悖論與數(shù)理邏輯的三大學派=論文

1、大學研究生學位課程論文大學研究生學位課程論文論文題目：悖論與數(shù)理邏輯的三大學派Y(x，y，z)第三層：二階函數(shù)，以一階函數(shù)為變元，例如，（β）F(β!xz)(Y)f(Y!z，β!z)………………………………………………………………………………………………一般地，如果一個函數(shù)中變元(或約束變兀)的最高階是n（n≥0），則稱這一函數(shù)是nl階的。其次，因為悖論的出現(xiàn)與“非直謂定義”有關(guān)，為了遵循惡性循環(huán)原則，避免悖論，羅素把命題函數(shù)分為直謂的

2、和非直謂的，并對直謂函數(shù)作了嚴格的定義。他是這樣定義的：“對一元命題而言，當函數(shù)的階恰比它的自變元的階高1時，稱為直謂的；對于有K(K≥1)個自變元的K元命題函數(shù)，若K個子變元中最高的階是n，而函數(shù)的階是nl，則稱該K元函數(shù)是直謂的。由此可知，一階函數(shù)都是直謂函數(shù)，而二階和二階以上的函數(shù)則分為直謂的和非直謂的兩種。如果函數(shù)本身的階不是比函數(shù)中自變元的階高1，就是非直謂函數(shù)。這樣，各個函數(shù)階層徑渭分明，互不交叉，每個函數(shù)都是有限階的，并目

3、在函數(shù)階層中有唯一確定的位置，把涉及命題總體的命題(非直謂命題)和不涉及命題總體的命題(直謂命題)區(qū)分開來，從而避免了一些著名的悖論。羅素又引入了可歸化公理，該公理斷言：“對任何命題函數(shù)，必存在一個與它形式等價的直謂函數(shù)。”借助這一公理，就可以把一個命題函數(shù)決定的類，定義為與它形式等價的直謂函數(shù)所決定的類，從而一切類都可看作是由直謂函數(shù)決定的。因為直謂函數(shù)的階比它的自變元的階高1所以個體的集合的階總比個體的階高1。這樣，正如上面所表述的

4、，在類的理論中，個體、個體的集合、個體的集合的集合…形成一個遞增的層次，和這一層次相對應(yīng)的事個體、個體的直謂函數(shù)、個體的直謂函數(shù)的直謂函數(shù)…這樣一個遞增的函數(shù)層次。這個以階論為中心發(fā)展起來的邏輯體系便是羅素的分支類型論。后來羅素就是按照分支類型論的原則由集合論出發(fā)開展全部數(shù)學理論的研究。為實現(xiàn)這一目標，羅素和懷特海經(jīng)過艱苦的勞動，完成了著名的《數(shù)學原理》。羅素的類型論在數(shù)理邏輯發(fā)展史上有重要的地位，因為利用它可避免一些著名悖論(康托悖論

5、，布拉里一一福蒂悖論，羅素悖論及一些語義悖論)，不能不說是一大成就。但是羅素的類型論也有嚴重的缺陷：首先，類型論要求過于嚴格，雖排除了一些悖論，但同時也排出了許多合理的東西，尤其是一些重要的定理不能證明，某些無害的數(shù)學概念宣布為非法，結(jié)果是得不償失。但如果放寬原則的話，誰能保證不會出現(xiàn)別種類型的悖論呢其次，羅素提出了可歸化公理實質(zhì)上降低了分支類型論將函數(shù)劃分為不同階層要求，遭到了強烈的批判，并且，羅素的類型論系統(tǒng)本身也過于繁瑣，引起不少

6、的麻煩。從數(shù)理邏輯的發(fā)展歷史看，雖然邏輯主義想把數(shù)學全部歸結(jié)于邏輯的意圖是不可能實現(xiàn)的，但邏輯主義還是有很大的貢獻：首先，邏輯主義者以集合論為基礎(chǔ)進行數(shù)學研究，為了避免悖論，他們必須做使邏輯嚴格化的工作，這就直接促進了邏輯的數(shù)學化。所以，《數(shù)學原理》是用數(shù)學方法研究邏輯取得的高度成就，正是在這個意義上，它常被說成是數(shù)理邏輯成熟的標志。其次，羅素的理論對后來研究者產(chǎn)生重大影響，公理化集合論就是沿著他的方向發(fā)展起來的。羅素的分層思想對后來的

7、數(shù)理邏輯學家也有極大的啟示:塔爾斯基就是沿著羅素開辟的道路對語言進行分層處理，對數(shù)理邏輯的發(fā)展做出重大貢獻。二悖論與直覺主義學派悖論與直覺主義學派與此同時，在數(shù)學基礎(chǔ)這一研究領(lǐng)域中，出現(xiàn)了一種與邏輯主義完全對立的數(shù)學思想：把直覺當作數(shù)學最根本的基礎(chǔ)，全然否認數(shù)學構(gòu)造中有邏輯的作用，認為所有的數(shù)學對象和定理都是從原始直覺出發(fā)能行地構(gòu)造出來的，這就是數(shù)學基礎(chǔ)問題上的另一主要流派一一直覺主義。直覺主義者傾向于歡迎悖論的到來，因為悖論似乎使他們