù)經(jīng)驗,我們進一步假定,量 是個普適

56、恒量，即在真空中的光速 ”,在平直時空的慣性系中，愛因斯坦用這種方法不僅定義了異地坐標時的“同時”，而且定義了異地靜止標準鐘的“固有時”同時。在操作過程中，他上面提到的幾點假設都沒有出現(xiàn)矛盾。,5. 朗道提出的“同時”具有傳遞性的條件,下面我們介紹一下朗道等人關于“同時”傳遞性的討論，即對愛因斯坦所提的“假設2”在什么條件下成立的討論。,（4）（5）,圖2. 相對論中異地時鐘的校準,,,（4）（5）（6）（7）,這就是說

57、，當按照上述定義兩異地事件“同時”發(fā)生時，兩處的坐標鐘所示的時刻并不相等，而是相差 （8）,,從彎曲時空中光信號的線元表達式 （

58、9）可得： （10）,,,把（10）代入（8）得到：

59、 （11）用（11）式可沿任一開放的空間路徑，把路徑上各點的坐標鐘調整同步，“同時”被定義為相鄰坐標鐘的指示相差 但是，由于 一般不是全微分，沿空間閉合路徑的積分一般不等于零（12）,,,,,,所以，一般不能沿空間閉合路徑把坐標鐘調整到“同時”。即不能在全時空建立統(tǒng)一的同時面，僅僅在時軸正交系中， （13） 或嚴格地說，在條件

60、 （14） 下，可以建立統(tǒng)一的同時面?？梢姡话銇碚f，同時具有傳遞性的條件是公式（14）式成立，或簡單地說是時軸正交，即（13）式成立。,,,B,A,B,A,C,C,tB,tA,t’A,tC,,,,,,,,,,,,,,,,,,,空間圖,時空圖,圖3 異地時鐘的同時，閉路積分,6. 鐘速同步具有傳遞性的條件

61、,我們曾經(jīng)給出了一種比較弱的對鐘條件。只要求各空間點坐標鐘速率相同，但不一定要建立統(tǒng)一的同時面。,在A,B兩點的第一個同時時刻，坐標鐘相差 （15）在第二個同時時刻，坐標鐘相差 （16）,,,B,A,

62、B,A,C,C,tB1,tA1,tA2,tC2,,,,,,,,,,,,,,,,,,空間圖,時空圖,圖4 鐘速同步的討論,,,,,,,,t’A2,t’A1,,,,,tB2,tC1,二坐標鐘的“速率”差 （17）所以，各空間點坐標鐘速率可調整同步的充要條件是

63、 （18） 或 （19）,,,,,B,A,B,A,C,C,tB1,tA1,tA2,tC2,,,,,,,,,,,,,,,空間圖,時空圖,圖5 閉路積分示意圖,,,,,,,,t’A2,t’A1,,,,,tB2,tC1,（19）式即

64、 （20） 或 （21）,,,這是一個比時軸正交（ ）要弱的條件。條件（20）不要求（14）所示的空間閉路積分為零，只要求此閉路積分是一個與時間無關的常數(shù)，

65、 常數(shù) （22）,,,7. 時間段的度量,設L為彎曲時空中一族靜止觀測者的世界線組成的線匯，這意味著這樣選擇復蓋L的坐標系：使L中的每根世界線都與此坐標系的時間坐標曲線重合。我們還進一步要求選擇此坐標系時軸非正交（ ），但滿足“鐘速同步傳遞性”條件（20）：,,(19

66、)式表示 t’A1- tA1= t’A2- tA2可改寫為 tA2- tA1= t’A2- t’A1即(18)式,鐘速沿閉路不變，即圖中紅線長度（坐標時間隔）不變,A,B,C,tB1,tA1,tC2,,,,,,,,圖8 對(17)—(19)式的圖示說明（情況3）,,,,t’A2,tA2= t’A1,,,,,tB2,tC1,,,,,,,沿空間迴路對鐘一圈回到A點后，與 同時的A鐘的同時時刻是

67、，二者不相等，相差 （31）,圖10. 一般時空中的“時間段”的度量,,,,用同樣的方式沿同樣的空間路徑連續(xù)對鐘n圈，我們有 （32）

68、 ┊ （33）,,,由于此參考系中同時不具有傳遞性，顯然 （34）又由于此系中鐘